Phần đầu mục này trình bày khái niệm điểm cực trị địa phương và các nguyên lí cực trị.
Định nghĩa 1.2.1.
Cho Ω1, ...,Ωn (n ≥ 2) là các tập con khác rỗng của một không gian Banach E và giả sử x¯ là một điểm chung của các tập này. Chúng ta nói rằng x¯ là một điểm cực trị địa phương của hệ thống tập {Ω1, ...,Ωn}
nếu có n dãy {aik} ⊂E, i= 1, ..., n, và có một lân cận U của x¯ sao cho
aik → 0 khi k → ∞ và n
T
i=1
(Ωi−aik)∩U = ∅ cho tất cả các k ∈ N đủ lớn. Khi đó ta bảo {Ω1, ...,Ωn, x} là một hệ thống cực trị trong E.
Trong trường hợp n = 2, tính cực trị địa phương của {Ω1,Ω2,x}¯
tương đương với mô tả sau: Tồn tại một lân cận U của x¯ sao cho với bất kì ε > 0 đều tìm thấy a ∈ εBE để (Ω1 −a) ∩ Ω2 ∩ U = ∅. Thật vậy, giả sử x¯ ∈ Ω1 ∩ Ω2 và tồn tại một lân cận U của x¯ sao cho với bất kì ε > 0 đều tìm thấy a ∈ εBE sao cho (Ω1 −a) ∩ Ω2 ∩ U = ∅.
Khi đó ∀k ∈ N đều tồn tại ak ∈ 1kBE, và xét dãy {˜ak} ⊂ E, ˜ak = 0,
k ∈ N, thì ak → 0, ˜ak → 0 khi k → ∞, và (Ω1 −ak)∩ (Ω2 −˜ak)∩U = (Ω1 −a)∩Ω2∩U = ∅, ∀k ∈ N đủ lớn. Theo định nghĩa suy ra x¯ là một điểm cực trị địa phương của {Ω1,Ω2}. Ngược lại, nếu x¯ là một điểm cực trị địa phương của {Ω1,Ω2} thì tồn tại lân cận U của x¯ và tồn tại các dãy {ak} ⊂ E, {˜ak} ⊂ E, sao cho ak → 0 và ˜ak → 0 khi k → ∞, đồng thời (Ω1 −ak) ∩ (Ω2 −a˜k) ∩ U = ∅, ∀k ∈ N đủ lớn. Do U là một lân cận của x¯ nên tồn tại ε1 > 0 sao cho x¯+ ε1BE ⊂ U. Với mọi số ε > 0
0 < r < minε2,ε12 . Đặt a = b−b0 thì a ∈ εBE. Do b0 ∈ rBE ⊂ ε1BE
suy ra x¯ ∈ x¯+ b0 + ε1BE ⊂ U +b0 hay U1 = U +b0 là một lân cận của
¯
x. Nếu tồn tại phần tử y ∈ (Ω1 −a)∩Ω2 ∩U1 thì y ∈ Ω2, y −b0 ∈ U và
y = x−b+b0 vớix ∈ Ω1.Vìy−b0 = x−b ∈ Ω1−b,x−b = y−b0 ∈ Ω2−b0,
y −b0 ∈ U nên x−b = y −b0 ∈ (Ω1 −b)∩(Ω2 −b0)∩U. Điều này mâu thuẫn với (Ω1 −b)∩(Ω2 −b0)∩U = ∅. Dẫn tới (Ω1 −a)∩Ω2∩U1 = ∅.
Tức là tồn tại lân cận U1 của x,¯ với bất kì ε > 0 tồn tại a ∈ εBE sao
(Ω1 −a)∩Ω2 ∩U1 = ∅.
