Bổ đề(cơ sở của thuật toán Euclide)
Nếu a = bq + r thì (a, b) = (b, r)
Từ bổ đề trên, ta có thuật toán Euclide nh sau (với hai số nguyên dơng a, b): - Chia a cho b, ta đợc thơng q1 và d r1: a = bq1 + r1
- Chia b cho r1, ta đợc thơng q2 và d r2: b = r1q2 + r2
- Chia r1 cho r2, ta đợc thơng q3 và d r3: r1 = r2q3 + r3
....
Tiếp tục quá trình trên, ta đợc một dãy giảm: b, r1, r2, r3... dãy này dần đến 0, và đó là các số tự nhiên nên ta se thực hiện không quá b phép chia. Thuật toán kết thúc sau một số hữu hạn bớc và bổ đề trên cho ta:
(a, b) = (b, r1) = ... rn
Định lí: Nếu x, y là hai số nguyên khác 0, BCNN của chúng luôn luôn tồn tại và bằng:
( , )
xy x y
Bài 8: Tìm UCLN của hai số:
a = 24614205, b = 10719433
Giải:
* Thực hiện trên máy thuật toán tìm số d trong phép chia số a cho số b, ta đ- ợc: - Chia a cho b đợc: 24614205 = 10719433 x 2 + 3175339 - Chia 10719433 cho 3175339 đợc: 10719433 = 3175339 x 3 + 1193416 - Chia 3175339 cho 1193416 đợc: 3175339 = 1193416 x 2 + 788507 - Chia 1193416 cho 788507 đợc: 1193416 = 788507 x 1 + 404909 - Chia 788507 cho 404909 đợc: 788507 = 404909 x 1 + 383598
- Chia 404909 cho 383598 đợc: 404909 = 383598 x 1 + 21311 - Chia 383598 cho 21311 đợc: 383598 = 21311 x 18 + 0 ⇒ UCLN(a, b) = 21311
Bài 9: (Thi giải Toán trên MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004)
Tìm ớc chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của: a = 75125232 và b = 175429800
Đáp số: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) =