Các bài toán liên quan đến bất đẳng thức hàm có rất nhiều dạng. Trong các chương trước mới chỉ trình bày được hệ thống một số dạng. Chương này sẽ đưa ra một số bài toán liên quan được lấy từ các đề thi Olympic Toán quốc tế, đề thi chọn học sinh giỏi các cấp. Ngoài ra, trong nội dung của chương cũng thêm vào một số bài tập đề nghị để tham khảo.
Bài toán 4.1 (Thi vô địch toán Trung Quốc 1989). Gọi X là tập tất cả các số thực lớn hơn 1. Tìm tất cả các hàm số f xác định trên tập X sao cho
f(xayb) ≤ [f(x)]4a1 [f(y)]4b1 ,
với mọi x, y và mọi số thực dương a, b.
Lời giải. Với y = x và a = b= c
2, ta được
f(xc) ≤ [f(x)]1c. (4.1) Giả sử f(e) = k. Với mọi x ∈ X, ta chọn c = lnx ⇔ x= ec. Khi đó
f(x) ≤kln1x, ∀x ∈ X.
Mặt khác, từ (4.1) ta có f(x) ≥ [f(xc)]c. Do đó, chọn c = 1
lnx ta được f(x) ≥kln1x, ∀x ∈ X.
Vẫn còn khả năng rằng không có hàm số nào thỏa mãn điều kiện trên, do đó cần kiểm tra rằng hàm kln1x thỏa mãn. Ta có
ln xayb = alnx+blny. Vậy ta cần chứng minh: 1 alnx+ blny ≤ 1 4alnx + 1 4blny. (4.2)
Dễ thấy bất đẳng thức (4.2) được suy ra từ hệ quả của bất đẳng thức AM - GM
1
a +
1
b ≥ 4
a+b, ∀a, b ∈ R+.
Tóm lại, hàm số thỏa mãn bài toán là f(x) = f(e)ln1x, x∈ X.
Bài toán 4.2 (Thi vô địch toán Trung Quốc 1990). Gọi X là tập các số thực không âm. Cho f :X →X là hàm bị chặn trên đoạn [0; 1] và thỏa mãn bất đẳng thức f(x)f(y) ≤ x2f y 2 +y2f x 2 với mọi x, y ∈ X. Chứng minh rằng f(x) ≤ x2, ∀x ∈ X.
Lời giải. Lấy x = y > 0, ta được:
[f(x)]2 ≤ 2x2f x 2 ⇔f x 2 ≥ [f(x)] 2 2x2 . Đặt f(x) =k, lặp lại vài lần cách làm trên ta được:
f x 4 ≥ k 4 2x6, f x 8 ≥ 2k 8 x14, f x 16 ≥ 128k 16 x30 , . . . Với n đủ lớn, x
2n ∈ [0; 1], ta thu được một dãy trong đoạn [0; 1] mà ảnh của dãy này qua f không bị chặn. Ta sẽ chứng minh rằng nếu k > x2 thì f x
2n
≥ 2Nx2, với N = 2n −2n−1.
• Giả sử khẳng định trên đúng với n. Khi đó f x 2n+1 ≥ 2 2n−1 x2 h f x 2n i2 ≥2N0x2, với N0 = 2N + 2n−1 = 22n+1 −4n−2 + 2n−1 = 2n+1 −2(n+ 1)−1. Bài toán 4.3 ([Học sinh giỏi Việt Nam 1991). Tìm tất cả các hàm số f :R →R thỏa mãn điều kiện
1
2f(xy) + 1
2f(xz)−f(x)f(yz) ≥ 1
4, ∀x, y, z ∈ R. (4.3)
Lời giải. Thayx = y = z = 0vào (4.3), ta được f(0)−f2(0) ≥ 1
4 hayf(0) = 1 2.
Tương tự với y = z = 0, ta được
f(x) ≤ 1 2, ∀x ∈ R. (4.4) Với x = y = z = 1, ta được f(1) = 1 2. Với y = z = 1, ta được f(x) ≥ 1 2, ∀x ∈ R. (4.5) Từ (4.4) và (4.5), suy ra f(x) ≡ 1 2. Thử lại, f(x) ≡ 1
2 thỏa mãn bài toán.
