Bài 1 : Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB và hai tia tiếp tuyến Ax, By của nĩ. Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đ- ờng trịn (O) tại C (c ≠ A, B) cắt Ax, By lần lợt tại E, F
a. Chứng minh OE vuơng gĩc với OF
b. Chứng minh tam giác EOF đồng dạng với tam giác ACB.
c. Tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tam giác OEF. Từ đĩ chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng trịn ngoại tiếp tam giác OEF.
Bài 2 : Cho đờng trịn (O), đờng thẳng d tiếp xúc với đờng trịn tại A vẽ đờng trịn (I) đờng kính OA. a. Chứng minh hai đờng trịn (O) và (I) tiếp xúc với nhau.
b. Qua A vẽ một cát tuyến cắt đờng trịn (I) và đờng trịn (O) lần lợt ở M và C. CMR : MA= MC c. Đờng thẳng OM cắt d tại B. Chứng minh rằng : BC là tiếp tuyến của (O).
Bài 4 : cho nửa đờng trịn đờng kính AB và C ; D là hai điểm trên đĩ (C nằm giữa A và D). AC và AD cắt tiếp tuyến Bx của nửa đờng trịn lần lợt tại E và F.
a. Chứng minh ABD = AEF ; ABC = AEB
b. Chứng minh tứ giác CDEF nội tiếp một đờng trịn
c. Gọi I là trung điểm của FB.Chứng minh rằngDI là tiếp tuyến của nửa đờng trịn.
d. Giả sử CD cắt Bx ở G, phân giác của CGE cắt AE và AF thứ tự tại M và N. Chứng minh tam tiác AMN cân.
Bài 5 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng trịn (O) và E là điểm chính giữa cung AB. Hai dây EC, ED cắt AB thứ tự tại P và Q các dây AD và EC kéo dài cắt nhau ở I. Các dây BC và ED kéo dài cắt nhau ở K. Chứng minh rằng
a. Tứ giác CDIK nội tiếp b. Tứ giác CDPQ nội tiếp c. IK song song với AB
d. Đờng trịn ngoại tiếp tam giác AQP tiếp xúc với EA tại A
Bài 6 : Cho tam giác cân ABC(CA=CB) I là trung điểm của AB, đờng trịn (O) tiếp xúc với AB tại A, cắt CI tại H a. Chứng minh rằng : H là trực tâm của tam giác ABC.
b. Gọi B’ là điểm đối xứng với B qua AC. Chứng minh rằng B’ cũng thuộc đờng trịn (O).
c. Chứng minh ngợc lại rằng : nếu H là trực tâm của tam giác ABC thì đờng trịn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB.
Bài 7 : Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB = 2R và một dây cung thay đổi MN=R 2 (M nằm ở giữa cung AN) AM
cắt BN ở C ; AN cắt BM ở D.
a. Chứng minh tứ giác AMDN nội tiếp một đờng trịn tìm tâm đờng trịn ngoại tiếp tứ giác CMDN. b. Chứng minh rằng CD vuơng gĩc với AB.
c. Chứng minh rằng OM là tiếp tuyến của đờng trịn ngoại tiếp tứ giác CMDN d. Chứng minh rằng CD =AB và CD song song với một đờng thẳng cố định.
Bài 8: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự là A, B, C. Vẽ hai nửa đờng trịn đờng kính AB và BC ( vẽ cùng một phía của AC). trên đờng thẳng vuơng gĩc với AC tại B lấy điểm D sao cho gĩc ADC = 900 .gọi giao điểm của DA và DC với 2 nửa đờng trịnl à E và F .Chứng minh rằng
a. EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đờng trịn b. Tứ giác AEFC nội tiếp một đờng trịn
c. Xác định vị trí của điểm B trên đoạn thẳng AC để tứ giác DEBF là hình vuơng.
Bài 9 : Cho tam giác ABC nhọn và AB < AC nội tiếp trong đờng trịn (O,R) H là giao điểm của các đờng cao AM ; BN ; CP cịn Q là điểm đối xứng của H qua trung điểm E của cạnh BC. Chứng minh các gĩc PNB = BNM = CBQ
1. Chứng minh rằng : Q thuộc đờng trịn tâm (O)
2. Từ A kẻ đờng thẳng xy song song với NP đờng thẳng này cắt đờng thẳng BC ở K. Chứng minh rằng xy là tiếp tuyến của đờng trịn (O) và AK2 = KB. BC
3. Gọi I là điểm đối xứng của O qua BC, tính HI theo R.
IV.Chứng minh hai đờng thẳng song song hoặc vuơng gĩc
Bài 1 : Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng trịn (O) đờng cao AH cắt đờng trịn (O) ở D, kẻ đờng kính AOE a. Chứng minh rằng : DE song song với BC.
