Ví d 1ụ : (Thi khu v c, 2003, l p 9) ự ớ
Tìm t t c các s t nhiên n (1010ấ ả ố ự ≤n≤2010) sao cho an = 20203 21n+ c ng là s t nhiên.ũ ố ự
-- Gi i --ả
Vì 1010 ≤ n ≤ 2010 nên 203,5 ≈ 41413 ≤ an ≤ 62413 ≈ 249,82.
Vì an nguyên nên 204 ≤ n ≤ 249. Ta cĩ an2 = 20203 + 21n = 21.962 + 1 + 21n. Suy ra: an2 – 1 = 21(962+n), hay (an - 1)(an + 1) = 3.7.(962+n).
Do đĩ, 2 ( ) ( )
n n n
a 1− = a 1 a 1− + chia h t cho 7.ế
Ch ng t (aứ ỏ n - 1) ho c (aặ n + 1) chia h t cho 7. V y aế ậ n = 7k + 1 ho c aặ n = 7k – 1.
* N u aế n = 7k – 1 thi do 204 ≤ n =7k-1≤ 249 => 29,42 ≤ k ≤ 35,7. Do k nguyên nên
{ }
k= 30;31;32;33;34;35 . Vì 2 n
a 1 7k(7k 2)− = − chia h t cho 21 nên k ch là: 30; 32; 33; 35. Ta cĩ:ế ỉ
k 30 32 33 35
n 1118 1406 1557 1873 an 209 223 230 244
* N u aế n = 7k + 1 thi do 204 ≤ n =7k-1≤ 249 => 29,14 ≤ k ≤ 35,57. Do k nguyên nên
{ }
k= 30;31;32;33;34;35 . Vì 2 n
a 1 7k(7k 2)− = + chia h t cho 21 nên k ch là: 30; 31; 33; 34. Ta cĩ:ế ỉ
Nh v y ta cĩ t t c 8 đáp s .ư ậ ấ ả ố Ví d 2ụ : Tính A = 999 999 9993 -- Gi i --ả Ta cĩ: 93=729; 993= 970299; 9993=997002999; 99993= 99992.9999=99992(1000-1)= 999700029999. T đĩ ta cĩ quy lu t: ừ ậ 99...9nchữ số 93 n 1 chữsố{99...9 7 00...0 299...9n 1 chữ số{ {nchữ số 9 − − = 1 2 3 V y 999 999 999ậ 3 = 999 999 997 000 000 002 999 999 999. Bài t p t ng h pậ ổ ợ
Bài 1: (Thi khu v c, 2002, l p 9, d b ) ự ớ ự ị
a. Tìm s t nhiên n nh nh t sao cho nố ự ỏ ấ 3 là m t s cĩ ba ch s đ u và b n ch s cu i đ u b ng 1,ộ ố ữ ố ầ ố ữ ố ố ề ằ
t c là nứ 3 = 111...1111 .
b. Tìm s t nhiên n sao cho (1000 ố ự ≤ n ≤ 2000) sao cho an = 57121 35n+ là s t nhiên.ố ự
c. Tìm t t c các s t nhiên n sao cho nấ ả ố ự 2 = 2525******89 , các d u * v trí khác nhau cĩ th là các sấ ở ị ể ố
khác nhau.
d. Tìm t t c các s n cĩ ba ch s sao cho nấ ả ố ữ ố 69 = 1986..., n121 = 3333...
k 30 32 33 35
n 1118 1406 1557 1873 an 209 223 230 244
a. Tìm các ch s a, b, c đ ta cĩ: ữ ố ể a5 bcd 7850× =
b. Tìm các s cĩ khơng quá 10 ch s mà khi ta đ a ch s cu i cùng lên v trí đ u tiên thì s đĩ t ng lênố ữ ố ư ữ ố ố ị ầ ố ă
g p 5 l n.ấ ầ
c. Hãy tìm 5 ch s cu i cùng c a s ữ ố ố ủ ố 2224 +1 (S Fecma th 24)ố ứ
d. Gi i ph ng trình xả ươ 2 – 2003[ ]x + 2002 = 0 v i ớ [ ]x là ph n nguyên c a x.ầ ủ
Bài 3: (Thi khu v c 2003, l p 12) Tìm s d khi chia 2001ự ớ ố ư 2010 cho s 2003.ố
Bài 4: (Thi khu v c 2001, l p 10) ự ớ
a. Tìm các c s nguyên t nh nh t và l n nh t c a s 215ướ ố ố ỏ ấ ớ ấ ủ ố 2 + 3142.