Bài toán 4.4 (APMO 1994). Tìm tất cả các hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện
1. f(x) +f(y) + 1 ≥f(x+y), ∀x, y ∈ R, 2. f(x+y) ≥ f(x) +f(y), ∀x, y ∈ R, 3. f(x) ≤ f(0), ∀x ∈ (0; 1),
Lời giải. Từ các điều kiện 1 và 2 ta có f(x+ 1) ≥ f(x) +f(1) = f(x) + 1, và f(x) ≥f(x+ 1) +f(−1) = f(x+ 1)−1. Do đó f(x+ 1) = f(x) + 1, ∀x ∈ R. (4.6)
Từ (4.6), 1 = f(1) = f(0 + 1) =f(0) + 1. Suy ra f(0) = 0. Từ điều kiện 3 suy ra
f(x) ≤ 0, ∀x ∈ (0; 1). (4.7) Từ điều kiện 1 ta có 1 = f(1) = f(x+ 1−x) ≤ f(x) +f(1−x) + 1, suy ra f(x) +f(1−x) ≥0. Khi 0 < x < 1 ⇒ 0 < 1−x < 1, theo (4.7), ta có f(x) ≤ 0, f(1−x) ≤ 0. Do vậy f(x) = f(1−x) = 0. Khi đó f(x) = 0, ∀x ∈ (0; 1) và f(x+ 1) = f(x) + 1. Vậy f(x) = [x], ∀x ∈ R.
Bài toán 4.5 (Flander 1999). Tìm tất cả các hàm số f, g : R → R thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:
2f(x)−g(x) = f(y)−y, ∀x, y ∈ R, (4.8) f(x).g(x) ≥x+ 1, ∀x ∈ R. (4.9)
Lời giải. Trong (4.8) cho x = y ta có
g(x) =f(x) +x. (4.10)
Khi đó (4.8) trở thành
Trong (4.8), cho y = 0 ta được f(x) = x +f(0) = x + a, với a = f(0). Từ đó suy ra g(x) = 2x+a.
Thay f(x) =x+a, g(x) = 2x+a vào (4.9), ta được
2x2 + (3a−1)x+a2 −1≥ 0, ∀x ∈ R ⇔ (a−3)2 ≤ 0
⇔ a = 3.
Vậy hàm số cần tìm là f(x) =x+ 3 và g(x) = 2x+ 3. Thử lại thấy thỏa mãn bài toán.
Bài toán 4.6 (Russia). Tồn tại hay không hàm số f : R → R thỏa mãn điều kiện:
|f(x+y) + sinx+ siny| < 2. (4.12)
Lời giải. Giả sử tồn tại hàm số f thỏa mãn bài toán. Thay x = y = π 2 vào (4.12), ta được |f(π) + 2| < 2. Thay x = −π 2, y = 3π 2 vào (4.12), ta được |f(π)−2| < 2. Khi đó 4 = |(f(π) + 2)−(f(π)−2)| ≤ |f(π) + 2|+|f(π)−2|< 4.
Điều này mâu thuẫn.
Vậy không tồn tại hàm số f thỏa mãn bài toán.
Bài toán 4.7 (IMO 2011). Gọi f : R → R là hàm số thỏa mãn điều kiện
f(x+y) ≤yf(x) +f(f(x)), ∀x, y ∈ R. (4.13) Chứng minh rằng f(x) = 0, ∀x ≤ 0.
Lời giải. Thay y = t−x vào (4.13), ta được
Với các số thực a, b ∈ R, thay t = f(a), x = f(b) và t = f(b), x = a vào (4.14), ta được
f(f(a))−f(f(b)) ≤ f(a)f(b)−bf(b), f(f(b))−f(f(a)) ≤ f(a)f(b)−af(a). Cộng vế với vế của hai bất đẳng thức trên, ta được
2f(a)f(b) ≥af(a) + bf(b). (4.15) Thay b = 2f(a) vào (4.14), ta được
2f(a)f(b) ≥af(a) + 2f(a)f(b). (4.16) ⇔ af(a) ≤ 0.
