Như đã biết, hàm tính trọng số của nút lá trong cây tìm kiếm của thuật toán Minimax sinh ra là việc vô cùng quan trọng để có thể đánh giá và đưa ra so sánh cho quá trình tìm kiếm.
Quan sát thấy nhiều trường hợp một cách di chuyển nào đó mang lại điểm số cao hơn tuy nhiên sau đó các ô số bị ứ lại và không thể di chuyển bước tiếp theo được, điều đó có thể nhanh chóng đẩy trò chơi vào thế thua cuộc. Thuật toán sẽ cải thiện được khá nhiều trong những trường hợp như vậy khi mà đối với mỗi bước di chuyển ta có tính thêm thành phần: số ô số còn có thể di chuyển ở bước tiếp theo. Ngoài ra còn một số yếu tố quan trọng tác động đến việc nhìn nhận một trạng thái là tốt hay xấu, chi tiết hơn ta xét ở bên dưới:
Công thức:
Score = smoothness * smoothWeight + monotonicity * monoWeight
+ log(emptyCellCount) * emptyWeight + maxLevel * maxWeight;
Trong đó:smoothWeight = 0.1, monoWeight = 1.0, emptyWeight = 2.7, maxWeight = 1.0; Ý nghĩa của các tham số trong công thức:
1. Smoothess: Độ mịn của bảng số tốt sẽ giúp cho mỗi bước di chuyển sẽ dễ dàng hợp nhất các ô số vào nhau. Để tính được độ mịn của bảng thì ta căn cứ vào sự chênh lệch giữa các ô số đứng cạnh nhau trong bảng. Khi mà sự chênh lệch không lớn thì độ mịn tốt, ngược lại nếu độ chênh lệch lớn thì độ mịn kém. Ví dụ trong hình dưới đây là một trạng thái có độ mịn tối ưu
Hình 3.4(a): Trạng thái có độ mịn tối ưu
2. Monotonicity: Tính đơn điệu này đảm bảo rằng trong một bảng, mọi ô số được sắp theo một thứ tự từ nhỏ đến lớn hoặc từ lớn đến nhỏ theo một hướng cố định nào đó. Có thể là từ phải sang trái và từ trên xuống dưới
như hình
Hình 3.4(b): Trạng thái có tính đơn điệu tốt
3. EmptyCell: Một cách trực quan chúng ta cũng thấy rằng khi có nhiều ô trống hơn thì ta sẽ dễ dàng di chuyển trạng thái hiện tại hơn và trò chơi còn có thể tiếp tục được lâu dài. Chỉ số này đặc biệt quan trọng và được đánh giá cao đối với trò chơi 2048
4. MaxLevel: Với mỗi bảng, maxlevel biểu thị ô số lớn nhất mà trạng thái đó có được. Maxlevel khi chạm tới 2048 thì trò chơi kết thúc và người chơi dành chiến thắng.
Các trọng số smoothWeight = 0.1, monoWeight = 1.0, emptyWeight = 2.7, maxWeight = 1.0; được lấy theo thực nghiệm sau những lần chạy chương trình và ghi nhận lại kết quả.
3.2 Cài đặt chƣơng trình
3.2.1 Môi trƣờng phát triển và công nghệ sử dụng
Ứng dụng cài đặt trên hệ điều hành iOS >= 7.0 Sử dụng Xcode 5.1.1
Sử dụng SpriteKit, và new 2-D game engine của Apple cho iOS
3.2.2 Giao diện của chƣơng trình
Màn hình chính có các lựa chọn:
Cài đặt: cho phép cấu hình một số thông số liên quan đến ứng dụng, ví dụ như màu sắc, kích thướng bàn chơi, và cấu hình chơi tự động Chơi lại: bắt đầu chơi một phiên mới
Gợi ý: chức năng này chỉ cho người chơi một hướng di chuyển phù hợp với trạng thái hiện tại
Tự động: khi lựa chọn tự động thì máy sẽ tự thực hiện các bước di chuyển
Màn hình cài đặt
- Cho phép chọn kích thước bàn chơi, có các lựa chọn 3x3 4x4 5x5 - Sắc thái của game: Mặc định, Rực rỡ và tươi tắn
- Cấu hình cho máy chơi tự động
Màn hình cấu hình chơi tự động
- Cho phép chọn độ cao giới hạn của cây tìm kiếm tìm kiếm Minmax - Thời gian giới hạn cho một quá trình tìm kiếm
- Lưu trữ kết quả.
