2 Mët sè t½nh ch§t °c tr÷ng cõa ph¥n phèi h¼nh håc håc ha
2.3 C¡c t½nh ch§t °c tr÷ng düa tr¶n c¡c t½nh ch§t ph¥n phèi câ i·u
ph¥n phèi câ i·u ki»n v ph¥n phèi bi¶n duy¶n (xem [7])
Ngo i c¡c k¸t qu£ nh÷ l c¡c phi¶n b£n mð rëng cõa tr÷íng hñp mët chi·u cán câ mët v i t½nh ch§t n£y sinh tø ch½nh v²c tì hai chi·u. Trong ph¦n n y s³ tr¼nh b y ba ành l½. ¦u ti¶n chóng ta thi¸t lªp mët °c tr÷ng cõa ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u bði d¤ng cõa mªt ë câ i·u ki»n cõa Xi vîi i·u ki»n Xj ≥tj;i, j = 1,2;i6=j ¢ cho.
ành l½ 2.6
Gi£ sû X = (X1, X2) l v²ctì ng¨u nhi¶n vîi gi¡ I2+. X ÷ñc x¡c ành l ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u (2.6) n¸u v ch¿ n¸u ph¥n phèi câ i·u ki»n cõa Xi vîi i·u ki»n Xj ≥ tj;i, j = 1,2;i 6= j, ¢ cho, l h¼nh håc, tham sè pi(tj) l h m khæng t«ng cõa tj.
Chùng minh:
sât câ i·u ki»n cõa X1 vîi i·u ki»n X2 ¢ cho, l biºu thùc R(t1|t2) = P[X1≥t1|X2 ≥t2] = [p1(t2)]t1 (2.49) 0< p1(t2)<1, t1 = 0,1,2, ... °t t2 = 0 R1(t1) =P [X1≥t1] = (p1)t1 , trong â p1 =p1(0). Ta câ R(t1, t2) =R(t1|t2)R2(t2) = [p1(t2)]t1 pt2 2. (2.50)
T÷ìng tü, thay vai trá X2 cho X1 chóng ta câ R(t1, t2) = [p2(t1)]t2 pt1 1. (2.51) Tø (2.50) v (2.51) chóng ta câ [p1(t2)]t1 pt2 2 = [p2(t1)]t2 pt1 1. (2.52)
Ph÷ìng tr¼nh (2.52) óng vîi måi t1, t2, nghi»m cõa nâ ch¿ câ thº l
p1(t2) p1 1/t2 = p2(t1) p1 1/t1 =θ (2.53) l h¬ng sè ëc lªp vîi t1 v t2. Tø â cho pi(tj) =piθtj
m khi thay v o (2.51) ho°c (2.52) d¨n ¸n (2.6). M°t kh¡c, n¸u chóng ta gi£ sû
R(t1, t2) =pt1
1pt2
chóng ta câ
R(t1|t2) = R(t1, t2)
R2(t2) =p
t1
1θt1t2.
H m x¡c su§t câ i·u ki»n cõa X1 vîi i·u ki»n X2 > t2 ¢ cho: f(x1|X2 ≥x2) =R(t1|t2)−R(t1+ 1|t2) = p1θt2t1
1−p1θt2
v nâ l¤i l h¼nh håc vîi tham sè p1θt2.
Công v¼ 0 ≤ θ ≤ 1, n¶n 0 < p1θt2 < 1 (∀t2). Do â ph¥n phèi câ i·u ki»n cõa X1 vîi X2> t2 ¢ cho l h¼nh håc. T÷ìng tü ph¥n phèi câ i·u ki»n cõa X2 vîi X1 ≥t1 ¢ cho l h¼nh håc.
Khi v²ctì ng¨u nhi¶n X l ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u, chóng ta nhc l¤i h m x¡c su§t câ i·u ki»n cõa X1 khi X2 =x2 ¢ cho, ÷ñc cho bði (1.28) v h m x¡c su§t bi¶n duy¶n ÷ñc cho bði (2.18). D¤ng cõa h m x¡c su§t câ i·u ki»n (1.28) câ thº ÷ñc sû döng d¨n ¸n c¡c °c tr÷ng cõa mæ h¼nh h¼nh håc mët chi·u công nh÷ mæ h¼nh h¼nh håc hai chi·u d¤ng (2.6).
ành l½ 2.7
N¸u X = (X1, X2) l v²ctì ng¨u nhi¶n vîi gi¡ I2+ sao cho ph¥n phèi câ i·u ki»n cõa X1 vîi X2 ¢ cho l biºu thùc (1.28), khi â X1 l ph¥n phèi h¼nh håc n¸u X2 câ ph¥n phèi h¼nh håc.
