3 ÁP DỤNG THUẬT TOÁN METROPOLIS
3.2Mô hình lõi cứng (hard-core model)
Xét một đồ thị vô hướng G = (V, E) với |V| = N. Mỗi đỉnh ở một trong hai trạng thái "0" hoặc "1".
+ ) Hai đỉnh u,v được gọi là kề nhau nếu (u, v) ∈ E.
+ ) Một cấu hình của G là tập tất cả các trạng thái của các đỉnh.
+ ) Các cấu hình ξ là chấp nhận được ("feasible") nếu đối với mỗi đỉnh
v ∈ V có thể là "1" chỉ khi các đỉnh kề với nó ở trạng thái "0".
+ ) Mô hình lõi cứng là xích Markov mà không gian trạng thái của nó gồm tất cả các cấu hình chấp nhận được của G. Tại mỗi bước, ta chọn ngẫu nhiên một đỉnh và có thể chuyển trạng thái của đỉnh này từ "0" sang "1" hoặc ngược lại.
Kích thước của không gian trạng thái này phụ thuộc vào số cạnh |E|. Đối với đồ thị hoàn toàn liên thông tức là mọi đỉnh đều được nối với nhau
(|E| = G2n) thì số các cấu hình chấp nhận được chỉ là N+1 ( một cấu hình gồm toàn trạng thái "0" và N cấu hình có đúng một trạng thái "1"). Tuy nhiên, khi số cạnh giảm thì số các cấu hình chấp nhận được tăng. Trường hợp xấu nhất khi |E|=0 tức là không có cạnh nào thì đồ thị G có 2N cấu hình chấp nhận được.
Trên tập các cấu hình chấp nhận được của G ta xây dựng một độ đo theo phân bố đều:
µ(ξ) = 1 ZG
.
với ξ là cấu hình chấp nhận được của G và ZG là tổng số cấu hình chấp nhận được của G.
Câu hỏi đặt ra là về trung bình có bao nhiêu điểm có trạng thái "1" trong một cấu hình chấp nhận được của G. Gọi n(X) là số trạng thái "1" của cấu hình chấp nhận được được chọn ngẫu nhiên theo phân bố µ. Khi đó:
E[n(X)] = X ξ-chấp nhận được n(ξ).µG(ξ) = 1 ZG X ξ-chấp nhận được n(ξ).
Việc tính E[n(X)] chỉ khả thi với các đồ thị nhỏ. Với các đồ thị lớn thì số các cấu hình chấp nhận được tăng lên rất nhanh, có thể theo hàm mũ. Ví dụ khi |E|= 0 ta có 2N cấu hình chấp nhận được. Khi đó việc tính
E[n(X)] sẽ rất khó khăn.
Dưới đây ta sẽ áp dụng kỹ thuật mô phỏng được trình bày trong chương 2 để tính xấp xỉ E[n(X)].