Để T và I là hai ảnh vân tay tương ứng với vân tay mẫu và vân tay đầu vào. Một số đo trực quan về sự đa dạng (SSD) được tính bằng tổng các bình phương khác nhau của các cường độ các điểm ảnh tương ứng:
SSD (T, I) = ||T-I||2
= (T-I)T (T-I) = ||T||2 + ||I||2 -2TTI (1)
Trong đó chỉ số trên T kí hiệu sự hoán vị của một vector. Nếu ||T||2 và ||I||2
là hằng số, sự đa dạng giữa hai ảnh được tối thiểu khi độ tương quan (CC)) giữa T và I được cực đại:
Đại lượng -2. CC (T, I) xuất hiện như là đại lượng thứ ba của biểu thức (1). Độ tương quan chéo (hay gọi đơn giản độ tương quan) là độ đo tính tương tự giữa hai ảnh. Do sự đổi chỗ và sự quay là không thể tránh khỏi, đặc tính vết ấn của một ngón tay cho trước, tính tương tự giữa chúng không thể đơn giản được tính bằng cách đặt chồng T và I và áp dụng biểu thức (2).
Kí hiệu I (∆x, ∆y, θ) thể hiện một sự quay của ảnh đầu vào I bởi một góc θ
quanh điểm đầu (thường là trung tâm ảnh) và dịch một đoạn ∆x, ∆y dọc theo trục x và y; khi đó độ tương tự giữa hai ảnh T và I có thể được đo như sau:
S (T, I) = max CC (T, I (∆x, ∆y, θ)). (3)
Ứng dụng trực tiếp của đẳng thức (3) hiếm khi dẫn tới các kết quả chấp nhận được chủ yếu là do các vấn đề sau:
+ Các nhiễu phi tuyến làm cho các vết ấn của cùng một ngón tay khác nhau trong cấu trúc toàn cục; Sự nhiễu mềm dẻo không thay thế mẫu vân tay ở các vị trí cục bộ, nhưng các hiệu ứng của nhiễu được tích hợp trong không gian ảnh, mẫu vân tay toàn cục không thể được tương quan một cách đáng tin cậy.
+ Điều kiện da và áp lực ngón tay làm cho độ sáng, độ tương phản, độ giày vân thay đổi trong các vết ấn khác nhau. Sử dụng các số đó độ tương quan phức tạp hơn như độ tương quan chéo được chuẩn hóa hay độ tương quan chéo được chuẩn hóa 0 - Trung bình có thể bỏ qua sự thay đổi độ sáng, độ tương phản để áp dụng các bước tăng cường ảnh, nhị phân hóa và làm mảnh (thực hiện trên cả ảnh T và I) có thể hạn chế độ dày vân. Hatano (2002) đã đưa ra giả thuyết sử dụng độ tương quan khác nhau, được tính như là độ tương quan lớn nhất trừ đi độ tương quan nhỏ nhất, trong một lân cận điểm nơi mà độ tương quan là lớn nhất. Trong thực tế, do tính chu kì của các mẫu vân tay, nếu hai phần tương ứng của cùng một vân tay không được căn chỉnh tương ứng với vị trí đối sánh tối ưu, giá trị độ tương quan hạ thấp trong khi hai vị trị không tương quan thể hiện một giá trị tương quan phẳng hơn trong lân cận của vị trí so khớp tối ưu. Hantano đã báo cáo một sự cải thiện độ chính xác tương ứng với phương pháp độ tương quan truyền thống
Để ứng dụng trực tiếp biểu thức (3) đòi hỏi chi phí rất lớn. Ví dụ xem xét hai ảnh 400x400, sau đó sự tính toán độ tương quan ở đẳng thức (2) cho một giá
trị đơn của (∆x, ∆y, θ) yêu cầu 16000 phép nhân và 16000 phép cộng. Nếu ∆x, ∆y cả hai được lấy mẫu trong miền [-200, 200] và θ được lấy mẫu từng 1 độ trong miền [-30o, 30o]chúng ta phải tính 401x401x61 độ tương quan, kết quả là gần 1569 tỉ phép nhân và phép cộng (vậy là cần hơn 1h với máy tính 500MIPS).
Vấn đề nhiễu ảnh vân tay (điểm 1 trong danh sách trên) thường được đặt ra khi tính độ tương quan cục bộ thay vì toàn cục: một tập các miền cục bộ (mà cỡ điển hình có thể là 24x24 hoặc 32x32) được trích chọn từ ảnh mẫu T và mỗi chúng được tương quan độc lập với toàn bộ ảnh đầu vào I (Bazen 2000). Các miền cục bộ có thể được x bằng vài cách:
+ Hợp của chúng hoàn toàn che phủ T và giao của chúng là rỗng. + Hợp của chúng hoàn toàn che phủ T và chúng cục bộ đè chồng.
