MÔ HÌNH XÁC SUẤT

m nhưN  Hơn nữa,từ bất đẳng thức Chebyshev,xác suất à  khác X nhiều hơn

8.4 MÔ HÌNH XÁC SUẤT

Nhiều chức năng xác suất đã được đưa ra và nghiên cứu như là mô hình cho các hiện tượng ngẫu nhiên khác nhau.Ở đây chúng ta thảo luận về các tính chất của 2 chức năng rời rạc(nhị thức và Poisson) và 2 chức năng liên tục(Gaussian và Rayleigh).Những mô hình này,cùng với sự thống nhất và Laplace phân phối,bao gồm hầu hết các trường hợp gặp phải trong công việc sau này của chúng ta.Bảng T5 ở mặt sau của cuốn sách tóm tắt các kết quả của chúng ta và bao gồm 1 chức năng xác suất khác cho mục đích tham khảo.

Nhị thức phân phối

Mô hình nhị thức mô tả 1 RV số nguyên có giá trị rời rạc kết hợp với các thử nghiệm lặp đi lặp lại.Cụ thể:

Một biến ngẫu nhiên nhị thức I tương ứng với số lần một sự kiện có xác suất xảy ra trong n thử nghiệm độc lập của một thí nghiệm cơ hội.

Mô hình này được áp dụng để quăng đồng xu lặp đi lặp lại khi tôi đại diện cho người đứng đầu trong n lần quăng vàP H( ).Tuy nhiên,nhiều hơn đáng kể cho chúng ta,nó cũng áp dụng đối với truyền dẫn kỹ thuật số khi tôi đại diện cho số lượng các lỗi trong một thông báo với xác suất lỗi mỗi chữ số .

Để xây dựng chức năng tần số nhị thức ( )P il P I( i), xem xét bất kỳ chuỗi các thử

nghiệm của n,trong đó,sự kiện xảy ra i lần.Nếu P A( ) thì (P AC) I  và khả năng trình tự bằnga(1a)n1. Số lượng các trình tự khác nhau với i diễn biến được cho bởi hệ số

nhị thức,ký hiệu là n i      ,nên ta có: ( ) i(1 )n i I n P i i           i=0,1,….,n (1) Tương ứng CDF là 0 ( ) ( ) k I I i F k P i   k=0,1,….,n

Các chức năng này trước đây đã được đánh giá trong hình. 8.2-3 đối với trường hợp n = 3

và a = 2/5.

Hệ số nhị thức trong biểu thức (1) bằng hệ số (i + 1) thời hạn trong việc mở rộng của (a+b) ,định nghĩa nói chung qua sự biểu hiện thừa

! !( )! n n i i n i        (2)

Nơi mà hiểu rằng 0!=1 khi i=0 hoặc i=n. Số lượng này có tính chất đối xứng. Chúng ta thấy rằng

Và như vậy. Các giá trị khác nhau có thể tìm thấy bằng cách sử dụng tam giác Pascal,

bảng,máy tính,hoặc máy vi tính với điều khoản cho giai thừa

Các trung bình thống kê của một RV nhị thức thu được bằng cách chèn phương trình (1)

vào công thức kỳ vọng thích hợp rời rạc.Một số đại số chứ không phải mất thời gian sau đó kết quả đơn giản cho giá trị trung bình và phương sai,cụ thể

mn 2

(1 ) (1 )

n m

Nơi mà chúng ta đã bỏ qua các toán tử I vì đơn giản. Mục đích lan rộng tương đối giảm khi 1/ n,điều đó có nghĩa các giá trị có thể có của I cụm xung quanh m khi n lớn.

VÍ DỤ 8.4-1 Giả sử 10,000chữ số được truyền qua một kênh ồn với xác suất lỗi cho mỗi chữ số a =0.01 .Phương trình (3) sau đó đưa ra

m = 10,000X 0.01 = 100 2=100(1-0.01)=99

Do đó phạm vi khả năng m±2 cho chúng ta biết về 80 đến 120 lỗi.