Hình 3.5(a): giao diện cài đặt cho trò chơi
3.2.3 Chi tiết cài đặt
Lớp M2GameManager điều khiển logic của trò chơi, di chuyển và kiểm tra kết thúc (thắng, thua)
Lớp M2Grid là cấu trúc dữ liệu lưu trữ một trạng thái của bảng, sử dụng mảng một chiều
Lớp M2AI là lớp chính, đầu vào là một trạng thái và phải trả về cách di chuyển tốt nhất
Hình 3.5(b): giao diện cấu hình cho việc chơi tự động
Bắt đầu
Khởi tạo trạng thái ban đầu với 2 ô chứa số 2
Tính bước di chuyển tiếp theo (Sử dụng Minimax)
Kiểm tra kết thúc ( đã xuất hiện sô 2048)
Kết thúc
Tạo ra trạng thái mới sử dụng cách đi vừa tìm được
Yes
No
i ni t Wi t hGr i d: (M2Gr i d * ) gr i d;
(M2Vect or * ) best Move;
(voi d) moveToDi r ect i on: (M2Di r ect i on) di r ect i on
(BOOL) i sWi nni ngBoar d
Sơ đồ khối biểu diễn quá trình tìm kiếm tương ứng với những function bên phải
Hình 3.6: Sơ đồ khối của quá trình chơi tự động
3.2.4 Thống kê kết quả
Chương trình được thực hiện trên Simulator của Xcode 5.1.1. Chạy trên máy MACBOOK 2012 sử dụng chip Core i7 2.6GHz thu được kết quả sau:
Rằng buộc đầu vào:
- Với mỗi bước sinh ngẫu nhiên các số 2 hoặc 4 với tỉ lệ, số 2: chiếm 90% số 4 chiếm 10%
Kết quả thu đƣợc:
Hình 3.7: Màn hình hiển thị kết quả trong quá trình chạy thử nghiệm
Độ sâu Mục tiêu Số lần
chạy Tổng thời gian trung bình Thời gian chiến Tỉ lệ thắng
2 2048 50 93.5’ 1.876’ 67%
4096 40 3h43’ 5.575’ 11%
3 2048 30 2h41’ 5.3’ 98%
4096 10 1h37’ 9.7’ 70%
Thời gian trong bảng trên bao gồm cả thời gian cho quá trình đồ hoạ của trò chơi, các hiệu ứng vẽ và di chuyển các trạng thái trong trò chơi từ trạng thái
ban đầu đến trạng thái kết thúc (dành chiến thắng hoặc thất bại). Chính vì thế đó không chỉ là thời gian tính toán của giải thuật Minimax alpha-beta mà còn gồm cả thời gian của việc đồ hoạ cho trò chơi.
3.2.5 Quan sát quá trình chơi tự động và một số kinh nghiệm thu đƣợc
Trong quá trình máy tự động chơi, ta quan sát được các quyết định di chuyển tối ưu ở độ sâu định trước. Trong những bước tính toán tối ưu đó các trạng thái của trò chơi 2048 thường biến đổi theo một số quy luật và có những điểm chung nhất định. Từ đó ta có thể đúc kết lại một số kinh nghiệm cho người chơi để khả năng dành chiến thắng của người chơi là cao nhất. Dưới đây là một số kinh nghiệm quan sát được trong quá trình cho máy chơi tự động.
1. Di chuyển theo 3 hƣớng định sẵn.
Hình 3.8(a): Màn hình hiển thị một trạng thái kết quả của việc chọn cách di chuyển và xây dựng nền tảng các con số ở hàng dưới cùng
Người chơi sẽ cố gắng di chuyển bảng số theo ba hướng nhất đi ̣nh ví dụ: trái, phải và xuống. Nếu theo ba hướng này, người chơi sẽ có thể xây dựng được một nền tảng khá tốt ở phía dưới và sau đó ngư ời chơi chỉ sẽ mất một chút thời gian với mô ̣t vài chuyển đô ̣ng đôi cùng mô ̣t chuỗi dây chuyền kết nối sẽ giúp những con số gô ̣p la ̣i với nhau thì mô ̣t số có giá tri ̣ lớn . Hãy ưu tiên di chuyển theo ba
hướng định trước và lặp lại nó như một chiến thuật để liên kết các con số giống nhau la ̣i với nhau.
