2 .Lý thuyết độ phức tạp
2. an toàn của hệ RSA
Một nhận định chung là tất cả các cuộc tấn công giải mã đều mang mục đích không tốt. Trong phần độ an toàn của hệ mã hoá RSA sẽ đề cập đến một vài phương thức tấn công điển hình của kẻ địch nhằm giải mã trong thuật toán này.
Chúng ta xét đến trường hợp khi kẻ địch nào đó biết được modulo N, khoá công khai KB và bản tin mã ho á C, kh i đ ó k ẻ địch sẽ tìm ra b ản tin gốc (Plaintext) như thế nào. Để làm được điều đó kẻ địch thường tấn vào hệ thống mật mã bằng hai phương thức sau đây:
Chọn p và q Tính N=p×q Tính γ(N) Chọn khoá KB C = PKB (mod N) P = CkB ( mod N ) Chọn khoá KB KB kB Bản rõ P Bản mã C Bản rõ gốc P
Phương thức thứ nhất :
Trước tiên dựa vào phân tích thừa số modulo N. Tiếp theo sau chúng sẽ tìm cách tính toán ra hai số nguyên tố p và q, và có khả năng thành công khi đó sẽ tính được λ(N) và khoá bí mật k B. Ta thấy N cần phải là tích của hai số nguyên tố, vì nếu N là tích của hai số nguyên tố thì thuật toán phân tích thừa số đơn giản cần tối đa N bước, bởi vì có một số nguyên tố nhỏ hơn N . Mặt khác, nếu N là tích của n số nguyên tố, thì thuật toán phân tích thừa số đơn giản cần tối đa N1/nbước.
Một thuật toán phân tích thừa số có thể thành phức tạp hơn, cho phép phân tích một số N ra thành thừa số trong O( P) bước, trong đó p là số chia nhỏ nhất của N, việc chọn hai số nguyên tố là cho thuật toán tăng hiệu quả.
Phương thức thứ hai :
Phương thức tấn công thứ hai vào hệ mã hoá RSA là có thể khởi đầu bằng cách giải quyết trường hợp thích hợp của bài toán logarit rời rạc. Trường hợp này kẻ địch đã có trong tay bản mã C và khoá công khai KB tức là có cặp (KB,C)
Cả hai phương thức tấn công đều cần một số bước cơ bản, đó là : O(exp lnNln(lnN)), trong đó N là số modulo.