Rõ ràng mỗi điểm biên x¯ của tập Ω ⊂ E mà x¯ ∈ Ω đều là một điểm cực trị địa phương của {Ω,{¯x}}. Ta kiểm tra điều này bằng cách lấy lân cận U tùy ý của x¯, do x¯ ∈ bdΩ nên tồn tại dãy {bk} ⊂ E\Ω sao cho
bk →x¯khi k → ∞, với mọi ε > 0 luôn tồn tại số nguyên dương k đủ lớn sao cho bk−x¯ = ak ∈ εBE. Ta thấy {¯x} ∩U = {¯x}và nếu có phần tử y ∈ (Ω−ak)∩{x}∩U¯ = (Ω−ak)∩{x}¯ thìy = ¯x ∈ Ω−ak ⇒x+a¯ k = bk ∈ Ω,
điều này mâu thuẫn với bk ∈ E\Ω. Chứng tỏ (Ω −ak)∩ {¯x} ∩U = ∅.
Nhận xét sau đây liên quan tới bài toán tối ưu hóa có ràng buộc, với x¯ ∈ Ω ⊂ E, ϕ : Ω → R, ϕ(¯x) ≤ ϕ(x), ∀x ∈ Ω, Ω1 = epiϕ = {(x, y) ∈ Ω×R|y ≥ ϕ(x)}, Ω2 = Ω× {ϕ(¯x)}, thì (¯x, ϕ(¯x)) là một điểm cực trị địa phương của {Ω1,Ω2}. Thật vậy, với O là một lân cận của
¯
x thì U = O × R là một lân cận của (¯x, ϕ(¯x)), với mọi ε > 0 ta lấy
a = (0, v) ∈ E×R sao cho −ε≤ v < 0. Nếu (x1, y1) ∈ (Ω1 −a)∩Ω2 thì
x1 ∈ Ω, y1 = ϕ(¯x), và y1 = y2 −v, y2 ≥ ϕ(x1). Do đó ϕ(¯x) ≥ ϕ(x1)−v.
Mà ϕ(¯x) ≤ϕ(x),∀x ∈ Ω, nên ϕ(¯x) ≤ ϕ(x1). Dẫn tới ϕ(x1) ≥ ϕ(x1)−v,
(Ω1 −a)∩Ω2 ∩U = ∅.
Từ nhận xét vừa nêu và lưu ý tới kết quả của Mệnh đề 1.1.10, ta thấy rằng với ε ≥ 0 và x¯ ∈ Ω ⊂ E, nếu x∗ ∈ Nbε(¯x; Ω) thì với mọi γ > 0 luôn tồn tại một lân cận U của x¯ sao cho x¯ là một điểm cực trị địa phương của {Ω1,Ω2} trong không gian Banach E×R, ở đó
Ω1 := {(x, y) ∈ (Ω ∩U)×R|y ≥ hx∗,x¯−xi+ (ε+γ)k¯x−xk},
Ω2 := (Ω∩ U)× {0}.
Định nghĩa 1.2.2.
Cho {Ω1, ...,Ωn,x}¯ là một hệ thống cực trị trong không gian Banach E. Ta nói rằng
(i) {Ω1, ...,Ωn,x}¯ thỏa mãn nguyên lí ε− cực trị nếu với mọi
ε > 0 tồn tại xi ∈ Ωi ∩(¯x+εBE) và x∗i ∈ E∗ (i = 1, ..., n) sao cho
x∗i ∈ Nbε(xi; Ωi), i = 1, ..., n, (1.11)
x∗1 +...+x∗n = 0, (1.12)
kx∗1k+...+kx∗nk = 1. (1.13)
(ii) {Ω1, ...,Ωn,x}¯ thỏa mãn nguyên lí cực trị xấp xỉ nếu với mọi ε > 0 tồn tại xi ∈ Ωi ∩ (¯x+εBE) và x∗i ∈ E∗ (i = 1, ..., n) sao cho
x∗i ∈ Nb(xi; Ωi) +εBE∗, i = 1, ..., n, (1.14) và (1.12), (1.13) được thỏa mãn.
