2 Chi·u húu h¤n v tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t
2.3.T½nh húu h¤n cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t
· 3.4]).
2.2.5 Bê ·. ([11, M»nh · 3.4]) Cho I l mët i¶an cõa R v x1, . . . , xt
l mët d¢y I-låc ch½nh quy cõa M. Vîi méi j ≤ t ta câ
HIj(M) = ( H(jx 1,...,xt)R(M) vîi j < t HIj−t(H(jx 1,...,xt)R(M)) vîi j ≥ t .
2.3 T½nh húu h¤n cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶nk¸t k¸t
N«m 2011, Nguy¹n Tü C÷íng v Ph¤m Hòng Quþ [5] ¢ chùng minh ÷ñc ành lþ sau ¥y. ành lþ n y âng vai trá r§t quan trång cho vi»c nghi¶n cùu trong [13] v nâ th÷íng ÷ñc gåi l ành lþ ch´ ra. ¥y l k¸t qu£ ch½nh cõa [5].
2.3.1 ành l½. ([5, ành lþ 1.1]) Cho M l mët R-mæun húu h¤n sinh v I l mët i¶an cõa v nh R. Cho t v n0 l c¡c sè nguy¶n d÷ìng sao cho In0HIi(M) = 0 vîi måi i < t. Khi â vîi måi ph¦n tû I-låc ch½nh quy
x ∈ I2n0 cõa M ta câ HIi(M/xM) ∼= Hi I(M)⊕HIi+1(M) vîi måi i < t−1 v 0 :Ht−1 I (M/xM) In0 ∼= Ht−1 I (M)⊕0 :Ht I(M) In0
Tø ành lþ tr¶n ta câ h» qu£ sau.
2.3.2 H» qu£. ([5, H» qu£ 4.4]) Cho M l mët R-mæun húu h¤n sinh v
I l mët i¶an cõa v nh R. Cho t v n0 l c¡c sè nguy¶n d÷ìng sao cho
In0HIi(M) = 0 vîi måi i < t. Khi â vîi måi d¢y I-låc ch½nh quy x1, . . . , xn
cõa M chùa trong I2n0 ta câ j
[
i=0
AssHIi(M) = AssM/(x1, . . . , xj)M ∩V(I)
vîi måi j = 1, . . . , t. °c bi»t, AssHIt(M) l tªp húu h¤n.
Chot = fI(M). Gi£ sû tçn t¤i c¡c ph¦n tûa1, . . . , at sao chop
(a1, . . . , at) = √ I. Khi â ta câ HIt(M) ∼= lim → n1,...,nt∈N M/(an1 1 , . . . , ant t )M. Tø â ta suy ra AssHIt(M) ⊆ [ n1,...,nt∈N AssM/(xn1 1 , ..., xnt t )M .
Theo H» qu£ 2.3.2 th¼ tªp AssHIt(M) l húu h¤n. Do â bao h m thùc tr¶n d¨n ¸n c¥u häi: Vîi c¡c i·u ki»n nh÷ tr¶n, ph£i ch«ng
[
n1,...,nt∈N
AssM/(xn1
1 , ..., xnt
l mët tªp hñp húu h¤n?
C¡c chùng minh ti¸p theo cho c¥u tr£ líi kh¯ng ành èi vîi c¥u häi n y. Tr÷îc h¸t ta câ bê · sau.
2.3.3 Bê ·. Gi£ sû t v n0 l c¡c sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n t= fI(M)
v In0HIi(M) = 0 vîi måi i < t. Cho a1, . . . , at l mët d¢y ph¦n tû chùa trong I2n0 sao cho √I = p(a1, . . . , at)R. Khi â ta câ
AssM/(a1, . . . , at)M =
t [
i=0 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
AssHIi(M).
Chùng minh. D¹ d ng suy ra tø Bê · 2.2.4 v H» qu£ 2.3.2.
2.3.4 Bê ·. Cho t v n0 l c¡c sè nguy¶n d÷ìng sao cho t = fI(M) v
I2jn0HIi(M) = 0. Khi â vîi måi d¢y I-låc ch½nh quy x1, . . . , xt cõa M, ta câ I2jn0HIi(M/(x1, . . . , xj)M) = 0 vîi måi 0 ≤j ≤ t−1 v i < t−j.
Chùng minh. Tr÷íng hñp j = 0 l t¦m th÷íng v theo quy n¤p ta ch¿ c¦n chùng minh kh¯ng ành trong tr÷íng hñp j = 1< t. D¢y khîp ngn
0 −→M/(0 :M x1) −x→1 M −→ M/x1M −→0
c£m sinh d¢y khîp sau
· · · −→HIi(M) −→ HIi(M/x1M) −→HIi+1(M/0 :M x1) −→ · · ·
Chó þ r¬ng 0 :M x1 l I-xon, n¶n
HIi+1(M/0 :M x1) ∼= Hi+1
I (M)
vîi måi i < t−1. Suy ra I2jn0HIi(M) = 0 vîi måi i < t−1.
