Đề thuận tiện ta xét hệ gồm hai phương trình:
d —= đy +@;Z 2 đz (2 ———đ,¡y+đ;;z trong đó ø,; ¡, j =1,2 là các hằng số, y(x),z(x) là các hàm cần tìm. Ụ Cách giải: —.
Ta tìm nghiệm riêng của (2) dưới dạng L “Re> , trong đó œ,,kec R. <=be
đa, —k)œ+a,„B =0
Thay vào (2) ta được Ù nT#) nP (3) đa; +(4,„ —k)B =0 đa; +(4,„ —k)B =0
(3) là hệ phương trình đại số tuyến tính thuần nhất. Nó có nghiệm khác 0 khi —k —k
đn “8 Í>0©(a,—k)(a„—k)—aga„=0 — (4 đạn đ„> — đạn đ„> —
(4) là phương trình đại số bậc hai đối với k, nó có đúng hai nghiệm trong trường số phức £ và được gọi là phương trình đặc trưng của (2).
- Nếu (4) có hai nghiệm thực k, #k,„ thì thay k, vào (3) ta được các nghiệm 0œ, B,.. Khi đó y, =œ,£°*“,z¡ = B,e“*là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính tương ứng với Khi đó y, =œ,£°*“,z¡ = B,e“*là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính tương ứng với
k¿. Tương tự thay k, vào (3) ta được các nghiệm œ,,B,./ Khi đó y„ =œ„€°*,z„ =„e”* cũng là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính tương ứng với y„ =œ„€°*,z„ =„e”* cũng là hai nghiệm riêng độc lập tuyến tính tương ứng với k,„. Các nghiệm riêng độc lập tuyến tính %,y;.Z¡,Z¿ được gọi là hệ nghiệm cơ bản. Do đó nghiệm tổng quát của (2) là:
Ù =C,y,+C,y;, ° L =œ,C;e“* +œ,C,e® z = Cái + C;Z; z = B,C£”* + B„C;e®”
trong đó C,,C, là các hằng số.
Nếu (4) có nghiệm thực kép k¿ =k, =k. Khi đó ta tìm nghiệm riêng của (2) dưới dạng y=(Ax+)e”,z=(Cx+D)e”, trong đó A, B, C, D là các hăng số được xác định theo phương pháp hệ số bất định.
- _ Nếu (4) có hai nghiệm phức liên hợp k,; = p +i4 thì ứng với k,= p+i4 thay vào (3) ta được các nghiệm @œ,,B, và các nghiệm riêng phức ứng với k, là (3) ta được các nghiệm @œ,,B, và các nghiệm riêng phức ứng với k, là
y =0œ,e,“? z= B,et1⁄ z= B,et1⁄
Dùng công thức Euler tách phân thực, phần ảo ta được hệ nghiệm cơ bản. Ví dụ: Giải các hệ phương trình:
d đ d
dx dx đx
a) d b) 3 c) 3
Z Z Z
——=3y+4z ——=y+2z —=4y—z
dx ; dx ỷ dx ?
8.3 Hệ không thuần nhất (phương pháp biến thiên hằng số): Xét hệ Xét hệ
dy
——==a¡y+@;z + ƒ (z) dx
đz G7
v =đ,y+đ„;z + ƒ; (z)