(iii){Ω1, ...,Ωn,x}¯ thỏa mãnnguyên lí cực trị chính xác (nguyên lí cực trị giới hạn) nếu có các pháp tuyến cơ sở
x∗i ∈ N(¯x; Ωi), i = 1, ..., n, (1.15) và (1.12), (1.13) được thỏa mãn.
Ta nói các phiên bản tương ứng của nguyên lí cực trị thỏa mãn trên E nếu nó thỏa mãn với mọi hệ thống cực trị {Ω1, ...,Ωn,x}¯ trong E, ở đó tất cả các tập Ωi là đóng địa phương tại điểm x.¯
Do Nb(x; Ω) +εBE∗ ⊂ Nbε(x; Ω) nên nguyên lí ε− cực trị có thể được suy ra từ nguyên lí cực trị xấp xỉ với mỗi hệ thống cực trị bất kì trong không gian Banach E.
Xem xét hai phiên bản mờ (i) và (ii) của nguyên lí cực trị cho trường hợp với hai tập Ω1,Ω2, ta có thể quy chúng về: Với mọi ε > 0 tồn tại
xi ∈ Ωi ∩ (¯x+εBE), i = 1,2, và tồn tại x∗ ∈ E∗, kx∗k = 1 2 sao cho, tương ứng, x∗ ∈ Nbε(x1; Ω1)∩(−Nbε(x2; Ω2)) hoặc x∗ ∈ Nb(x1; Ω1) +εBE∗ ∩−Nb(x2; Ω2) +εBE∗ .
KhiΩ1,Ω2 cùng là các tập lồi, do Mệnh đề 1.1.4, lưu ý nếu x¯ ∈ Ω1∩Ω2
là một điểm cực trị địa phương của {Ω1,Ω2} và giả sử nguyên lí ε− cực trị được thỏa mãn với {Ω1,Ω2,x}¯ thì
∀ε > 0, ∃xi ∈ Ωi ∩(¯x+εBE), i = 1,2, ∃x∗ ∈ Nbε(x1; Ω1)∩−Nbε(x2; Ω2) \ {0}. Vìhx∗, x−x1i ≤ εkx−x1k,∀x ∈ Ω1, nênhx∗, xi ≤ hx∗, x1i+εkx−x1k, ∀x ∈ Ω1. Cũng vậy −x∗ ∈ Nbε(x2; Ω2) nên hx∗, x2i −εkx−x2k ≤ hx∗, xi,
∀x ∈ Ω2. Dẫn tới
hx∗, x2i −εkx−x2k ≤ hx∗, xi ≤ hx∗, x1i+εkx−x1k,∀x ∈ Ω1 ∩Ω2.
Tương tự, nếu x¯ là một điểm cực trị địa phương của hệ thống các tập lồi {Ω1,Ω2} và nguyên lí cực trị xấp xỉ được thỏa mãn với {Ω1,Ω2,x}¯
thì với mọi ε > 0 tồn tại xi ∈ Ωi,kxi −xk ≤¯ ε, i = 1,2, và tồn tại
x∗ = y∗1 + e∗1 = −y2∗ +e∗2, với yi∗ ∈ Nb(xi; Ωi), ke∗ik ≤ ε, i = 1,2. Rõ ràng hx∗, x −x1i −εkx−x1k ≤ hx∗, x−x1i − he∗1, x−x1i = hy∗1, x−x1i ≤ 0, ∀x ∈ Ω1; hx∗, x −x2i+εkx−x2k ≥ hx∗, x−x2i−he∗2, x−x2i = − hy∗2, x−x2i ≥ 0, ∀x ∈ Ω2, nên hx∗, x−x1i −εkx−x1k ≤ 0 ≤ hx∗, x−x2i+εkx−x2k,∀x ∈ Ω1 ∩Ω2, hay hx∗, x2i −εkx−x2k ≤ hx∗, xi ≤ hx∗, x1i+εkx−x1k,∀x ∈ Ω1 ∩Ω2.
