2 Bài toán bù tuyến tính suy rộng
2.6 Một đặc trưng của nón đa diện trong các không gian hữu
gian hữu hạn chiều
Định lý 2.5.
Với dimH < ∞ các mệnh đề sau là tương đương
i) Tồn tại một toán tử S : H →H sao cho S(H) không đóng;
ii) Tồn tại một phép chiếu trực giao P : H → H sao cho P(K) là không đóng
iii) Tồn tại toán tử P : H → H là đồng dương cộng trên K và q ∈ K
sao cho GLCP(T,K,q) là chấp nhận nhưng không có nghiệm;
iv) K không phải là đa diện;
v) Tồn tại toán tử chiếu P : H → H với dim(RanP) = 2 mà P(K) là không đóng.
Chứng minh.
i) ⇒ ii): Giả sửi)đúng. VìH/KerS đẳng cấu với RanS (vìdimH < ∞) và Π : H → H/KerS là ánh xạ thương nên tập K + KerS không đóng trong H. Kí hiệu P là phép chiếu trực giao lên (KerS)⊥. Vì KerP = KerS
nên K +KerP không đóng. Vì vậy P(K) không đóng trong H. Ta có ii).
ii) ⇒ iii): Giả sửP là phép chiếu lên H sao cho P(K) không đóng trong
H. Kí hiệuulà điểm giới hạn của P(K) mà không thuộcP(K). Đặt q = −u
Kí hiệu L là nón lồi đóng (không nhất thiết là P(K)), Giả sử phản chứng rằng L∗−L 6= H. Lấy x ∈ H mà x /∈ L∗−L khi đó theo định lý tách ([?]) tồn tại a 6= 0, a ∈ H và α ∈ R sao cho
ha, xi ≤ α ≤ ha, wi − ha, vi v ∈ L, w ∈ L∗. (2.10) Vì L∗ −L là một nón ta có thể lấy α = 0. Cho w = 0 trong (2.10) ta nhận được
0≤ −ha, vi v ∈ L
suy ra −a ∈ L∗.
Cho w = −a, v = 0 và nhắc lại rằng ta đã lấy α = 0, (2.10) cho
0≤ ha,−ai
suy ra a = 0, mâu thuẫn với a 6= 0. Như vậy P(K∗)−P(K) = H với bài toán GLCP(I, P(K), q) chấp nhận được. Giả sử rằng GLCP(I, P(K), q) có nghiệm. Khi đó tồn tạo p ∈ P(K) sao cho
hp+q, vi ≥ 0; với v ∈ P(K) và hp+q, pi = 0.
Với q = −u, ta có với bất kỳ v ∈ P(K):
kv−vk2 = kv−pk2 +kp−uk2 + 2hv −p, p−ui ≥ kp−uk2,
bởi vì
hv −p, p−ui = hv, p−ui − hp, p−ui ≥ 0.
Vì u thuộc bao đóng của tập [P(K)]\P(K), điều này không thể xảy ra, do đó GLCP(I, P(K), q) không thể có nghiệm. Vì q ∈ RanP và P là một phép chiếu, bài toán GLCP(I, P(K), q) chấp nhận được (tương ứng có nghiệm) tương đương bái toán GLCP(P, K, q) chấp nhận được (tương
được nhưng không có nghiệm. Cuối cùng,P đồng dương cộng trên K vì các phép chiếu luôn là đơn điệu
iii) ⇒iv) suy ra từ định lý 2.1.
iv) ⇒ v) theo kết quả của [9]. v) ⇒i) hiển nhiên.
Kết luận chương
Trong chương 2, đã trình một số kết quả về bài toán bù tuyến tính suy rộng trong không gian Hilbert.
Kết luận
Luận văn trình bày tổng quan về một số vấn đề của bài toán bù tuyến tính suy rộng trên không gian Hilbert như:
• Những định lý về sự tồn tại nghiệm. Kết quả đạt được trong luận văn là:
• Trình bày được một cách có hệ thống một số kết quả cho bài toán bù tuyến tính suy rộng trên không gian Hilbert. Một số kết quả tổng quát đã được diễn giải và tính toán lại một cách chi tiết.
Tài liệu tham khảo
Tài liệu tiếng Việt
[1] Đậu Thế Cấp (2000), Giải tích hàm, NXB Giáo dục.
[2] Lê Dũng Mưu, Nguyễn Văn Hiền,Nguyễn Hữu Hiền, Nhập môn giải tích lồi ứng dụng, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
Tài liệu tiếng Anh
[3] J. M. Borwein (1984), Generalized linear complemetality problems treated without the fixed point theory, JOTA 43 p. 343-356.
[4] R. W. Cottle, J.-S. Pang, R. E. Stone (1992), The Linear Complemen- tarity Problem, Acad. Press, New York.
[5] M. S. Gowda, T. I. Seidman (1990), Generalized Linear Complemen- tarity Probrems, Mathematic Programming 46, p.329-340.
[6] M. S. Gowda (1986), A Characterization of Positive Semidefinite Op- erators on a Hilbert space, J.Optim. Theory and Appl. 48, p. 419-425. [7] O. L. Mangasrian (1969), Nonlinear Programming, McGraw-Hill,
NewYork.
[8] L. Mangasrian (1982), Characterizations of bounded solutions of linear complemetality problems, Math. Programming study 19, p. 153-166.
[9] H. Mirkil (1957), New Characterizations of polyhedral cones, Canadian Jounal of Mathematics IX(1), p. 1.
[10] L. McMinden (1984), Stable monotone variational inequalities, Techni- cal Report #, Mathematics Research, Univertsity of Wisconsin (madi- son, WI).