Chùng minh:
Gi£ sû X2 câ ph¥n phèi h¼nh håc. Khi â h m x¡c su§t cõa X2 l biºu thùc
f2(x2) =px2
2 (1−p2), x2= 0,1,2, ... (2.54) Sû döng biºu thùc èi vîif(x1|x2)tø (1.28) v f2(x2) ÷ñc cho ð tr¶n, h m x¡c su§t çng thíi cõa X s³ l
f(x1, x2) =px1 1 px2 2 θx1x2−1 1−p1θx2+1 1−p2θx1+1 +θ−1.
L§y têng theo gi¡ cõa X2,
f1(x1) =px1
1 (1−p1), x1= 0,1,2, ... (2.55) Còng thíi iºm n y n¸u th nh ph¦n X1 ÷ñc cho l h¼nh håc d¤ng (2.55), th¼ ¯ng thùc f1(x1) = ∞ X x2=0 f(x1|x2)f2(x2) cho ta px1 1 (1−p1) = ∞ X x2=0 px1 1 θx1x2−1 1−p2 1−p1θx2+1 1−p1θx1+1 +θ−1f2(x2) ho°c (1−p1) (1−p2) = ∞ X x2=0 θx1x2−1 θ−p2θx1+1−p1θx2+1+p1p2θx1+x2−2 f2(x2) = ∞ X x2=0 h θx1x2(1−p1θx2)−p2θx1(x2+1) 1−p1θx2+1i f2(x2). Cho c¡c h» sè cõa θrx1, r = 0,1,2, ..., ð hai v¸ b¬ng nhau:
f2(x2) =px2
2 (1−p2), x2= 0,1,2, ... v k¸t qu£ cõa chóng ta ¢ ÷ñc chùng minh.
H» qu£:
Ph¥n phèi câ i·u ki»n cõa Xi vîi Xj = xj ¢ cho l biºu thùc (1.28) v Xi câ ph¥n phèi h¼nh håc l i·u ki»n c¦n v õ º (X1, X2) câ ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u.
ành l½ 2.8
Gi£ sû X = (X1, X2) l v²ctì ng¨u nhi¶n vîi gi¡ I2+. X câ ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u (2.6) n¸u v ch¿ n¸u c¡c i·u ki»n sau ¥y ÷ñc thäa m¢n:
(ii) K¼ vång câ i·u ki»n cõaX2vîi X1 ≥t¢ cho: E(X2−t2|X1 ≥t)
l p2θt2 1−p2θt1−1
Chùng minh:
i·u ki»n (ii) trong ành l½ câ thº vi¸t l¤i nh÷ sau r2(t1)R(t1, t2) = ∞ X t1 ∞ X t2 (x2−t2)f(x1, x2) = ∞ X s=1 R(t1, t2+s). (2.56) Thay t2 l t2+ 1 v trø i tø (2.56): r2(t1) [R(t1, t2)−R(t1, t2+ 1)] =R(t1, t2+ 1). ho°c R(t1, t2+ 1) = r2(t1) 1 +r2(t1) R(t1, t2). (2.57) Gi£m t2 li¶n ti¸p ta ÷ñc
R(t1, t2) = r2(t1) 1 +r2(t1) t2 R(t1,0). (2.58)
Khi (ii) thäa m¢n:
r2(t1)
1 +r2(t1) =p2θ
t1. Tø i·u ki»n (i) cõa ành l½
R(t1,0) =pt1 1. B¥y gií (2.58) s³ l R(t1, t2) =pt1 1pt2 2θt1t2.
Ng÷ñc l¤i khi X câ ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u, (i) v (ii) ÷ñc suy ra tø (2.9) v (1.27) v chùng minh ÷ñc ho n th nh.
2.4 C¡c °c tr÷ng düa tr¶n tèc ë th§t b¤i v h m sèng th¶m trung b¼nh (xem [5])
Trong ph¦n n y chóng ta · cªp ¸n kh¡i ni»m tèc ë th§t b¤i (failure rate) v h m sèng th¶m trung b¼nh (mean residual life (MRL)) trong tr÷íng hñp ríi
r¤c v sû döng nâ nh÷ l cæng cö º °c tr÷ng cho ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u. Chóng ta ành ngh¾a tèc ë th§t b¤i hai chi·u nh÷ l mët v²ctì hai th nh ph¦n h(t) = (h1(t), h2(t)) trong â
hi(t) = P(Xi=ti, Xj ≥tj)
P (X1 ≥t1, X2 ≥t2);i, j = 1,2;i6=j.