Như vậy, cả phiên bản ε− cực trị và phiên bản cực trị xấp xỉ đều cung cấp một tách gần đúng các tập lồi Ω1,Ω2 gầnx¯:Nếu nguyên lí ε− cực trị hoặc nguyên lí cực trị xấp xỉ được giữ lại với hệ thống cực trị {Ω1,Ω2,x}¯
và Ω1,Ω2 là các tập lồi thì
∀ε > 0,∃xi ∈ Ωi,kxi−xk ≤¯ ε, i = 1,2,∃x∗ ∈ E∗, kx∗k = 1
2 sao cho hx∗, x2i −εkx2 −xk ≤ hx¯ ∗, x1i+ εkx1 −xk¯ .
Do biểu diễn nón pháp tuyến trong trường hợp các tập hợp lồi, nguyên lí cực trị chính xác cho n= 2 (với các tập Ω1,Ω2 là tập lồi) quy về tính chất tách cổ điển:
∃x∗ 6= 0 sao cho hx∗, x1i ≤ hx∗, x2i,∀(x1, x2) ∈ Ω1 ×Ω2. (1.16) Thật vậy, giả sửx¯ ∈ Ω1∩Ω2 là một điểm cực trị địa phương của{Ω1,Ω2},
với Ω1,Ω2 là các tập lồi trong không gian Banach E. Nguyên lí cực trị chính xác được giữ lại với {Ω1,Ω2,x}¯ khi và chỉ khi
∃x∗1 ∈ N(¯x; Ω1), ∃x∗2 ∈ N(¯x; Ω2) : x∗1 +x∗2 = 0, kx∗1k+kx∗2k= 1, ⇔ ∃x∗1 ∈ N(¯x; Ω1) : −x∗1 ∈ N(¯x; Ω2), kx∗1k = 1 2, ⇔ ∃x∗ ∈ E∗\ {0} : x∗ ∈ N(¯x; Ω2)∩(−N(¯x; Ω2)) ở đó x∗1 = x ∗ 2kx∗k ⇔ ∃x∗ ∈ E∗\ {0} : hx∗, x1 −xi ≤¯ 0,∀x1 ∈ Ω1, và h−x∗, x2 −xi ≤¯ 0,∀x2 ∈ Ω2, ⇔ ∃x∗ ∈ E∗\ {0} : hx∗, x1 −xi ≤¯ 0 ≤ hx∗, x2 −xi¯ ,∀(x1, x2) ∈ Ω1×Ω2. (1.17) Ta sẽ chỉ ra rằng (1.16) và (1.17) là tương đương. Quả vậy, nếu
hx∗, x1 −xi ≤¯ 0 ≤ hx∗, x2 −xi¯
thì
hx∗, x1i − hx∗,xi ≤¯ 0 ≤ hx∗, x2i − hx∗,xi¯
hay hx∗, x1i ≤ hx∗, x2i. Vậy từ (1.17) suy ra (1.16). Ngược lại, nếu có (1.16) thì hx∗, x1i ≤ hx∗,xi¯ ,∀x1 ∈ Ω1, nên hx∗, x1 −xi ≤¯ 0,∀x1 ∈ Ω1.
∀x2 ∈ Ω2. Do đó từ (1.16) suy ra (1.17). Tức là (1.16) và (1.17) tương đương.
Ta cũng nhận thấy số 1 ở vế phải của (1.13) đối với hai phiên bản cực trị (i) và (ii) có thể được thay bởi một số thực bất kì 0 < a ≤ 1 sao cho a độc lập với ε. Còn trong phiên bản cực trị chính xác (iii), số 1 đó có thể được thay bằng một số thực dương tùy ý.
Tiếp theo, Định lí 1.2.3 cung cấp một đặc trưng cực trị của không gian Asplund. Nhờ đó, trong không gian Asplund, hai phiên bản mờ (i) và (ii) ở Định nghĩa 1.2.2 trùng nhau.