2.3.5 M»nh ·. Gi£ sû tv n0 l c¡c sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n t≤ fI(M)
cho I = (x1, . . . , xt)R. Gi£ sû j < t l mët sè nguy¶n khæng ¥m. Khi â vîi måi n1, ..., nt ∈ N thäa m¢n ni ≥ 2tn0 vîi måi j + 1 ≤i ≤t, ta câ
Ass(M/(xn1 1 , ..., xnt t )M = AssM/(xn1 1 , ..., xnj j , x2tn0 j+1, ..., x2tn0 t )M. Chùng minh. V¼ √I = p(xn1 1 , . . . , xnt t )R n¶nxn1 1 R+ (xn2 2 , . . . , xnt t )R * p vîi måi p ∈ AssM\V(I). Do â ta câ thº chån mët ph¦n tû y1 = xn1
1 + z1 vîi
z1 ∈ (xn2
2 , . . . , xnt
t )R sao cho y1 ∈/ p vîi måi p ∈ AssM\V(I). Khi â y1 l mët ph¦n tûI-låc ch½nh quy cõa M v (xn1
1 , . . . , xnt
t )R = (y1, xn2
2 , . . . , xnt
t )R.
M°t kh¡c, theo gi£ thi¸t ni ≥ 2tn0 vîi måi j + 1 ≤ i ≤t n¶n ta câ
(xn1 1 , . . . , xnj j , x2tn0 j+1, . . . , x2tn0 t )R = (y1, xn2 2 , . . . , xnj j , x2tn0 j+1, . . . , x2tn0 t )R.
Ti¸p töc qu¡ tr¼nh tr¶n ta thu ÷ñc mët d¢y I-låc ch½nh quy y1, . . . , yj cõa
M thäa m¢n (xn1 1 , . . . , xnt t )R = (y1, . . . , yj, xnj+1 j+1 , . . . , xnt t )R v (xn1 1 , . . . , xnj j , x2tn0 j+1, . . . , x2tn0 t )R = (y1, . . . , yj, x2tn0 j+1, . . . , x2tn0 t )R.
Theo Bê · 2.3.4 ta câ I2jn0HIi(M/(x1, . . . , xj)M) = 0 vîi måi i < t −j.
Tø nhúng chùng minh tr¶n, ¡p döng Bê · 2.3.3 ta nhªn ÷ñc: Ass(M/(xn1 1 , ..., xnt t )M = Ass(M/(y1, . . . , yj, xnj+1 j+1 , . . . , xnt t )M = [ i≤t−j AssHIi(M/(x1, . . . , xj)M) = Ass(M/(y1, . . . , yj, x2tn0 j+1, . . . , x2tn0 t )M = AssM/(xn1 1 , ..., xnj j , x2tn0 j+1, ..., x2tn0 t )M. Bê · ÷ñc chùng minh.
ành lþ sau ¥y l c¥u tr£ líi kh¯ng ành cho cho c¥u häi °t ra ban ¦u. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2.3.6 ành l½. Cho t = fI(M) v x1, . . . , xt l c¡c ph¦n tû trong I sao cho √ I = p(x1, . . . , xt)R. Khi â [ n1,...,nt∈N AssM/(xn1 1 , . . . , xnt t )M l tªp hñp húu h¤n.
Chùng minh. Gi£ sû n0 l mët sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n In0HIi(M) = 0
vîi måi i < fI(M). Vîi méi bë sè nguy¶n (n1, . . . , nt)Nt ta x²t mët bë gçm
t sè nguy¶n d÷ìng (m1, . . . , mt) ∈ Nt thäa m¢n mi = ni n¸u ni < 2tn0 v
mi = 2tn0 n¸u ni ≥ 2tn0. Thay êi thù tü cõa c¡c ph¦n tûxi n¸u c¦n thi¸t, ta câ thº gi£ sû r¬ng câ mët sè nguy¶n khæng ¥m j ≤ t sao cho ni < 2tn0
vîi måi i ≤ j v ni ≥ 2tn0 vîi måi j + 1 ≤ i ≤ t. Do â, tø Bê · 2.3.6 ta suy ra AssM/(xn1 1 , . . . , xnt t )M = AssM/(xm1 1 , . . . , xmt t )M. Vªy [ n1,...,nt∈N AssM/(xn1 1 , . . . , xnt t )M = [ 1≤m1,...,mt≤2tn0 AssM/(xm1 1 , . . . , xmt t )M l mët tªp hñp húu h¤n. ành lþ ÷ñc chùng minh.
