Định nghĩa 1. Cho 2
( )
:
t f t
f I là một cung tham số hóa, là quỹ đạo của nó. Ta gọi mọi biểu diễn tham số chấp nhận được thuộc lớp C1 của f sao cho: ‖ ‖ , là biểu diễn tham số chuẩn của f.
Mệnh đề 1. Nếu f là chính quy, thì :
Với mỗi hoành độ cong s trên Γ, là một biểu diễn tham số chuẩn của f.
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 25 K36 CN – Toán
Với mỗi biểu diễn tham số hóa chuẩn g của f, tồn tại một hoành độ cong s trên Γ sao cho: hoặc .
Ta nói một cách đơn giản hơn rằng s và –s là những biểu diễn tham số của Γ.
Chứng minh
Ta giả thiết f chính quy, tức là . Kí hiệu: là hoành độ cong.
Ánh xạ f thuộc lớp C1 trên I, J = S(I) là một khoảng của và:
‖ ‖
Từ đó suy ra rằng là song ánh và rằng thuộc lớp C1 trên J. Như vậy là một biểu diễn tham số chấp nhận được của f.
Hơn nữa, khi kí hiệu , ta có:
‖ ‖ ‖
‖
‖ ‖
Vậy g là một biểu diễn tham số chuẩn của f.
Ngược lại, cho là một biểu diễn tham số chuẩn của f. Vì g là một biểu diễn tham số chấp nhận được của f. Vì g là một biểu diễn tham số chấp nhận được của f, nên tồn tại sao cho:
{ ộc lớp ê à á ộc lớp ê . Ánh xạ thuộc lớp C1 trên I và: ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖
Vì > 0 hoặc , ta suy ra: ‖ ‖ hoặc
‖ ‖.
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 26 K36 CN – Toán
Định nghĩa 2. Vectơ tiếp tuyến đơn vị (định hướng) của Γ tại M(s) là vectơ:
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .
⃗⃗ ⃗ .
⃗ ⃗⃗ là một hệ quy chiếu trực chuẩn thuận, được gọi là hệ quy chiếu Frenet tại M của Γ.
Nhận xét: Bằng một phép biến đổi tham số chấp nhận được thuận (tương ứng: nghịch), ⃗ ⃗⃗ được bảo toàn (tương ứng: đổi thành đối của chúng).
Mệnh đề 2. Cho là một biến đổi tham số chuẩn thuộc lớp Ck ( của Γ. Tồn tại một ánh xạ thuộc lớp Ck-1 sao cho:
⃗ .
Chứng minh:
Ánh xạ ⃗ ⃗ thuộc lớp Ck-1 (k-1 trên khoảng J, và lấy giá trị trong đường tròn đơn vị U. Tồn tại thuộc lớp Ck-1 sao cho:
⃗ .
Hơn nữa, nếu là ánh xạ như vậy, thì là ánh xạ hằng và là bội của 2
Nhận xét: 1) Với các giả thiết và các kí hiệu của mệnh đề trên, ta có:
⃗ ̂ [ ]; và . tại mọ đ ểm ở đó ’ k ô ệt tiêu. T N Γ M
SVTH: Nguyễn Lê Ngân 27 K36 CN – Toán
2) Bằng một phép đổi tham số chấp nhận được thuận (tương ứng: nghịch), được bảo toàn (tương ứng: đổi thành đối của nó).
Trường hợp tọa độ cực
Cho Γ là một đường cong có một phương trình cực , trong đó
thuộc lớp C2.
Ta kí hiệu: ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , sao cho ⃗ ̂ [ ]; ⃗ . Ta kí hiệu .
Khi đó ta có: ( ⃗ ⃗ )̂ [ ] và [ ]. Hơn nữa, tại mọi điểm ở đó không triệt tiêu, ta có: .