BÀI GIẢNG ĐIỆN TỪ
5.5Hai hoặc ba chiều
Bản đồ địa hình nêu trong hình o gợi ý một phương pháp tốt để hình dung mối liên hệ giữa điện trường và điện thế trong không gian hai chiều. Mỗi đường viền trên bản đồ là một đường đẳng mức; một vài trong số này được ghi rõ độ cao của chúng theo đơn vị feet. Chiều cao liên quan đến thế năng hấp dẫn, nên trong sự tương tự hấp dẫn, nên chúng ta có thể nghĩ chiều cao là biểu diễn cho điện thế. Ở nơi các đường viền cách xa nhau, như trong thành phố, độ dốc là thoai thoải. Các đường càng gần nhau cho thấy độ dốc càng lớn.
p/ Các đường cong đẳng thế xung quanh một điện tích điểm. Ở gần điện tích, các đường cong nằm sát nhau nên chúng nhập lại trong hình vẽ này do kích thước có hạn biểu diễn trên hình vẽ.
Một số vectơ cường độ điện trường được chỉ rõ bằng mũi tên.
Nếu chúng ta đi dọc theo một đường thẳng, nói ví dụ như đi từ thành phố thẳng sang phía đông, thì chiều cao (điện thế) là một hàm của tọa độ x đông-tây. Sử dụng định nghĩa toán học thường dùng của độ dốc, và viết V cho chiều cao để nhắc nhở chúng ta sự tương tự điện, thì độ dốc dọc theo một đường như thế là DV/Dx. Nếu độ dốc không phải là một hằng số, chúng ta cần sử dụng độ dốc của đồ thị V-x, hoặc sử dụng phép tính và nói về đạo hàm dV/dx.
Nếu như mọi thứ không giới hạn theo một đường thẳng thì sao ? Nước chảy từ trên đồi xuống. Lưu ý cách thức các dòng suối trên bản đồ cắt vuông góc qua các đường đẳng mức.
Người ta có thể lập bản đồ điện thế theo kiểu tương tự, như chỉ rõ trong hình p. Điện trường mạnh nhất ở nơi các đường cong đẳng thế gần nhau nhất, và vectơ cường độ điện trường luôn hướng vuông góc với các đường đẳng thế.
Hình r biểu diễn một số ví dụ về cách thức hình dung hình ảnh trường và điện thế.
r/ Hình ảnh điện trường và điện thế hai chiều. Hình trên: Một thanh tích điện đều. Hình dưới: Một lưỡng cực. Trong mỗi trường hợp, biểu đồ ở bên trái biểu diễn các vectơ trường và đường
cong đẳng thế, còn đồ thị bên phải biểu diễn điện thế (hệ tọa độ trên-dưới) là hàm của x và y. Chú thích các biểu đồ trường: Mỗi mũi tên biểu diễn trường tại điểm nơi ngọn của nó định vị. Để cho rõ ràng, một số mũi tên trong vùng cường độ điện trường rất mạnh không biểu diễn như trên, chúng quá dài nên vẽ ra được. Chú thích cho các đường cong đẳng thế: Trong những vùng điện trường rất mạnh, các đường cong không được chỉ rõ vì chúng nhập lại thành vùng đen đậm. Chú
thích cho các đồ thị phối cảnh: Cần nhớ rằng mặc dù chúng ta hình dung các thứ trong không gian ba chiều, nhưng đây thật ra là biểu diễn điện thế hai chiều. Chiều thứ ba (trên-dưới) biểu
Về mặt toán học, các phép tính của phần 5.4 khái quát hóa cho không gian ba chiều như sau:
© Tưởng tượng rằng bản đồ địa hình trong hình q biểu diễn điện thế chứ không phải độ cao. (a) Xét dòng chảy bắt đầu ở gần chính giữa của bản đồ. Hãy xác định dấu dương và âm của dV/dx và dV/dy, và liên hệ chúng với hướng của lực đang đẩy dòng điện chạy về phía trước chống lại sức cản của ma sát. (b) Nếu bạn muốn tìm thật nhiều điện tích trên bản đồ này, thì bạn sẽ tìm ở chỗ nào ?
Hình q