Định lí 1.2.3 [19] (Đặc trưng cực trị của không gian Asplund). Cho E là một không gian Banach. Khi đó các điều sau là tương đương
(a) E là một không gian Asplund.
(b) Nguyên lí cực trị xấp xỉ được thỏa mãn trên E.
(c) Nguyên lí ε− cực trị được thỏa mãn trên E.
Trong không gian Asplund, nguyên lí ε− cực trị và nguyên lí cực trị xấp xỉ luôn được thỏa mãn. Nhưng tính chất Asplund của E không đảm bảo để nguyên lí cực trị chính xác thỏa mãn trên đó. Định lí 1.2.4 cho thấy giả thiết SNC rất quan trọng cho việc thiết lập nguyên lí cực trị chính xác trên một không gian Asplund.
Định lí 1.2.4 [19] (Nguyên lí cực trị chính xác trong không gian Asplund).
(i) Chox¯là một điểm cực trị địa phương của hệ thống tập{Ω1, ...,Ωn}
gian Asplund E. Giả sử rằng tất cả, nhưng trừ đi một trong những tập Ω1, ...,Ωn (n ≥2) là SNC tại x¯. Khi đó {Ω1, ...,Ωn,x}¯ thỏa mãn nguyên lí cực trị chính xác.
(ii) Ngược lại, giả sử nguyên lí cực trị chính xác được thỏa mãn với mọi hệ thống cực trị {Ω1,Ω2,x}¯ trong không gian Banach E, ở đó hai tập Ω1,Ω2 đóng địa phương tại x¯, và ít nhất một trong hai tập đó là SNC tại x¯. Khi đó E là một không gian Asplund.
Hệ quả 1.2.5 [19].
Cho E là không gian Asplund và Ω là một tập con của E. Giả sử
¯
x ∈ (bd Ω)∩ Ω. Giả sử tập Ω là đóng địa phương và SNC tại x.¯ Khi đó
N(¯x; Ω) 6= {0}.
Chứng minh. Tập Ω là đóng địa phương và SNC tại x¯ ∈ bd Ω. Tập
{¯x} là tập đóng. Hơn nữa x¯ ∈ Ω ∩ {¯x}. Do đó, theo lập luận đã nêu, thì x¯ là một điểm cực trị địa phương của {Ω,{¯x}}. Áp dụng Định lí 1.2.4 cho hệ thống cực trị {Ω,{¯x},x}¯ trong không gian Asplund E suy ra {Ω,{¯x},x}¯ thỏa mãn nguyên lí cực trị chính xác. Do đó tồn tại
x∗ ∈ N(¯x; Ω), kx∗k = 1
ÁP DỤNG TRONG KINH TẾ PHÚC LỢI
2.1. Mô hình không lồi của kinh tế phúc lợi
Giả sửE là một không gian hàng hóa định chuẩn của nền kinh tếE có liên quan đếnmcông ty vànngười tiêu dùng(m, n ∈ N), công ty thứj có tập sản lượng Sj ⊂ E, j = 1, . . . , m, người tiêu dùng thứi có tập tiêu thụ
Ci ⊂E,i = 1,2, . . . , n, và có tập ưu tiênPi(x)bao gồm các phần tử trong
Ci với mức tiêu thụ kế hoạch x = (x1, ..., xn) ∈ C1×...×Cn. Vì vậy, mối quan hệ ưu đãi trongEđược cho bởinánh xạ đa trịPi : C1×...×Cn ⇒Ci,
i = 1, ..., n. Chúng ta luôn giả thiết rằng xi ∈/ Pi(x) với mỗi i = 1, . . . , n, và có ít nhất một i0 ∈ {1, ..., n} sao cho Pi0(x) 6= ∅. Để cho tiện, ta đặt
clPi(x) := {xi} nếu Pi(x) =∅.
Cho W ⊂ E là một tập hợp con không rỗng của không gian hàng hóa. Tập này xác định các hạn chế thị trường trên phân bổ khả thi của nền kinh tế E, nó được gọi là net demand constraint set.