Phân phối Poisson

Các mô hình Poisson mô tả khác RV số nguyên có giá trị liên quan với các thử nghiệm lặp đi lặp lại,trong đó

Một biến ngẫu nhiên có phân bố Poisson tương ứng với số lần một sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian T khi xác suất của một sự xuất hiện duy nhất trong khoảng thời gian nhỏ ∆T là µ∆ T.

Kết quả phân bố Poisson trong miền tần số là:

Pl (i) = ( ) ! i uT uT i e [4] Với m = µT ; σ2 = m

Các biểu thức này mô tả các hiện tượng ngẫu nhiên như phân rã phóng xạ và tín hiệu nhiễu trong các thiết bị điện tử.Các mô hình Poisson cũng xấp xỉ mô hình nhị thức khi n là rất lớn,a là rất nhỏ, và na hữu hạn. Phương trình (1) trở nên khó khăn để xử lý trong trường hợp này, nhưng chúng ta có thể cho µ T = m trong phương trình. (4) để có được xấp xỉ thuận tiện hơn

Pl (i) ≈ ! i m m i e [5] Cả n và a không xuất hiện ở đây vì có m = na.

Ví dụ: Sử dụng phương trình. (5) để ước tính xác suất của I <2 lỗi khi co 10.000 chữ số Biết 1 kênh nhiễu có xác suất lỗi a = 5 X

mô hình gauxơ mô tả một hàm liên tục thường gặp phải trong nhiều ứng dụng trong kỹ thuật, vật lý, và số liệu thống kê khác nhau, trong đó có tính chất là:

FX được biểu diễn bởi tổng của N thành phần độc lập ngẫu nhiên, và nếu mỗi thành phần chỉ là một phần nhỏ của hàm, cho CDF của X tiếp cận CDF gauxơ khi đó N sẽ trở thành lớn nhất, bất kể sự phân bố của các thành phần con.

Một thông kê đầy đủ hơn về các định lý và bằng chứng của nó liên quan đến ý nghĩa toán học phức tạp rằng mô hình gauxơ thường xuyên tổ chức khi số lượng kết quả quan tâm từ tổng kết của nhiều thành phần dao động nhỏ. Như vậy, ví dụ, sai số đo lường ngẫu nhiên thường gây ra các giá trị thực nghiệm để có một phân phối gauxơ xung quanh giá trị thực sự. Tương tự như vậy, chuyển động ngẫu nhiên của nhiệt kích động điện tử tạo bởi biến gauxơ ngẫu nhiên được gọi là nhiễu nhiệt.

RV gauxơ là một hàm ngẫu nhiên X liên tục biến đổi với giá trị trung bình m, phương sai

2u u và PDF: Px(x)= ( )2 2 2 2 1 2 x m e     - ∞<x<+∞

Hàm này xác định đường cong hình chuông được vẽ trong hình. 8,4-1.Đối xứng, ngay cả về đỉnh tại x = m chỉ ra rằng để :

P(X≤m)=P(X>m)=1

2 giá trị của X thay đổi xung quanh giá trị trung bình.

giả sử biết giá trị m trung bình và phương sai σ2 của một hàm Gauss và muốn tìm xác suất của sự kiện X> m + ku.Sử dụng Tích phân không thể đánh giá được trong các miền đóng, các phương pháp số đã được sử dụng để mở rộng các tích phân bình thường

Q (k)  1

2

2/2

k e  d



Sự thay đổi của biến A = (x - m) /σ sau đó cho thấy

P(X>m+ku) = Q(k)

Do đó, gọi là Q (k) diện tích theo hàm Gauss, như minh họa bởi hình. 8,4-2. Số liệu này cũng sẽ đưa ra một thực tế rằng P (m <X <m + ku) = 1

2 - Q (k),

Bạn có thể tính toán bất kỳ xác suất Gauss mong muốn trong giới hạn của Q (k) bằng cách

Bảng 8,4-1 so sánh một số giá trị của số lượng này cuối cùng có ranh giới thấp hơn

2

1 1 k

từ bất đẳng thức Chebyshev.