= R2(t2)fi(ti|Xj ≥tj)
R(t1, t2) . (2.59)
Chó þ r¬ng ph¥n phèi câ i·u ki»n tr¶n tû sè l mët trong nhúng ph¥n phèi m chóng ta ¢ g°p trong ph¦n 1.2.
Trong c¡c ành l½ ti¸p theo chóng ta s³ chùng minh r¬ng t½nh h¬ng sè àa ph÷ìng cõa hi(t1, t2) l mët t½nh ch§t °c tr÷ng cõa ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u (2.6).
ành l½ 2.9
V²c tì ng¨u nhi¶n X = (X1, X2)vîi gi¡ I2+ câ ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u (2.6) n¸u v ch¿ n¸u h m tèc ë th§t b¤i cõa nâ câ d¤ngh(t1, t2) = [h1(t2), h2(t1)]
trong â h1 v h2 l c¡c h m khæng t«ng theo c¡c bi¸n t÷ìng ùng, sao cho hi(0) = 1−pi, i= 1,2.
Chùng minh:
º chùng minh i·u ki»n c¦n, tø (2.59) chóng ta câ
R(t1, t2)h1(t1, t2) = R(t1, t2)−R(t1+ 1, t2). Do â
R(t1+ 1, t2) = [1−h1(t1, t2)]R(t1, t2). (2.60) T÷ìng tü
°t t2 = 0 trong (2.60)
R1(t1) = [1−h1(t1−1,0)]R(t1−1). L°p l¤i ph÷ìng tr¼nh n y vîi c¡c gi¡ trà t1 gi£m d¦n ta ÷ñc
R1(t1) = t1 Y r=1 [1−h1(t1−r,0)]. T÷ìng tü R2(t2) = t2 Y r=1 [1−h2(0, t2−r)]. (2.62) Hìn núa l°p l¤i (2.60) vîi c¡c gi¡ trà t1 gi£m, cho ta
R(t1, t2) = t1 Y r=1 [1−h1(t1−r, t2)]R(0, t2). (2.63) Thay R(0, t2) bði (2.62): R (t1, t2) = t1 Y r=1 [1−h1(t1−r, t2)] t2 Y r=1 [1−h2(0, t2−r)]. (2.64) Nh÷ vªy (2.64) cho cæng thùc têng qu¡t li¶n quan ¸n h m tèc ë th§t b¤i v h m sèng sât. Nâ biºu di¹n r¬ng h m tèc ë th§t b¤i x¡c ành duy nh§t ph¥n phèi t÷ìng ùng.
D÷îi i·u ki»n cõa ành l½, (2.63) s³ l
R(t1, t2) = [1−h1(t2)]t1
R2(t2). (2.65)
Khi t2 = 0 trong (2.65) chóng ta câ
R(t1, t2) =pt1
1. Sû döng kÿ thuªt t÷ìng tü, h» thùc
R(t1, t2) = [1−h2(t1)]t2
cho R2(t2) =pt2 2. C¡c ph÷ìng tr¼nh (2.65) v (2.66) d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh h m: [1−h1(t2)]t1 pt2 2 = [1−h2(t1)]t2 pt1 1. Nghi»m ph÷ìng tr¼nh tr¶n l 1−h1(t2) p1 1 t2 = 1−h2(t1) p2 1 t1 =θ (2.67)
trong â θ l ëc lªp vîi c£ t1 v t2. (2.67) cho chóng ta c¡c biºu thùc
hi(tj) = 1−piθtj. (2.68)
Thay (2.68) v o (2.65) ho°c (2.66) chóng ta câ
R(t1, t2) =pt1
1pt2
2θt1t2
v nh÷ vªy (X1, X2) câ ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u.
Ng÷ñc l¤i khi X câ ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u, chóng ta câ Ri(ti) =pti
i
v f(ti|Xj ≥tj) ÷ñc cho bði (1.31), do â tø (2.59): hi(t1, t2) = 1−piθtj
m rã r ng nâ ëc lªp vîi ti v chùng minh ÷ñc ho n th nh.
Trong tr÷íng hñp ríi r¤c chóng ta x¡c ành h m sèng th¶m trung b¼nh (MRLF) hai chi·u.
K½ hi»u X = (X1, X2) v X > x ngh¾a l Xi > xi, i= 1,2.