b. Tìm s l n nh t và nh nh t trong các s t nhiên d ng ố ớ ấ ỏ ấ ố ự ạ 1x2y3z4 chia h t cho 7.ế
Bài 5: (S GD C n Th 2003) S 3ở ầ ơ ố 12 – 1 chia h t cho hai s t nhiên n m trong kho ng 70 đ n 79.ế ố ự ằ ả ế
Tìm hai s đĩ?ố
Bài 6: (Thi khu v c 2002, l p 12) Tìm UCLN c a hai s sau: a = 24614205; b = 10719433.ự ớ ủ ố
Bài 7: Ki m nghi m trên máy tính các s d ng 10n + 1 là h p s v i n = 3, …, 10. Ch ng minh r ng, sể ệ ố ạ ợ ố ớ ứ ằ ố
d ng 10n + 1 cĩ th là s nguyên t ch khi n cĩ d ng n = 2ạ ể ố ố ỉ ạ p. (Gi thi t: 10ả ế n + 1 là s nguyên t khi vàố ố
ch khi n = 1 ho c n = 2).ỉ ặ
Bài 8: Tìm t t c các c p s ấ ả ặ ố ab và cd sao cho khi đ i ng c hai s đĩ thì tích khơng đ i, t c là:ổ ượ ố ổ ứ
ab cd ba dc× = × (Ví d : 12.42 = 21.24 = 504ụ ) Bài 9: Tìm phân s ố m n x p x t t nh t ấ ỉ ố ấ 2 ( m,n( ) m 2 n δ = − là nh nh t), trong đĩ m, n là s cĩ hai chỏ ấ ố ữ s .ố
Bài 10: (Tr ng THCS ườ Đồng Nai – Cát Tiên, 2005) Cho s t nhiên n (5050 ố ự ≤ ≤n 8040) sao cho an = 80788 7n+ c ng là s t nhiên.ũ ố ự
a. an ph i n m trong kho ng nào?ả ằ ả
b. Ch ng minh r ng aứ ằ n ch cĩ th là m t trong các d ng sau: aỉ ể ộ ạ n = 7k + 1 ho c aặ n = 7k – 1 (v i kớ ∈N)
Bài 11: (S GD Lâm ở Đồng, 2005) Cho k = a1 + a2 + a3 + … + a100 và k 2 2
2k 1 a (k k) + = + . Tính k?
Nh n xétậ : D ng bài này th c ch t là bài thi h c sinh gi i tốn, nĩ nâng cao ý ngh a c a m c đíchạ ự ấ ọ ỏ ĩ ủ ụ
đ a máy tính vào tr ng ph thơng, phù h p v i n i dung tốn SGK đ i m i. Nh máy tính b túi giúp choư ườ ổ ợ ớ ộ ổ ớ ờ ỏ
ta d n d t t i nh ng gi i thuy t, nh ng quy lu t tốn h c, nh ng nghiên c u tốn h c nghiêm túc.ẫ ắ ớ ữ ả ế ữ ậ ọ ữ ứ ọ
Trong các k thi t nh d ng bài này chi m kho ng 20% - 40%, các k thi khu v cỳ ỉ ạ ế ả ỳ ự
kho ng 40% - 60% s đi m bài thi. Cĩ th nĩi d ng tốn này quy t đ nh các thí sinh tham d k thi cĩ đ tả ố ể ể ạ ế ị ự ỳ ạ
đ c gi i hay khơng. Nh v y, yêu c u đ t ra là ph i gi i tốn tr c, r i m i gi i tính. ượ ả ư ậ ầ ặ ả ỏ ướ ồ ớ ỏ
Hi n nay, đa s thí sinh cĩ m t trong đ i tuy n, c ng nh ph huynh nh n đ nhệ ố ặ ộ ể ũ ư ụ ậ ị
ch a chính xác quan đi m v mơn thi này, th ng đánh giá th p h n mơn tốn (th m chí coi mơn thi này làư ể ề ườ ấ ơ ậ
m t mơn h c khơng chính th c, ch mang tính ch t hình th c “th cho bi t”) nh ng th c t h uộ ọ ứ ỉ ấ ứ ử ế ư ự ế ầ
h t các thí sinh đ t gi i là các thí sinh hồn thành đ c các bài t p d ng này. Trong khi xu h ng c a tốnế ạ ả ượ ậ ạ ướ ủ
h c hi n đ i là k t h p h u c gi a suy lu n tốn h c và máy tính đi n t (vi tính), ngay c trongọ ệ ạ ế ợ ữ ơ ữ ậ ọ ệ ử ả
ch ng trình h c chính khĩa, SGK luơn cĩ bài t p v s d ng máy tính đi n t . ươ ọ ậ ề ử ụ ệ ử
IX.