Đối với giá trị lớn hơn k, diện tích dưới hàm Gauss trở nên quá nhỏ để biểu diễn số. Nhưng có thể sử dụng xấp xỉ phân tích

sự tính xấp xỉ đó là hệ quả từ các phương trình (7).tạo thành từ các phần nhỏ.

Bảng T.6 ở mặt sau của cuốn sách cung cấp cho ta một cách nhìn chi tiết về Q (k) với 0 <

k <7. Cũng nhất định được mối quan hệ giữa Q (k) và các hàm xác suất khác Gauss được tìm thấy trong các tài liệu.

Ví dụ : Giả sử bạn muốn đánh giá xác suất | X - m| ≤3 khi X là hàm Gauss với σ2 = 4. Bạn có thể sử dụng phương trình. (8d) và Bảng 8,4-1 bằng cách ghi nhận σ = 2 và kσ = 3 khi k = 3/ σ = 1,5.Do đó

Ví dụ: Cho X là hàm Gauss với m = 5 và σ = 8, vẽ hàm PDF và chỉ ra ranh giới của vùng được đề cập để cho thấy rằng P (9 <X <25) = Q (0,5) - Q (2,5) = 0,3.

Rayleigh PDF

Các mô hình Rayleigh mô tả một ánh xạ liên tục thu được từ hai ánh xạ Gauss như sau: Hai hàm gausso X; Y độc lập có phương sai σ2 sau đó cho thay đôi ngẫu nhiên thì R=

2 2

X Y có phân bố Rayleigh

Vì vậy, như thể hiện trong hình. 8,4-3, mô hình Rayleigh áp dụng cho bất kỳ chuyển đổi hình chữ nhật phân cực khi các tọa độ hình chữ nhật tương tự nhau. nhưng hàm

Gaussians độc lập không có ý nghĩa.

Để lấy được các PDF Rayleigh tương ứng, chúng tôi giới thiệu <E> góc ngẫu nhiên từ hình. 8,4-3 và bắt đầu với mối quan hệ phần PDF

PM>(.r,<p)\dr d<p\ = pXY{x, y)\dx dy\ Với :

Hình chữ nhật để chuyển đổi cực

Do đó, bao gồm cả U(r) với r ≥0, ta có :

Góc φ không xuất hiện một cách rõ ràng ở đây, nhưng phạm vi của nó rõ ràng nằm trong 2π radian.

Bây giờ chúng ta có được PDF cho R bằng cách tích hợp phương trình (10) đối với σ.nói cách khác

0<φ 2π hoặc –π< φ≤ 2π cho kết quả là

được vẽ trong hình.8,4-4.khi đó ta có:

Đối với các tính toán xác suất, CDF Rayleigh có dạng đơn giản

bắt nguồn từ tích hợp PR ( ) trên 0 ≤  ≤. Quay trở lại phương trình. (10), chúng ta có PDF biên cho góc ∅ thông qua

Do vậy ∅ có một phân bố đều trên 2π radian. cũng lưu ý rằng PR∅ (r, cp) =PR(r)P∅(φ), có nghĩa là tọa độ cực R và ∅ độc lập về mặt thống kê. Những kết quả này sẽ được sử dụng trong Chương 10 để biểu diễn tín hiệu nhiễu

Ví dụ 8,4-3 Giả sử bạn ném phi tiêu vào một mục tiêu mà trung tâm điểm có bán kính 3 cm.Nếu tọa độ vuông góc của điểm tác động la a = 4 cm theo hai hướng, xác suất phi đúng cho bởi phương trình (13)

Bài tập 8,4-3

Rút ra phương trình (13) từ phương trình (11). Phân bố Gauss hai chiều

Cuối cùng chúng ta muốn để điều tra PDF chung của hai RVs gaussian không giống nhau và phân bố không độc lập. để chuẩn bị, chúng tôi lần đầu tiên giới thiệu một biện pháp khảo sát sự phụ thuộc lẫn nhau giữa hai biến ngẫu nhiên bất kỳ .