H m sèng th¶m trung b¼nh hai chi·u cõaX ÷ñc x¡c ành nh÷ l mët h m v²ctì r(t) = E(X−t/X > t),
trong â t= (t1, t2) v ti l c¡c sè thüc, khæng ¥m. Do â ri(t1, t2)R(t1, t2) = ∞ X t1 ∞ X t2 (xi−ti)f(x1, x2). Sû döng (1.22), ngh¾a l r1(t1, t2)R(t1, t2) = R(t1+ 1, t2) [1 +r1(t1+ 1, t2)]
v sû döng (2.60) chóng ta th§y r¬ng h1 v r1 ÷ñc li¶n h» bði h» thùc
1−h1(t1, t2) = r1(t1, t2)
1 +r1(t1+ 1, t2). (2.69) r(t) nh÷ l mët v²ctì vîi c¡c th nh ph¦n
ri(t1, t2) =E[Xi−ti|Xi ≥ti, i= 1,2]. (2.70) Theo ngæn ngú cõa MRLF hai chi·u, ành l½ 2.9 câ thº ÷ñc ph¡t biºu l¤i nh÷ sau:
ành l½ 2.10
V²ctì ng¨u nhi¶n ríi r¤c X trong ành l½ 2.9 câ ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u (2.6) n¸u v ch¿ n¸u MRLF cõa nâ câ d¤ng
r(t) = (r1(t2), r2(t1))
vîi c£ hai r1 v r2 l khæng t«ng theo c¡c bi¸n t÷ìng ùng, vîi ri(0) = pi/1−pi. Chùng minh cõa ành l½ ÷ñc suy ra trüc ti¸p tø (2.69) v ành l½ 2.9.
K¸t luªn
Luªn v«n " Mët sè b i to¡n °c tr÷ng cõa ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u " ¢ giîi thi»u c¡c d¤ng kh¡c nhau cõa ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u, công nh÷ c¡c t½nh ch§t t÷ìng ùng cõa chóng.
Ti¸p ¸n luªn v«n ¢ tr¼nh b y c¡c t½nh ch§t °c tr÷ng cõa ph¥n phèi h¼nh håc hai chi·u düa tr¶n c¡c °c tr÷ng sau:
+ °c tr÷ng düa tr¶n t½nh m§t tr½ nhî;
+ °c tr÷ng düa tr¶n c¡c t½nh ch§t cõa mæmen bà ch°t cöt;
+ °c tr÷ng düa tr¶n c¡c t½nh ch§t cõa ph¥n phèi câ i·u ki»n v ph¥n phèi bi¶n duy¶n;
+ °c tr÷ng düa tr¶n h m tèc ë th§t b¤i v h m sèng th¶m trung b¼nh.
Do kh£ n«ng câ h¤n n¶n m°c dò ¢ cè gng nh÷ng luªn v«n khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u xât. Tæi r§t mong nhªn ÷ñc sü gâp þ cõa quþ th¦y cæ v b¤n åc.
T i li»u tham kh£o
[1] K.R. Muraleedharan Nair, (1990). Some characterization problems associ- ated with the bivariate exponential and distributions
[2] Gupta P.L., (1985). Some characterizations of distributions by truncated moments, Statistics, 16, 465-473.
[3] Lukacs E. and Laha R.G. (1964). Applications of characteristic functions, Griffin, London.
[4] Nagaraja H.N. (1975). Characterization of some distributions by conditional moments, J.Ind.Statist.Assoc, 13, 57-61.
[5] Nair K.R.M. and Nair N.U. (1989). Bivariate mean residual life, I.E.E.E. Trans. Rel. 38, p. 362-364.
[6] Nair N.U. (1983). Ameasure of memory for some discrete distributions, J.Ind.Statist.Assoc., 21, 141-147
[7] Nair N.U. and Nair K.R.M. (1990). Characterizationsof the Gumbels bivari- ate exponential distribution, Statistics 21 (to appear).
[8] Pathak A.G. and Sreehari M (1981). Some characterization of a bivariate geometric distribution, J.Ind.Statist.Assoc. 19, 141-146.
[9] Paulson A.S. and Uppuluri V.R.R. (1972). A characterization of the geo- metric distribution and a bivariate geometric distribution,Sankhuya, A, 34, 88-91.
[10] Xekalaki E (1983). Hazard functions and life distributions in discrete time, Commun. Statist., 12, 2503-2509.
[11] Edward Omey and Leda D. Minkova (1999). Bivariate geometric distribu- tions,Lirias.Hubrussel.be, 3 - 7.