Định nghĩa 2.1.1.
n Q i=1 Ci× m Q j=1
Sj là một phân bổ khả thi của E nếu
w := n X i=1 xi − m X j=1 yj ∈ W. (2.1) Trong trường hợp W = {w} ⊂ E thì (x, y) ∈ n Q i=1 Ci × m Q j=1 Sj là một phân bổ khả thi của nền kinh tế E khi
n X i=1 xi − m X j=1 yj −w = 0.
Nếu E là không gian Banach được sắp với nón dương đóng E+ và
W = ω −E+ thì (x, y) ∈ n Q i=1 Ci× m Q j=1
Sj là một phân bổ khả thi của nền kinh tế E khi n X i=1 xi− m X j=1 yj −ω ≤0,
ở đó ≤ là quan hệ thứ tự đang nói đến trên E.
Tiếp theo, ta định nghĩa phân bổ tối ưu địa phương Pareto trong nền kinh tế E và hai biến thể của nó.
Định nghĩa 2.1.2.
Cho (¯x, y)¯ là một phân bổ khả thi của nền kinh tế E với x¯i ∈ clPi(¯x),
∀i = 1, ..., n. Chúng ta nói rằng:
(i) (¯x,y)¯ là một phân bổ tối ưu địa phương Pareto yếu của E nếu có lân cận O của (¯x,y)¯ sao cho với mọi phân bổ khả thi
(x, y) ∈ O ta có xi ∈/ Pi(¯x) với một vài i ∈ {1, ..., n}.
(ii) (¯x,y)¯ là một phân bổ tối ưu địa phương Pareto của E nếu có lân cận O của (¯x,y)¯ sao cho với mọi phân bổ khả thi
(x, y) ∈ O ta có, hoặc xi ∈/ clPi(¯x) với một vài i ∈ {1, ..., n}, hoặc
xi ∈/ Pi(¯x),∀i = 1, ..., n.
(iii) (¯x,y)¯ là một phân bổ tối ưu địa phương Pareto mạnh
của E nếu có lân cận O của (¯x,y)¯ sao cho với mọi phân bổ khả thi
(x, y) ∈ O\ {(¯x, y)}¯ ta có xi ∈/ clPi(¯x) với một vài i ∈ {1, ..., n}.
Ta thấy, nếu (¯x,y)¯ là một phân bổ tối ưu địa phương Pareto mạnh thì nó cũng là một phân bổ tối ưu địa phương Pareto, nếu (¯x,y)¯ là một phân bổ tối ưu địa phương Pareto thì nó cũng là một phân bổ tối ưu địa phương Pareto yếu, của nền kinh tế E.
Ví dụ 2.1.3.
a) Xét nền kinh tế E có không gian hàng hóa E = R2 với chuẩn Euclide thông thường. Lấy n = m = 1, a < 0, b ∈ R, x¯1 ∈ (α, β) ⊂ R. Chọn hàm f : R →Rthỏa mãn f(¯x1) =a¯x1+bvà f(x1) > ax1+b,∀x1 ∈ (α, β)\ {¯x1}(có thể chọn được hàmf như thế, chẳng hạnf xác định trên R, là hàm lồi chặt và khả vi trên khoảng (α, β),x2 = ax1+blà tiếp tuyến của phần đường cong x2 = f(x1) tại điểm x¯ = (¯x1,x¯2), với x¯2 = f(¯x1)). Giả sử nền kinh tế E có các tập W = (x1, x2) ∈ R2|x1 ≤0, x2 ≤ 0 ,
C = (x1, x2) ∈ R2|x1 > α ,S = (x1, x2) ∈ R2|x2 ≤ ax1 +b . Ánh xạ đa trị P : C ⇒ C xác định tập ưu tiên
P(x) = {(u1, u2) ∈ C|u2 > f(u1 −x1 + ¯x1) +x2 −x¯2, u1 > α},