Cho X và Y được tự ý phân bố phối với các phương tiện và phương sai mx , my , σ 2

x σ

2

y , Mức độ phụ thuộc giữa chúng được thể hiện bằng hệ số tương quan:

kỳ vọng E [(X - mx ) (Y - my)] được gọi là hiệp phương sai của X và Y. Tại một đoạn, nếu X và Y độc lập, cho E [(X - mx ) (Y - my)] = E [(X -mx)] E (Y - my)] = 0 khi đó hiệp phương sai bằng bằng không và p = 0. Ở thái cực khác, nếu Y phụ thuộc hoàn toàn

vào X trong ý nghĩa Y = ± AX, σ2

y = (aσx )2 và hiệp phương sai bằng ± acrx nên p = ± 1. Như vậy, hệ số tương quan dao động

1 <p <1, | p | phản ánh mức độ phụ thuộc lẫn nhau hơn

Khi X và Y là phụ thuộc lẫn nhau gauxơ RVs, hàm PDF của họ được đưa ra bởi các mô hình gaussian hai chiều

Với

Điều này biểu hiện rõ nét , tương ứng với một bề mặt dạng hình chuông trên mặt phẳng xy, đỉnh tại x =mx và y =my .

Nếu p = 0,trong phương trình (15b) không xuất hiện pXY (x, y) = px(x) Py(y). Như vậy, chúng ta kết luận rằng: RV gauxo không tương quan với nhau.

8.5 BÀI TẬP

8.1-1* Kết quả của một thí nghiệm là một số nguyên I có giá trị nằm trong khoảng 1<I<12 . Gọi A là biến cố I là số lẻ, B là biến cố I là số chia hết cho 3, C là biến cố I chia hết cho 4. Vẽ sơ đồ Venn và tính xác suất của các biến cố A,B,C,AB,AC,BC và ACB.

8.1-2 Kết quả của một thí nghiệm là một số nguyên I có giá trị nằm trong khoảng 1<I<4 . Thí nghiệm được thực hiện 2 lần. Xác suất từ I, và I,,. Gọi A là biến cố I, = I,,. B là biến cố I, > I,, và C là biến cố I. + I,, > 6. Vẽ sơ đồ Venn và tính xác suất của các biến cố A,B,C,AB,AC,BC và ACB.

8.1-3 Giả sử A và B là không phải là 2 biến cố loại trừ nhau. Sau N lần thí nghiệm có thể viết NA = NAB + NABc . Khi NABc là số lần biến cố A xảy ra mà B không xảy ra. Sử dụng kí hiêu này để diễn tả biểu thức P(ABC) = P(A) - P(AB).

8.1-4 Sử dụng kí hiểu bài 8.1-3 để diễn tả biểu thức bài 7 trang 316

xảy ra. Sử dụng kí hiệu bài 8.1-3 để để biểu diễn P(C) trong các điều kiện của P(A), P(B), P(AB).

8.1-6 Gọi A là biến cố gieo đồng xu mà P(H) = (1 + e)/2 with 0 < |e| < 1. Biểu thị xác suất trong 2 lần gieo độc lập sao cho xác suất đó lớn hơn 0.5

8.1-7 Một chiếc mấy tính sẽ không thể hoạt động được nếu hai thành phần CA và CB đều thất bại. Xác suất để 2 biến cố này thất bại lần lượt là 0.01 và 0.005. Tuy nhân xác suất của CB được tăng lên bởi nhân tố CA thất bại. Tính xác suất để máy tính không thể hoạt động và tìm xác suất CA thất bại nếu CB thất bại.

8.1-8 Một đồng xu đồng chất được tung và có thông tin về lần tung đó. Sử dụng kết quả bài 8 trang 317 để tìm xác suất bài 10 trang 318.