b. Gọi M là điểm chính giữa của cung DE, OM cắt BC tại I. Chứng minh rằng I là trung điểm của BC. c. Tính bán kính của đờng trịn (O) biết BC = 24 cm ; IM = 8cm
Bài 2 :
Cho đờng trịn (O) đờng kính AB, gọi S là trung điểm của AO, vẽ đờng trịn tâm S đi qua A. a. Chứng minh rằng các đờng trịn (O) và (S) tiếp xúc với nhau tại A
b. Một đờng thẳng d đi qua A cắt đờng trịn (S) tại M và đờng trịn (O) tại P Chứng minh rằng : 1. SM // OP
2. M là trung điểm của AP và OM //BP
Bài 3 : Cho hai đờng trịn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B, vẽ một đờng thẳng qua A cắt đờng trịn (O) ở C cắt đ- ờng trịn (O’) ở D (A nằm giữa C và D), vẽ một đờng thẳng qua B cắt đờng trịn (O) ở E, cắt đờng trịn (O’) với F (B nằm giữa E, F). hai đờng thẳng CD và EF khơng cắt nhau ở bên trong hai đờng trịn. Chứng minh rằng CE // DE.
Bài 4 : Cho nửa đờng trịn (O) đờng kính AB, Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax và By. Qua một điểm M thuộc nửa đờng trịn này kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By thứ tự ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau ở N. Chứng minh rằng
a. MN // AC
Bài 5 :Tam giác ABC nội tiếp trong đờng trịn (O) các đờng phân giác trong của các gĩc B, C lần lợt cắt đờng trịn tại E, F. Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt tại H, I.
a) Chứng minh các tam giác FKB và EAK cân
b) Chứng minh tứ giác FIKN nội tiếp. Từ đĩ suy ra IK // AC c) Cĩ nhận xét gì về tứ giác AIKH ?
Bài 6 : cho nửa lục giác đều ABCD nội tiếp nửa đờng trịn (O;R) hai tiếp tuyến tại B và D cắt nhau ở T. a. Chứng minh rằng OT// AB
b. Chứng minh rằng : ba điểm O,C,T thẳng hàng c. tính chu vi và diện tích tam giác TBD theo R
Bài 7: Trong đờng trịn (O) cho hai dây AC và BD vuơng gĩc với nhau tại I. Chứng minh rằng : a) Khoảng cách từ O tới AB bằng nửa độ dài CD.
b) Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuơng gĩc với AD.
Bài 8:
Cho đờng trịn đờng kính BC. Một điểm P ở ngồi đờng trịn cĩ hình chiếu trên BC là một điểm A ở ngồi đờng trịn. Giao của PB, với PC với đờng trịn lần lợt là M, N, giao của AN với đờng trịn là E. Chứng minh rằng :
a) Bốn điểm A, B, N, P nằm trên một đờng trịn b) EM vuơng gĩc với BC.
Bài 9: Tam giác ABC cĩ ba gĩc nhọn nội tiếp trong một đờng trịn (O), ngồi ra ACB = 450. Các đờng cao AH, BH của tam giác cắt đờng trịn lần lợt tại P, Q. Hai đờng thẳng AQ và BP giao nhau tại S.
a) Chứng minh PQ là đờng kính của đờng trịn (O).
b) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là hình bình hành c) Chứng minh các tam giác ASH và APQ là bằng nhau
d) Nếu tam giác ABC cĩ gĩc B tù thì các kết quả trên cịn đúng hay khơng ? chứng minh các điều đĩ.
Bài 10 : Tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O).Các đờng phân giác trong của các gĩc B,và C lần lợt cắt đờng trịn tại E& F.Dây cung è cắt AC,AB lần lợt tại H; I .CMR:
a) MN//AC.
b) CD.MN = CM.BD
B
ài 11:Trong đờng trịn (O) cho 12 dây cung AC và BD vuơng gĩc với nhau tại I .CMR
a)Khoảng cách từ O tơí AB bằng nửa độ dài CD
b)Đờng thẳng đi qua I và trung điểm của BC vuong gĩc với AD.
Bài 12: Cho đờng trịn đờng kính BC.Một điểm P nằm ngồi đờng trịn cĩ hình chiếu trên BC là một điểm trên A ở ngồi
đờng trịn .Giao điểm của PB và PC với đờng trịn lần lợt là M&N .Gọi giao điểm của AN với đờng trịn là E .CMR: a)Bốn điiểm A,B,N,P nằm trên đờng trịn.
b)EN vuơng gĩc với BC.
Bài 13:Tam giác ABC cĩ 3 gĩc nhọn nội tiếp đờng trịn (O),ngồi ra gĩc ACB =450. Các đờng cao AH,BH của tam giác
cắt đờn trịn lần lợt tại P,Q .Hai đờng thẳng AQ ,BP giao nhau tại S. CMR: a)PQ là đờng kính của đờng trịn(O).
b) ACBS là hình bình hành
c)Các ∆ ASH và APQ là bằng nhau:
d) Nếu ∆ABC cĩ gĩc B tù thì các kết quả trên cịn đúng hay khơng?Chứng minh điều đĩ.