Bài 1. Giải phương trình
√
x+ 3 +
√
x−1 = 2
Bài 2. Giải hệ phương trình
(x+y)(x2+y2) = 15(x−y)(x2−y2) = 3
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = (x
3+y3)−(x2+y2) (x−1)(y−1)
trong đó, x, y là những số thực lớn hơn 1.
Bài 4. Cho hình vuông ABCD và điểmM nằm trong hình vuông. 1. Tìm tất cả các vị trí của điểm M sao cho M AB\ =M BC\ =M CD\ =
\
M DA
2. Xét điểm M nằm trên đường chéoAC. Gọi N là chân đường vuông góc hạ từ điểmM xuốngABvàOlà trung điểm của đoạnAM. Chứng minh rằng tỷ số OBCN có giá trị không đổi khi M di chuyển trên đường chéoAC.
3. Với giả thiếtM nằm trên đường chéoAC, xét các đường tròn (S1)và
(S2) có đường kính tương ứng là AM và CN. Hai tiếp tuyến chung của(S1)và(S2)tiếp xúc với(S2)tạiP vàQ. Chứng minh rằng đường thẳngP Q tiếp xúc với (S1)
Bài 5. Với số thực a, ta định nghĩa phần nguyên của số a là số nguyên lớn nhất không vượt quáavà ký hiệu là[a]. Dãy các sốx0, x1, x2, . . . , xn, . . .
được xác định bởi công thức
xn =hn+ 1 √ 2 i −h n √ 2 i
Hỏi trong 200 số {x0, x1, . . . , x199} có bao nhiêu số khác 0? (Cho biết
1,41 <
√
2<1,42).
1.31 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2005(cho mọi thí sinh) (cho mọi thí sinh)
Bài 1. Giải hệ phương trình (
x+y+xy = 3
x2+y2 = 2
Bài 2. Giải phương trình
x+ 4
√
x+ 3 + 2
√
3−2x= 11
Bài 3. Tìm nghiệm nguyên của phương trình
x2+ 17y2+ 34xy+ 51(x+y) = 1740
Bài 4. Cho đường tròn (O),(O0) nằm ngoài nhau có tâm tương ứng là
O và O0. Một tiếp tuyến chung ngoài của hai đường tròn tiếp xúc với (O)
tạiAvà(O0)tạiB. Một tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn cắt AB
tạiI, tiếp xúc với(O) tạiC và (O0)tại D. BiếtC nằm giữa I và D. 1. Hai đường thẳng OC, O0B cắt nhau tại M. Chứng minh rằng OM >
O0M.
2. Ký hiệu (S) là đường tròn đi qua A, C, B và (S0) là đường tròn đi qua A, D, B. Đường thẳng CD cắt (S) tại E khác C và cắt (S0) tại
F khácD. Chứng minh rằngAF vuông góc vớiBE.
Bài 5. Giả sử x, y, z là các số dương thay đổi và thoả mãn điều kiện
xy2z2+x2z+y= 3z2. Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P = z
4
1 +z4(x4+y4)
1.32 Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2005
(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)Bài 1. Giải phương trình Bài 1. Giải phương trình
√ 2−x+ √ 2 +x+ √ 4−x2 = 2
Bài 2. Giải hệ phương trình (
x3+y3−xy2 = 1 4x4+y4 = 4x+y
Bài 3.Giả sửx, ylà những số không âm thoả mãn điều kiệnx2+y2 = 1
1.32. Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2005(cho thí sinh chuyên toán và chuyên tin)33 1. Chứng minh rằng 16x+y 6
√
2
2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P =
√
1 + 2x+p
1 + 2y
Bài 4. Cho hinh vuông ABCD và điểmP nằm trong tam giác ABC. 1. Giả sử góc \BP C = 1350. Chứng minh rằng 2P B2+P C2 =P A2. 2. Các đường thẳng AP và CP cắt các cạnh BC và BA tương ứng tại
các điểmM vàN. Gọi Qlà điểm đối xứng vớiB qua trung điểm của đoạn M N. Chứng minh rằng khi P thay đổi trong 4ABC, đường thẳngP Q luôn đi qua D.
Bài 5.
1. Cho đa giác đều (H) có 14 đỉnh. Chứng minh rằng trong 6 đỉnh bất kỳ của(H) luôn có 4 đỉnh là các đỉnh của một hình thang
2. Có bao nhiêu phân số tối giản mn lớn hơn 1 (m, n là các số nguyên dương) thoả mãn m.n= 13860.