ành lþ tr¶n d¨n ¸n k¸t qu£ sau. ¥y l k¸t qu£ ch½nh cõa [13].
2.3.7 ành l½. Cho M l R-mæun húu h¤n sinh v I l i¶an cõa R. Cho
t l sè nguy¶n d÷ìng thäa m¢n t ≤ fI(M) v x1, . . . , xt l mët d¢y I-låc ch½nh quy cõa M. Khi â
[ n1,...,nt∈N AssM/(xn1 1 , . . . , xnt t )M l mët tªp hñp húu h¤n.
Chùng minh. °t a = (x1, . . . , xt). Theo Bê · 2.2.5 ta câ
Hai(M) ∼= Hi I(M)
v chóng húu h¤n sinh vîi måi i < t. Do â tø ành lþ 2.3.6 ta câ ngay i·u c¦n chùng minh.
KT LUN
Luªn v«n tr¼nh b y mèi li¶n quan giúa t½nh húu h¤n cõa tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v chi·u húu h¤n cõa mët mæun húu h¤n sinh èi vîi mët i¶an düa v o b i b¡o [13] cõa Ph¤m Hòng Quþ. Cö thº l luªn v«n ¢ ho n th nh ÷ñc nhúng vi»c sau:
1. H» thèng mët sè kh¡i ni»m, k¸t qu£ cõa ¤i sè giao ho¡n li¶n quan ¸n vi»c chùng minh k¸t qu£ ch½nh trong luªn v«n (Ch÷ìng 1).
2. Tr¼nh b y kh¡i ni»m chi·u húu h¤n cõa mët mæun èi vîi mët i¶an; ành ngh¾a v mët sè t½nh ch§t cõa d¢y I-låc ch½nh quy (Möc 2.1 v 2.2).
3. Tr¼nh b y v· mèi li¶n quan giúa chi·u húu h¤n v t½nh húu h¤n tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t cõa mët mæun húu h¤n sinh; °c bi»t l li¶n quan giúa t½nh húu h¤n tªp c¡c i¶an nguy¶n tè li¶n k¸t v mæun èi çng i·u àa ph÷ìng ¦u ti¶n khæng húu h¤n sinh (ành lþ 2.3.6, ành lþ 2.3.7).
TI LIU THAM KHO
Ti¸ng Vi»t
[1] Nguy¹n Tü C÷íng (2003), Gi¡o tr¼nh ¤i sè hi»n ¤i, NXB ¤i håc Quèc gia H Nëi.
[2] D÷ìng Quèc Vi»t (2008), Cì sð lþ thuy¸t mæun, Nh xu§t b£n ¤i håc S÷ ph¤m, H Nëi.
Ti¸ng Anh
[3] M. Brodmann and R. Y. Sharp (1998), Local cohomology: An algebraic introduction with geometric applications, Cambridge University Press. [4] M. Brodmann and A. L. Faghani (2000), A finiteness result for asso- ciated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc. 128: 2851-2853.
[5] N. T. Cuong and P. H. Quy (2011), A splitting theorem for local cohomology and its Applications, J. Algebra 331: 512522.
[6] C. Huneke (1992). Problems on local cohomology. In: Free Resolutions in Commutative Algebra and Algebraic Geometry, (Sundance, Utah, 1990), Res. Notes Math. Vol. 2. Boston, MA: Jones and Bartlett, pp. 93108.
[7] I. Kaplansky, (1974). Commutative Rings. Revised ed., Chicago: Chicago University Press.
[8] M. Katzman (2002), An example of an infinite set of associated primes of a local cohomology module, J. Algebra 252: 161-166.
[9] K. Khashyarmanesh and Sh. Salarian (1998), Filter regular sequences and the finiteness of local cohomology modules, Comm. Algebra 26: 24832490.
[10] K. Khashyarmanesh and Sh. Salarian (1999). On the associated primes of local cohomology modules, Comm. Algebra 27: 61916198. [11] U. Nagel and P. Schenzel (1994). Cohomological annihilators and Castelnuovo-Mumford regularity. In: Commutative Algebra: Syzygies, Multiplicities, and Birational Algebra. Contemp. Math. Vol. 159. Providence, RI: Amer. Math. Soc., pp. 307328. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
[12] P. H. Quy (2010), On the finiteness of associated primes of local cohomology modules, Proc. Amer. Math. Soc. 138: 19651968.
[13] P. H. Quy (2013), A Remark on the Finiteness Dimension, Comm. Algebra 41: 2048-2054.
[14] A. K. Singh (2000), p-torsion elements in local cohomology modules, Math. Res. Lett. 7: 165176.