Phương pháp xét giá trị riêng a) Phương pháp.

a) Phương pháp.

Phân tích đã cho thành tích của hai hay nhiều đa thức có thể phân tích được với các hệ số chưa biết. Sau đó đồng nhất hệ số của đa thức đã cho với đa thức mới để tìm hệ số chưa biết.

b) Ví dụ

Ví dụ 27. Phân tích đa thức thành nhân tử: x3 - 19x - 30

Phân tích và giải:

Nếu đa thức này phân tích được thành nhân tử thì tích đó phải có dạng: x3 - 19x - 30 = (x + a)(x2 + bx + c) = x3 + (a + b)x2 + (ab + c)x + ac. Vì hai đa thức đồng nhất nên:

    − = − = + = + 30 19 0 ac c ab b a Từ ac = - 30 ta chọn các giá trị thích hợp. Ở đây chọn a = 2; b = -15 Khi đó ta tìm được b = - 2 thoả mãn cả 3 điều kiện

Vậy x3 - 19x - 30 = (x + 2)(x2 - 2x -15) = (x + 2)(x2 - 5x + 3x - 15) = (x + 2)[(x2 - 5x) + (3x - 15)] = (x - 5)(x + 2)(x + 3).

2.6) Phương pháp xét giá trị riêng.a) Phương pháp. a) Phương pháp.

Coi đa thức cần phân tích là đa thức của một biến nào đó (trong các biến của đa thức, rồi gán cho biến đó giá trị cụ thể. Nếu giá trị của đa thức bằng không, ta đưa ra nhân tử rồi tiếp tục làm như vậy với các biến khác.

b) Ví dụ

Ví dụ 28. Phân tích đa thức thành nhân tử:

a) A = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y); b) B = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3; c) C = (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3

a) Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì giá trị của A bằng 0.

⇒ A có dạng: k(x - y)(y - z)(z - x)

⇒ x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z – x) với mọi x, y, z. Dễ thấy k là đa thức bậc ba ⇒ k là hằng số.

Cho x = 0, y = 1, z = -1

ta được: -1 - 1 = k (-1). 2.(-1) ⇒ k = -1

Vậy A = -(x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

b) Ta thấy nếu thay x bởi y, y bởi z, z bởi x thì giá trị của B bằng 0.

⇒ B có dạng: k(x - y)(y - z)(z - x).

⇒ B = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = k(x - y)(y - z)(z - x) x, y, z. Dễ thấy k là hằng số vì B là đa thức bậc ba.

Cho x = 0, y = 1, z = -1 thì: -1 + 8 – 1 = k.(-1).2.(-1) ⇒ k = 3 B = (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 3(x - y)(y - z)(z - x)

c) Nếu thay a = - b, b = - c, c = - a thì giá trị của bằng 0.

⇒ C = k(a + b)(b + c)(c + a)

Như vậy: (a + b + c)3 - a3- b3 - c3 = k(a + b)(b + c)(c + a) a, b, c.

Nếu coi a là biến, còn b, c là hằng thì a có bậc là 2 ở cả hai vế của đẳng thức trên.

Suy ra k là hằng số.

Cho a = 0, b = 1, c = 1 thì: 8 - 1 - 1 = k.1.2.1 ⇒ k = 3. Vậy (a + b + c)3 - a3- b3- c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).

2.7) Một số đa thức có dạng đặc biệt.a) Đa thức: A3 + B3 + C3 – 3ABC.