Mối liên quan của các dạng khác nhau của ÔĐ

2.1. Sự tương đương của hai kiểu đoán nhận

Định lý 1: Nếu L = L(M) với một ÔĐX M, thì L = N(M’) với một ÔĐX M’ nào

đó.

Chứng minh:

Giả sử M = (Σ, Q, Γ, ∂, q0, Z0, F) và L = L(M). Ta xây dựng ÔĐX M’ bắt chước mọi bước chuyển của M, nhưng khi M rơi vào một trạng thái cuối, thì M’ tiếp tục xoá ngăn xếp của mình. M’= (Σ, Q{qe, q0},  {X0}, ∂’, q0’, X0, ), trong đó ∂’ được định nghĩa như sau:

1) ∂’(X0, q0’, ε) = {(X0, Z0, q0)}

2) Với mọi qQ, aΣ{ε} và Z , thì

∂’(Z, q, a) bao gồm mọi phần tử của ∂(Z, q, a)

3) Với mọi qF và Z  {X0}, thì ∂’(Z, q, ε) bao gồm (ε, qe) 4) Với mọi Z  {X0}, thì ∂’(Z, qe, ε) bao gồm (ε, qe).

Quy tắc (1) làm cho M’ tiếp nhận hình trạng đầu của M, mặc dù M’ có đáy ngăn là X0 khác với Z0 (X0 sẽ nằm dưới Z0).

Quy tắc (2) làm cho M’ bắt chước mọi bước chuyển của M.

Quy tắc (3) và (4) cho phép mỗi khi M rơi vào một trạng thái cuối, thì M’ chuyển sang trạng thái qe và xau đó xoá hết ngăn xếp, như thế nó có khả năng thừa nhận xâu vào hoặc vẫn tiếp tục bắt chước M nếu M còn tiếp tục làm việc.

Lưu ý rằng, M rất có thể xoá hết ngăn xếp của nó khi đọc hết xâu vào x, mà x vẫn không thuộc L(M), bởi M đã tới một trạng thái không kết thúc. Chính vì thế mà phải cho M’ một đáy ngăn khác, vì nếu không, do bắt chước M, mà M’ cũng về ngăn rỗng, buộc sẽ phải thừa nhận x.

Định lý 2. Nếu L = N(M) với một ÔĐX M, thì L = N(M’) với một ÔĐX M’ nào đó.

Chứng minh:

Ta xây dựng ÔĐX M’ có khả năng bắt chước mọi bước chuyển của M’, và nó chuyển trạng thái về trạng thái cuối khi và chỉ khi M xoá hết ngăn xếp của nó.

M’ = (Σ, Q{q0’, qf},  {X0}, ∂’, q0’, X0, {qf}). Trong đó ∂’ được định nghĩa như sau:

1) ∂’(X0, q0’, ε) = {(X0, Z0, q0)}

2) Với mọi qQ, aΣ{ε}, và Z  thì ∂’(Z, q, a) = ∂(Z, q, a). 3) Với mọi qQ, ∂’(X0, q, ε) bao gồm (ε, qf).

Quy tắc (1) làm cho M’ tiếp nhận hình trạng đầu của M, mặc dù M’ có đáy ngăn X0 khác Z0 (X0 sẽ nằm dưới Z0).

Quy tắc (2) làm cho M’ bắt chước mọi bước chuyển của M. Khi đoán nhận một xâu, M xoá hết ngăn xếp. Như thế M’ bắt chước M cũng sẽ xoá ngăn xếp, trừ ký hiệu X0 ở đáy.

Quy tắc (3) làm cho M’ chuyển về trạng thái cuối qf khi gặp lại X0, và như thế cho phép thừa nhận xâu vào.

2.2. Ôtômát đẩy xuống đơn định

ÔĐX là đơn định theo nghĩa là xuất phát từ mỗi hình trạng, nhiều nhất chỉ có một bước chuyển có thể. Một cách hình thức ta định nghĩa một ÔĐX đơn định như sau:

Là một tập M = (Σ, Q, , ∂, q0, Z0, F), trong đó:

1) Với mỗi qQ và Z , mỗi khi ∂(Z, q, ε)  thì ∂(Z, q, a) = với mọi aΣ 2) Không có q nào trong Q, Z trong và a trong Σ{ε} làm cho ∂(Z, q, a) chứa nhiều hơn một phần tử.

Điều kiện (1) không cho phép khả năng chọn lựa giữa phép chuyển không xác định ký hiệu nhập (ε -dịch chuyển) và phép chuyển trên một ký hiệu vào.

Điều kiện (2) không cho phép lựa chọn một vài phép chuyển nào đó ∂(Z, q, a) hay ∂(Z, q, ε). Một ÔĐX thông thường được xét là không đơn định trừ khi ta có ghi chú cụ thể.

Với một ôtômát hữu hạn, thì ÔHĐ và ÔHK là tương đương. Đối với ÔĐX thì không như thế. Chẳng hạn wwR được đoán nhận bởi một ÔĐX không đơn định, nhưng không thể đoán nhận bởi một ÔĐX đơn định nào.