Hay
f(a) ≥ 0, ∀a < 0. (4.17) Giả sử tồn tại x ∈ R để f(x) > 0. Từ (4.14), ta lấy t < xf(x)−f(f(x))
f(x) suy ra
f(t) < 0. Điều này mâu thuẫn. Do đó
f(x) ≤ 0 ∀x ∈ R. (4.18) Từ (4.17) và (4.18), ta có f(x) = 0, ∀x < 0. Từ (4.14), thay t= x < 0, ta được 0≤ 0−0 +f(0) ⇒f(0) ≥0. (4.19) Kết hợp (4.18) và (4.19), ta được f(0) = 0. Vậy f(x) = 0, ∀x ≤ 0.
Bài toán 4.8. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: (i) f(x) ≥ e2011x, ∀x ∈ R;
Lời giải. Đặt f(x) = e2011x.g(x). Theo giả thiết (i) thì g(x) ≥ 1, ∀x ∈ R. Thế vào điều kiện (ii), ta thu được
e2011(x+y).g(x+y) ≥ e2011xg(x).e2011yg(y),
hay
g(x+y) ≥ g(x)g(y), x, y ∈ R. Với x = y = 0, ta thu được
g(0) ≥(g(0))2
g(0) ≥1 ⇒ g(0) = 1.
Suy ra 1 = g(0) = g(x+ (−x)) ≥ g(x)g(−x) ≥ 1, ∀x ∈ R. Vậy g(x) ≡ 1 và f(x) = e2011x.
Bài toán 4.9. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: 1. f(x+y) ≥ f(x)f(y), ∀x, y ∈ R;
2. f(x) ≥ sinx+ 1.
Bài toán 4.10. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1. f(x+y) ≥ f(x)f(y), ∀x, y ∈ R; 2. f(x) ≥ ln(x3 + 1) + 1.
Bài toán 4.11. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
1. f(x+y) ≥ f(x)f(y), ∀x, y ∈ R; 2. f(x) ≥ x+ 1
x2 + 1.
Bài toán 4.12. Xác định các hàm số f(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:
2. f(x) ≥ √x2 + 1.
Bài toán 4.13. Tìm tất cả các hàm sốf(x) xác định trên khoảng mở(−e,+∞), thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm sau
f(x+ y) ≥f(x) ln(f(y))
f(x) ≥x+e.
Bài toán 4.14. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R, thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm sau
f(x+y) ≥ f(x)f(y)
f(x) ≥ e2x.
Bài toán 4.15. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R, thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm sau
f(x+y) ≥ f(x)f(y)
f(x) ≥ ax+b, trong đó a, b là các hằng số thỏa mãn a+b = 1.
Bài toán 4.16. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R, thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm sau
f(x+y) ≥ f(x)f(y)
f(x) ≥ ax2 +bx+c, trong đó a, b, c là các hằng số thỏa mãn a+ b+c = 1.
Bài toán 4.17. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên (0,∞), thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm sau
f(x+y) ≥f(x)2f(y)
f(x) ≥√x.
Bài toán 4.18. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R, thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm sau
f(x+y) ≥ f(x)f(y)
f(x) ≥ 2x.
Bài toán 4.19. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trên R, thỏa mãn hệ bất đẳng thức hàm sau
f(x+y) ≥ f(x)f(y)
f(x) ≥ ax
Bài toán 4.20. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trênR, thỏa mãn bất đẳng thức hàm sau
f(x+y) ≥f(x) cosy.
Bài toán 4.21. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trênR, thỏa mãn bất đẳng thức hàm sau
f(x+y) ≥ f(x)(1 +y).
Bài toán 4.22. Tìm tất cả các hàm số f(x) xác định trênR, thỏa mãn bất đẳng thức hàm sau f(x+y) ≥ f(x)(a+by), với a, b ∈ R là các hằng số thỏa mãn a+b = 1. Bài toán 4.23. Xét hàm số f(t) = cost, khi 0 < t ≤ π 2 g(t), khi π 2 < t < π. Xác định các hàm số g(t) xác định trong khoảng π 2, π
và thỏa mãn điều kiện f(A) + f(B) +f(C) ≤ 3f π 3 , ∀4ABC. Bài toán 4.24. Xét hàm số f(t) = sint, khi 0< t ≤ π 2 g(t), khi π 2 < t < π. Xác định các hàm số g(t) xác định trong khoảng π 2, π
và thỏa mãn điều kiện f(A) + f(B) +f(C) ≤ 3f π 3 , ∀4ABC. Bài toán 4.25. Xét hàm số f(t) = g(t), khi 0 < t ≤ π 2 cost, khi π 2 < t < π. Xác định các hàm số g(t) xác định trong khoảng 0, π 2 i
và thỏa mãn điều kiện f(A) + f(B) +f(C) ≤ 3f
π
3
Bài toán 4.26. Xét hàm số f(t) = g(t), khi 0< t ≤ π 2 sint, khi π 2 < t < π. Xác định các hàm số g(t) xác định trong khoảng 0, π 2 i
và thỏa mãn điều kiện f(A) + f(B) +f(C) ≤ 3f π
3
, ∀4ABC.