Khi đã định rõ chiến lược chơi cho việc di chuyển theo ba hướng nhất định thì phải hạn chế tối đa việc di chuyển theo hướng thứ tư. Di chuyển theo hướng thứ tư có thể sẽ làm mất lợi thế và rời rạc hoá những con số đang có giá trị cao mà người chơi đã mất rất nhiều công để tạo ra và những con số ấy đang ở những vị trí thuận lợi có khả năng hợp nhất với nhau.
2. Cố gắng cân bằng giá trị của các con số trong bảng
Hình 3.8(b): Màn hình hiển thị một trạng thái kết quả của việc chọn cách di chuyển để cố gắng cân bằng các con số
Đây là mô ̣t chiến lược tốt khi ngư ời chơi cân bằng được sự tăng trưởng của các con số, khi trong ván chơi không có sự chênh lê ̣ch quá nhiều giữa các con số lớn nhất và nhỏ nhất . Hãy cố gắng để nhận được 2 con số trả về cao nhất ta ̣i mo ̣i thời điểm, theo sau đó là mô ̣t số lượng con số nhỏ hơn xuất hiê ̣n theo că ̣p sẵn sàng kết hợp với nhau trong mo ̣i thời điểm. Nếu người chơi có thể duy trì được tính cân bằng trong trò chơi, người chơi sẽ có rất nhiều cơ hội để dành chiến thắng. Rõ ràng việc cân bằng giá trị các con số là nền tảng giúp việc hợp nhất
được dễ dàng. Nếu trong khi chơi, người chơi không tạo được sự cân bằng mà để giả trị các con số khác biệt và rời rạc thì khả năng thua cuộc là rất lớn
3. Giảm số lần di chuyển không có hợp nhất
Hình 3.8(c): Màn hình hiển thị một trạng thái kết quả của việc chọn cách chơi giảm số lần di chuyển trống
Mô ̣t bước di chuyển trống ở đây có thể hiểu là bước di chuyển mà không gô ̣p được bất kỳ con số nào . Người chơi cần cố gắng giảm bớt những di chuyển như thế này vì mỗi lần ngư ời chơi di chuyển sẽ phát sinh mô ̣t con số ở nhữn g vi ̣ trí ngẫu nhiên. Khi người chơi không thể gô ̣p được những con số thì đừng nên làm nó phát sinh thêm mới quá nhiều . Trong quá trình di chuyển không có hợp nhất thì điểm số cũng sẽ không tang, chính vì vậy thuật toán chạy tự động cũng luôn tự đúng và loại bỏ cách di chuyển này.
Hình 3.8(d): Màn hình hiển thị một trạng thái kết quả của việc chọn cách chơi xây dựng những nền tảng nhỏ
Người chơi sẽ nhận được một số lượng các con số phát sinh khá nhiều sau mỗi lần di chuyển trong mô ̣t thời gian dài , vì thế hãy ưu tiên kết hợp các con số này lại với nhau và cân bằng chúng ở mức ban đầu . Sẽ rất dễ dàng cho những bước tiếp theo nếu ta xây dựng cách chơi để hợp nhất được những nền tảng nhỏ.
5. Di chuyển toàn bộ bảng số
Hình 3.8(e): Màn hình minh hoạ cho chiến lược di chuyển toàn bộ bảng số Khi người chơi di chuyển ở bất cứ hướng nào, các con số mới cũng sẽ được phát sinh. Chúng không hoàn toàn là những con số giống nhau. Nhưng ý tưởng ở đây là hãy thử và kết hợp nhiều hình vuông nhất có thể trong mỗi bước di chuyển và
cố gắng tối đa hóa không gian trống khi có thể . Khi có nhiều khoảng trống , người chơi sẽ có nhiều hướng lựa chọn hơn để di chuyển.