+ Chỉ các vùng “thú vị” được lựa chọn từ T. Ví dụ, Yahagi, Igaki. . chọn các cửa sổ nhỏ quanh các chi tiết, trong khi Bazen (2000) xem xét các miền được chọn phân biệt cục bộ trên ảnh đầu vào (phù hợp ở vị trí bên phải, nhưng không phù hợp với các vị trí khác). Các hạng mục được đưa ra bởi Bazen để nhận dạng các vùng được chọn này trong ảnh mẫu: Các vùng quanh chi tiết, các vùng có các vân có độ cong cao, và các vùng thể hiện độ tương quan thấp ở các vị trí trong chính ảnh mẫu.
Khi độ tương quan được tính một cách cục bộ, ước lượng độ tương quan ở các vùng khác có thể được tính bằng cách kết hợp để nhận được độ đo tính tương tự (ví dụ, số các ước lượng vượt qúa một ngưỡng cho trước được chia ra bởi tổng các ước lượng). Bổ sung vào giá trị của độ tương quan, sự đồng bộ của các điểm nơi mà mỗi vùng có độ tương quan lớn nhất có thể được sử dụng để tăng cường đối sánh: trong thực tế, mối liên hệ không gian (khoảng cách, góc…) giữa các vùng trong mẫu và các vùng tương ứng trong ảnh đầu vào được giữ lại. Trong bất kì trường hợp nào, không có sử bảo đảm khi sử dụng bước hợp nhất là thực sự thuận lợi.
Để tính độ phức tạp của kĩ thuật dựa độ tương quan, các phương pháp thông minh có thể được sử dụng để đạt được sự thi hành hiệu quả:
+ Định lý độ tương quan (Gonzales và Woods, 1992) phát biểu rằng: tính toán độ tương quan trên các miền không gian (toán tử …) là tương đương với thực hiện một phép nhân miền điểm trên miền Fourier, trong thực tế
( )
1 *( ) ( )
T⊗ =I F− F T xF I (4)
+ Trong đó F (.) là biến đổi fourier của một ảnh, F-1 (.) là biến đổi Fourier ngược, * kí hiệu liên hợp phức, và “x” kí hiệu nhân điểm với điểm của hai vector. Kết quả của đẳng thức (4) là ảnh độ tương quan mà các giá trị ở các điểm [x, y] thể hiện độ tương quan giữa T và I trong khi sự đổi chỗ là ∆x=x, ∆y=y. Đẳng thức (4) không xem xét sự quay, phải được giải quyết tách ra; trong bất kì trường hợp nào, tiết kiệm tính toán là rất cao trong khi độ tương quan được thực hiện một cách toàn cục (Coezteen và Botha, 1993) và khả năng xem xét khi nó được thực hiện một cách cục bộ bằng cách sử dụng các miền cỡ trung bình.
+ Tính toán độ tương quan lớn nhất không cần phải thực hiện tuần tự, theo cách vét cạn, các phương pháp đa phân giải, các kĩ thuật tìm kiếm không gian (Gradient Descent), và vài kinh nghiệm có thể được chấp nhận để làm giảm số các đánh giá.
+ Biến đổi Fourier-Mellin (Sujan và Mulqueen) có thể được sử dụng thay cho biến đổi Fourier để đánh giá được sự không thay đổi trong phép quay để bổ sung vào sự không thay đổi trong chuyển dịch; nói một cách khác, vài bước thêm vào (như chuyển đổi log) phải được thực hiện, nhưng chúng có thể làm giảm sự chính xác của giải pháp.
+ Phương pháp đưa ra bởi Wilson, Watson, và Paek (1997) phân hoạch cả T và I vào trong các miền cục bộ và tính toán độ tương quan lớn nhất (trong miền Fourier) giữa các cặp vùng. Phương pháp này bị ảnh hưởng bởi hiệu ứng viền do sự đè chồng không gian giữa các khối khác nhau, nhưng có thể được xem xét để tăng tốc độ của toàn bộ quá trình đối sánh.
+ Độ tương quan giữa hai tín hiệu có thể được tính bởi một hệ thống quan sử dụng thấu kính để dẫn xuất biến đổi Fourier của một ảnh và kết hợp các độ tương quan biến đổi cho sự đối sánh giữa chúng. Vài hệ thống đã được đưa ra trên thực tế cho đối sánh vân tay quang học.