Bộ tách tín hiệu ZF còn có tên gọi khác là bộ tách tín hiệu LS (Least Square : bình phương nhỏ nhất). Bản chất của bộ tách tín hiệu LS là giả sử tạp âm bằng không rồi sử dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất để tìm các tín hiệu phát sn
trong tập các ký hiệu. Việc này tương đương với giải một hệ M phương trình với N ẩn số. Chúng ta cần xác định ma trận trọng số W để tính s sau khi nhận được tín hiệu y sao cho sai khác bình phương giữa y và Hs nhỏ nhất
Hàm giá để ước lượng ký hiệu như sau: 𝑠 = arg min{׀׀ 𝑦 −׀׀22}
Tức là chúng ta cần tìm ŝ sao cho tối thiểu giá trị bình phương sai số sau: ׀׀∆y׀׀22 =׀׀ 𝑦 − H𝑠 ׀׀22
Khai triển ׀׀ Δy ׀׀22chúng ta có :
׀׀∆y׀׀22= y − Hs H y − Hs
= yHy − sHHHy − yHHs + sHHHHs
Ký hiệu H là chuyển vị-liên hợp ma trận. Lấy đạo hàm theo s ta có :
∂׀׀∆y׀׀22
∂s = −y
27
Đặt giá trị đạo hàm này bằng không, tức là : 𝜕׀׀∆𝑦׀׀22 𝜕𝑠 = 0
Khi đó chúng ta được : ŝ = HHH −1HHy
Trong đó : W = H ⊹ = HHH −1HH được gọi là phép đảo ma trận giả bên trái (left pseudo-inverse) của H để chỉ việc nhân với y nhận được, sẽ cho ra s.
Để ý rằng điều kiện để chúng ta có thể thực hiện phép đảo ma trận giả bên trái là rank(H)=N. Hay nói cách khác N cột của ma trận H cần phải độc lập tuyến tính với nhau. Điều kiện đủ là số hạng M của ma trân H phải lớn hơn số cột N ( M ≥ N). Trong trường hợp đặc biệt khi M=N, phép đảo ma trận giả bên trái trùng với phép đảo ma trận thông thường. Điều này có nghĩa bộ tách tín hiệu tuyến tính ZF chỉ có thể áp dụng được cho hệ thống MIMO, trong đó số anten thu nhiều hơn số anten phát.
Bỏ qua các thành phần tạp âm z chúng ta có thể biểu diễn lại ŝ như sau:
ŝ = HHH −1HHy
Do (HHH)-I HHH=IN là một ma trận đơn vị N hàng và N cột nên chúng ta thấy rằng bộ tách tín hiệu ZF đã tách riêng ra từng tín hiệu phát sn và loại bỏ hoàn toàn can nhiễu của tín hiệu từ các anten khác. Hay nói cách khác, can nhiễu từ các anten bên cạnh đã bị cưỡng bức bằng 0. Vì vậy, ngoài LS bộ tách sóng này còn có tên là ZF hay cưỡng bức bằng không.
Ta có thể suy ra tín hiệu được ma trận trọng số cho bộ tách tín hiệu ZF như sau: Mặc dù bộ tách tín hiệu ZF chỉ áp dụng được cho các kênh truyền có số hạng M lớn hơn số cột N nhưng trong một số trường hợp chúng ta vẫn mong muốn sử dụng một bộ tách tín hiệu tương tự cho kênh truyền có N > M. Trong trường hợp đó chúng ta chúng ta gặp phải bài toán giải hệ phương trình có số phương trình ít hơn số ẩn. Khi đó sẽ không áp dụng được kết quả
28
ŝ = HHH −1HHy
Do ma trận HHH trở nên gần đơn điệu và vì vậy không lấy nghịch đảo được. Tuy nhiên, sử dụng phương pháp SVD kết hợp với số nhân Lagrange chúng ta có thể tìm được ŝ dạng tương tự.
ŝ = HHH −1y
Trong đó H++=HH.( HHH)-I được gọi là phép đảo ma trận bên phải (right pseudo-inverse) của H. Và có kết quả tương đương sau :
ŝ = WHy
ŝ = HHH −1y
=>𝑊 = 𝐻⊹𝐻 = HH HHH −1, M ≥ N
Trong Matlab, hàm pinv có thể áp dụng cho cả hai phép đảo ma trận giả bên phải và bên trái.
Để ý rằng phần lớn độ phức tạp tính toán của bộ tách tín hiệu tập trung vào phép lấy nghịch đảo ma trận (HHH)-I hoặc (HHH)-I. Vì vậy, độ phức tạp tính toán của bộ tách tín hiệu ZF tỷ lệ với hàm mật bậc ba của min(M,N) tức là CZF ~ 0 (min[M3,N3]).
Ưu điểm nổi bật của bộ tách tín hiệu ZF hay LS là đơn giản và có yêu cầu độ phức tạp tính toán thấp. Tuy nhiên, do tạp âm bị bỏ qua khi thiết kế ma trận trọng số W nên bộ tách tín hiệu này chịu ảnh hưởng của hiệu ứng khuếch đại tạp âm (noise amplification). Vì vậy, bộ tách tín hiệu ZF thích hợp với các kênh truyền có tỉ số SNR cao.
Nhận xét: Công thức
29
Chứa 3 đại lương s,H,y. Tùy theo tình huống vận dụng mà có thể tính được đại lượng này khi biết 2 đại lượng kia:
- Khi biết H, y ta ước lượng được ký hiệu truyền s
- Khi biết s (như dãy pilot) và y ta ước lượng được kênh truyền H - Khi biết s và H ta tính được y như là ký hiệu mã trước