KẾT LUẬN
Với mục tiêu đề ra của luận văn là tìm hiểu và nghiên cứu về thuật toán tìm kiếm đối kháng Minimax, các cải tiến của nó và ứng dụng trong trò chơi 2048, các kết luận chính đã đạt được của luận văn có thể tóm tắt như sau:
Đã tìm hiểu được tổng quan về lý thuyết trò chơi và phương pháp tìm kiếm Minimax alpha-beta trong các trò chơi đối kháng.
Đưa ra mô hình toán học áp dụng vào trò chơi 2048.
Xây dựng lại trò chơi 2048 trên nền tảng iOS và quan trọng hơn là áp dụng lý thuyết đã tìm hiểu về thuật toán Minimax alpha-beta để xây dựng chức năng cho máy tự động chơi.
Xây dựng chức năng chỉ dẫn người chơi cho trò chơi 2048. Chức năng này bản chất cũng là việc để máy chạy thuật toán Minimax alpha-beta với trạng thái đầu vào là trạng thái của bảng hiện tại mà người chơi đang cần máy chỉ nước đi.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Thị Lệ (2009) Giải thuật tìm kiếm Minimax và ứng dụng trong các trò chơi có tổng bằng không, ĐHKHTN-ĐHQGHN
2. Phạm Thị Anh Lê, Phạm Thọ Hoàn (2011) Trí tuệ nhân tạo Artificial intelligence, Khoa CNTT trường ĐHSP Hà nội
3. Đỗ Xuân Lôi (1998), Cấu trúc dữ liệu và giải thuật, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội.
4. Nguyễn Đức Nghĩa - Nguyễn Tô Thành (1997), Toán rời rạc, NXB Giáo dục.
5. Đinh Mạnh Tường (2001), Cấu trúc dữ liệu & Thuật toán, NXB Khoa học kĩ thuật, Hà nội.
6. Đinh Mạnh Tường (2002), Trí tuệ nhân tạo, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà nội.
Tiếng Anh
7. Fudenberg, Drew and Jean Tirole: Game Theory, MIT Press, 1991
8. Poundstone, William Prisoner's Dilemma: John von Neumann, Game Theory and the Puzzle of the Bomb.
9. Nash, John (1950) "Equilibrium points in n-person games" Proceedings of the National Academy of Sciences
10. Jessica Billings (2008), The Minimax Algorithm, CS 330. 11. Michael A. Goodrich (2007), Proof of the Minimax Theorem. 12. Heylighen (1993), Zero sum games – Principia Cybernetica Web.
PHỤ LỤC
Chi tiết cài đặt một số lớp quan trọng trong chương trình
Lớp M2GlobalState:
Một số thuộc tính đáng chú ý:
@property (nonatomic, readonly) NSInteger dimension; @property (nonatomic, readonly) NSInteger winningLevel; @property (nonatomic, readonly) NSInteger tileSize; @property (nonatomic, readonly) NSInteger borderWidth; @property (nonatomic, readonly) NSInteger cornerRadius; @property (nonatomic, readonly) NSInteger horizontalOffset; @property (nonatomic, readonly) NSInteger verticalOffset;
@property (nonatomic, readonly) NSTimeInterval animationDuration; @property (nonatomic, readonly) NSTimeInterval searchTimeOut; @property (nonatomic, readonly) NSTimeInterval maxSearchDepth; Ý nghĩa :
@property (nonatomic, readonly) NSInteger dimension: Chương trình xây dựng trò chơi 2048 hỗ trợ các kích thước bảng chơi 3x3 4x4 5x5. Thuộc tính này lưu trữ kích thước của bảng chơi
@property (nonatomic, readonly) NSInteger winningLevel: Lưu trữ mốc dành chiến thẳng của trò chơi, mặc định là 2048 tuy nhiên giá trị này có thể tuỳ biến theo người dùng. @property (nonatomic, readonly) NSInteger tileSize: Kích thước của mỗi ô hiển thị trên màn hình iPhone
@property (nonatomic, readonly) NSTimeInterval animationDuration: Thuộc tính liên quan đến quá trình hiển thị UI cho người chơi khi người chơi thực hiện một nước đi thì có hiệu ứng di chuyển các title.
