b) Đặt t =4 x− + 2x 2−
NĂM HỌC 201 1 2012 Mụn thi: TOÁN
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Dành cho thớ sinh thi vào cỏc lớp chuyờn Toỏn, Tin)
Thời gian làm bài: 120 phỳt
Bài 1: (2,0 điểm) Cho phương trỡnh x2 −2( m−1) x m+ 2 − =2 0 (1) (ẩn x) a) Tỡm cỏc nghiệm của phương trỡnh (1) khi m là số tự nhiờn
b) Tỡm cỏc giỏ trị của m để phương trỡnh (1) cú hai nghiệm mà hiệu của chỳng bằng 2. Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải hệ phương trỡnh 2 2 2 2 2 5 2 0 4 0 x y xy y x x y x y − + + − + = + + + − = b) Cho Parabol (P) 1 2 4
y = x và điểm M( − −1; 2) . Tỡm phương trỡnh đường thẳng đi qua M và cắt (P) tại một điểm duy nhất.
Bài 3: (2,0 điểm)
a) Tỡm số nguyờn tố p và q sao cho cỏc số 7p + q và pq + 11 cũng là cỏc số nguyờn tố.
b) Cho x, y là cỏc số thực khụng õm. Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức:
2 2 2 2011
P = x y+ − xy − y +
Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giỏc đều ABC nội tiếp đường trũn tõm O. Trờn cung nhỏ
AB của đường trũn (O) lấy điểm E sao cho E khỏc A và B. Đường thẳng AE cắt cỏc tiếp tuyến tại B, C của đường trũn (O) lần lượt tại M và N. Gọi F là giao điểm của MC và BN. Chứng minh:
a) Hai tam giỏc CAN, tam giỏc MBA đồng dạng với nhau và BM. CN = BC2. b) BC là tiếp tuyến của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc MBF.
c) EF luụn đi qua một điểm cố định khi E thay đổi trờn cung nhỏ AB của (O) (E khỏc A và B)
Bài 5: (1,0 điểm) Trờn mặt phẳng cho 2011 điểm sao cho khụng cú 3 điểm nào thẳng hàng. Xột tất cả cỏc đoạn thẳng nối cỏc cặp điểm trong 2011 điểm này. Vẽ đường thẳng d khụng đi qua điểm nào trong số 2011 điểm núi trờn. Chứng minh rằng nếu đường thẳng d cắt một số đoạn thẳng xột ở trờn thỡ số đoạn thẳng bị đường thẳng d cắt là một số chẵn.
Lời giải
Bài 1:a) PT cú nghiệm khi 3
' 3 2 0
2
m m
∆ = − ≥ ⇔ ≤ ; do m là số tự nhiờn nờn m=0; m=1. Lần lần thay vào PT và giải.
b)* PT cú nghiệm khi 3 2
m≤
Giả sử PT cú hai nghiệm là x1 và x2, theo Vi-et ta cú x1 + x2=2(m-1) và x1 x2=m2-2(2) Cỏch 1: : Theo yờu cầu bài toỏn ta cú hoặc x1 - x2-2=0 hoặc x2- x1 -2=0 tương đương với (x1 - x2-2)( x2- x1-2)= 0. Khai triển tớch và biến đổi về dạng chứa tổng tớch cỏc nghiệm và thay hệ thức Vi-et tớnh được m = 1(thỏa món)
Cỏch 2: Khụng mất tớnh tổng quỏt, do vai trũ của cỏc nghiệm là như nhau trong hệ thức Vi-et nờn giả sử x1 - x2=2 kết hợp với x1 + x2=2(m-1) ta tớnh được x1=m và x2=m-2, thay vào (2) ta cú m=1(thỏa món)
Bài 2: (2,0 điểm) a) Giải hệ phương trỡnh 2 2 2 2 2 5 2 0(3) 4 0(4) x y xy y x x y x y − + + − + = + + + − =
Coi PT(1) là PT bậc hai với ẩn x ta tớnh được ∆=9(y-1)2, từ đú tớnh được x theo y và thay vào PT(2).
b)(HS tự làm)
Bài 3:
a) Dễ thấy cỏc bộ số(p;q) là(2;3), (3;2) thỏa món Ta sẽ chứng minh khụng cũn bộ số nào khỏc.
Khi p>3, q>3, do p và q là số nguyờn tố nờn p=3k+1 hoặc p=3k+2, q=3n+1, q=3n+2 Xột trường hợp p=3k+1, q= 3n+1 hoặc p=3k+2, q=3k+2 thỡ pq+11 đều chia hết cho 3 nờn loại.
Xột trường hợp p=3k+1, q= 3n+2 hoặc p=3k+2, q=3k+1 thỡ 7p+q đều chia hết cho 3 nờn loại b) 2 2 2 2 2 2011 1 1 2( ) ( 4 4) 2009 4 2 1 1 2( ) ( 2) 2009 2009 2 2 P x y xy y x xy y y y x y y = + − − + = − + + − + + = − + − + ≥ Bài 4:
ã ã ( ằ ằ )
MBA ACN do AB AC= =
Gúc ACN = gúc BAC=600 nờn AB//CN suy ra gúc MAB= gúc ANC nờn cú tam giỏc ACN và tam giỏc MBA đồng dạng với nhau.
a) Do đú ta cú AC CN
MB = AB , vỡ AB=AC =BC nờn cú BM. CN = BC2.
b) Dễ chứng minhđược gúc MBC=gúc BCN=1200 và từ AC CN
MB = AB ta cú
BC CN
MB = BC nờn tam giỏc MBC đồng dạng với tam giỏc BCN suy ra gúc BMC = gúc CBF và do đú co đpcm.
c) Ta cú gúc BMC = gúc CBF .
Trong tam giỏc MBC cú gúc MBC=1200 nờn gúc FBC+ gúc FCB = 600 lại cú gúc MFB=gúc FBC+ gúc FCB (gúc ngoài tam giỏc BFC)
nờn gúc MFB= 600
Mặt khỏc tứ giỏc AEBC nội tiếp nờn MEB=ACB=600( tớnh chất gúc ngoài của tứ giỏc nội tiếp)
Suy ra gúc MEB = gúc MFB(=600) nờn tứ giỏc MBFE nội tiếp. Vậy cú BEK= gúc BMF
Gọi EF cắt BC tại K. Ta cú tam giỏc EBK đồng dạng với tam giỏc BFK vỡ gúc BEK= gúc BMF= gúc FBK và gúc EKB chung. Từ đú suy ra KB2=KE.KF. Chứng minh tương tự ta cú KC2=KE.KF nờn KB=KC do đú K là trung điểm của BC(cố định). Vậy cú đpcm.
Đường thẳng khụng đi qua điểm nào trong 2011 điểm trờn nờn khi d cắt một đoạn thẳng nào đú thỡ nú chia mặt phẳng thành hai nửa mà 2011 điểm trờn nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau và một nửa chứa chẵn số điểm, nửa cũn lại chứa lẻ số
điểm(do 2011 là số lẻ). Mặt khỏc khi nối chẵn số điểm ở nửa bờn này với lẻ số điểm bờn kia ta sẽ chứng minh được là số đoạn thẳng nối được là một số chẵn.
Thật vậy, giả sử d chia cỏc điểm trờn nửa thứ nhất cú m điểm( m chẵn), và nửa mặt phẳng kia chứa n điểm(n lẻ). Cứ một điểm bờn nửa này nối được một đoạn thẳng với nửa bờn kia nờn số đoạn thẳng nối được là m.n, do m chẵn nờn m.n chẵn.
Bài toỏn được chứng minh.