8.1-9 Tính giống bài 8.1-8 với P(H) = ¼

8.1-10 Rút ra từ biểu thức bài 9 trang 318 với P(XYZ) = P(X)P(Y|X)P(Z|XY)

8.1-11 Một hộp chứa 10 đồng xu với P(H)= 0.5 và 20 đồng xu với P(H)=0.25. Đồng xu được rút ra từ hộp và ném ra 2 lần. Sử dụng phương trình 11 trang 318 để tìm xác suất tất cả mặt sấp. Nếu sự kiện tất cả mặt sấp xảy ra thì tìm xác suất mà tất cả các đồng xu được nạp.

8.1-12 Tương tự bài 8.1-11 nếu các đồng tiền được rút ra ném 3 lần. 8.1-13 Hai viên bi được rút ra từ túi chứ 5 viên bi đỏ, 3 viên trắng và 2 viên xanh. Sử dụng phuong trinh 11 trang 318 để tìm xác suất mà các viên bi rút ra có màu khác nhau. Nếu rút ra mà có thu hồi tìm xác suất mà có viên bi màu trắng

8.1-14 Tương tự bài 8.1-13 nếu 3 viên bi được rút ra từ túi.

8.2-1 Cho X= 0.5N^2 với N là số nguyên có giá trị thuộc [ -1,3 ] , tìm hàm CDF của X và sử dụng nó để làm đối với X<=0 , 2<X<=3 và X>=2. 8.2-2 Tương tự bài trên với X=4cos ttN/3.

8.2-3 Cho px(x) = xe-xu(x). Tìm Fx(X) và sử dụng để tính P(X<=1) , P(1<X<2), P(X>2)

8.2-4 Cho px(x) = 0.5e^ -|x| tìm FX(x) và sử dụng kết quả để tính P( X<0 ), P(0<X<1) , P(X>1)

8.2-5 Cho hàm PDF

FX(x) = 0 với x<=0.

Tim K và tìm P(X<=5) và P(5<X<=7)

8.2-7 Cho FX(x)= tìm CDF và PDF của hàm ngẫu nhiên xác định bởi Z=0,X<=0 và Z=X,X>0

8.2-8 Tương tự bài trên với Z=-1, X<=0 và Z=X,X>0

8.2-9 Cho tìm PDF của biến ngẫu nhiên được chuyển đổi bởi Z=2X-5 sai đó vẽ trên hệ trục tọa độ.

8.2-10Tương tự với Z=-2X+1

8.2-11Cho X có PDF và x trong đoạn [ -1,3 ] tìm PDF và vẽ nó trên hệ trục tọa độ với Z=căn ( X+1 )

8.2-12Tương tự bài trên với Z= |X| 8.2-13 Tương tự bài trên với Z= căn |X|

8.2-14Xét sự biến đổi bình phương của hàm

8.2-15Tìm Sau đó cho X Y là 2

thống kê không độc lập và tìm pX(x|y)

8.2-16Tương tự với

8.2-18Biểu diễn về theo

8.3-1 Tìm thời điêm, trung bình , độ lệch chuẩn của X khi với a>0

8.3-2 Tương tự bài trên với a>0

8.3-3 Tương tự bài trên khi

8.3-4 Cho biến rời rạc có 2 giá trị a và b. Tìm thời điểm , trung bình, độ lệch chuẩn khi p = P(X=a)

8.3-5 Tương tự với biến RV có K giá trị nằm trong dãy 0, a, 2a...(K-1)a 8.3-6 Tìm thời điểm . trung bình. Độ lệch chuẩn của Y= a.cosX khi a

liên tục và X có hàm CDF với 8.3-7 Tương tự bài trên với

8.3-8 Cho biểu diễn

8.3-9 Cho ìm giá trị nhỏ nhất của

8.3-10X là biến liên tục không âm và a là 1 hằng số bất kì, hãy xem xét