@property (nonatomic, readonly) NSTimeInterval searchTimeOut: Thuộc tính rất quan trọng lien quan đến thuật toán Minimax alpha-beta cài đặt cho máy tự chơi. Thuộc tính này giới hạn thời gian tìm kiếm tối đa cho một nước đi.
@property (nonatomic, readonly) NSTimeInterval maxSearchDepth: Thuộc tính này lưu trữ độ sâu của giải thuật Minimax alpha-beta mà người dùng muốn tìm kiếm. Độ sâu này được thay đổi trong màn hình cài đặt của trò chơi.
Lớp M2AI :
- (instancetype)initWithGrid:(M2Grid *)grid; - (M2Vector *)bestMove;
-(id)initWithMove:(M2Vector*)bestMove score:(double)score positions:(NSInteger)positions cutoffs:(NSInteger)cutoffs;
- (M2AIResult *)searchWithPlayerTurn:(BOOL)playerTurn depth:(NSInteger)depth
alpha:(double)alpha beta:(double)beta positions:(NSInteger)positions cutoffs:(NSInteger)cutoffs;
- (BOOL)isWinningBoard; - (BOOL)isGameOver;
- (M2Grid *)gridAfterMoveInDirection:(M2Vector *)direction;
Ý nghĩa của các phƣơng thức trên:
- (instancetype)initWithGrid:(M2Grid *)grid: Khởi tạo đầu vào cho lớp AI là một trạng thái của trò chơi 2048.
- (M2Vector *)bestMove: Phương thức này cho trả về kết quả nước đi tốt nhất cho trạng thái đầu vào ở phương thức bên trên.
- (id)initWithMove:(M2Vector *)bestMove score:(double)score
positions:(NSInteger)positions cutoffs:(NSInteger)cutoffs: Khởi tạo đầu vào cho lớp AI để tính toán nước đi tốt nhất cho một trạng thái mà khi đó đã biết giá trị tốt nhất trạng thái đó có thể đạt được cho đến thời điểm xét (score) vị trí của tốt nhất của nó
(positions) và nhánh được cắt bỏ (cutoffs)
- (M2AIResult *)searchWithPlayerTurn:(BOOL)playerTurn depth:(NSInteger)depth
alpha:(double)alpha beta:(double)beta positions:(NSInteger)positions cutoffs:(NSInteger)cutoffs: Hàm chính của thuật toán Minimax alpha-beta:
o playerTurn: Thể hiện người chơi Min hay Max o depth: Độ sâu đang xét trong quá trình tìm kiếm
o alpha: hệ số alpha trong thuật toán Minimax alpha-beta o beta: Hệ số beta trong thuật toán Minimax alpha-beta
o cutoffs: Đánh dấu nhánh được cắt bỏ trong quá trình tìm kiếm
- (BOOL)isWinningBoard: Kiếm tra trạng thái hiện tại xem đã là trạng thái chiến thắng hay chưa
hiện tại.
- (M2Grid *)gridAfterMoveInDirection:(M2Vector *)direction: Trả về trạng thái mới của trò chơi 2048 nếu di chuyển trạng thái hiện tại bằng phép di chuyển direction.
Class M2GameManager:
Các phƣơng thức đáng chú ý:
- (void)startNewSessionWithScene:(M2Scene *)scene; - (void)moveToDirection:(M2Direction)direction; - (void)showHint;
- (void)autoRun;
Ý nghĩa:
- (void)startNewSessionWithScene:(M2Scene *)scene: Tạo mới trò chơi.
- (void)moveToDirection:(M2Direction)direction: Hiển thị trạng thái thay đổi bằng cách di chuyển người dùng lựa chọn.
- (void)showHint: Gọi đến AI tính toán theo Minimax alpha-beta để đưa ra nước đi tối ưu và hiển thị chỉ dẫn người chơi sẽ đi theo cách tối ưu máy tìm được.
- (void)autoRun: Hàm cho máy tự động chơi trò chơi 2048.
Chi tiết cài đặt một số hàm quan trọng trong chƣơng trình
- (M2Vector *)bestMove {
// Khai báo kết quả tối ưu tìm được
M2AIResult *newBest;
// Khởi tạo thời gian bắt đầu tìm kiếm