Bài toán 4.27. Cho hàm sốp(t) xác định và lõm (có đạo hàm bậc hai âm) trong 0, π 2 i . Xét hàm số f(t) = p(t), khi 0 < t ≤ π 2 g(t), khi π 2 < t < π. Xác định các hàm số g(t) xác định trong khoảng π 2, π
và thỏa mãn điều kiện f(A) + f(B) +f(C) ≤ 3f
π
3
, ∀4ABC.
Bài toán 4.28. Cho hàm sốp(t) xác định và lõm (có đạo hàm bậc hai âm) trong π 2, π . Xét hàm số f(t) = g(t), khi 0< t ≤ π 2 p(t), khi π 2 < t < π. Xác định các hàm số g(t) xác định trong khoảng 0, π 2 i
và thỏa mãn điều kiện f(A) + f(B) +f(C) ≤ 3f π
3
, ∀4ABC.
Bài toán 4.29. Tìm tất cả các hàm số xác định trong khoảng (0, π) và thỏa mãn điều kiện
f(A) + cosB + cosC ≤ 3
2, ∀4ABC.
Bài toán 4.30. Xác định các hàm số xác định trong khoảng (0, π) và thỏa mãn điều kiện
f(A) + sinB + sinC ≤ 3 √
3
Bài toán 4.31. Xác định các hàm số xác định trong khoảng (0, π) và thỏa mãn điều kiện f(A) + tan2 B 2 + tan 2 C 2 ≥1, ∀4ABC.
Bài toán 4.32. Xác định các hàm số xác định trong khoảng (0, π) và thỏa mãn điều kiện
f(A) + tanB
2 + tan
C
2 ≤ √3, ∀4ABC.
Bài toán 4.33. Xác định các hàm số xác định trong khoảng (0, π) và thỏa mãn điều kiện
f(A) + cot2 B
2 + cot
2 C
2 ≥ 9, ∀4ABC.
Bài toán 4.34. Xác định các hàm số xác định trong khoảng (0, π) và thỏa mãn điều kiện f(A) + cotB 2 + cot C 2 ≤ 3√ 3, ∀4ABC.
Bài toán 4.35. Xác định các hàm số xác định trong khoảng (0, π) và thỏa mãn điều kiện f(A) +f(B) ≤2f A+B 2 , ∀4ABC.
Bài toán 4.36. Xác định các hàm số xác định trong khoảng (0, π) và thỏa mãn điều kiện
f(A) +f(B) + cosC ≤ 3
2, ∀4ABC.
Bài toán 4.37. Xác định các hàm số xác định trong khoảng (0, π) và thỏa mãn điều kiện
f(A) +f(B) + sinC ≤ 3 √
3
Kết luận
Luận văn "Một số lớp bất đẳng thức hàm và các bài toán liên quan" bước đầu trình bày một cách có hệ thống một số đặc điểm, tính chất và một số dạng toán có thể thiết lập ở một số lớp bất đẳng thức hàm.
- Thông qua các định lý, hệ quả luận văn đã mô tả được một số tính chất chung của các lớp bất đẳng thức hàm chuyển đổi hai phép tính số học là cộng và nhân. Đồng thời từ đó thiết lập một số dạng bài toán giải bất phương trình hàm: chuyển đổi từ phép cộng của đối số, chuyển đổi từ phép nhân của đối số, chuyển đổi tuần hoàn phép tính của đối số. Luận văn đưa ra một số bài tập về lớp bất đẳng thức hàm chuyển đổi đại lượng trung bình cơ bản. - Luận văn trình bày định nghĩa, định nghĩa tương đương (Jensen), cũng như
các tính chất của lớp hàm lồi, lõm, tựa lồi, lõm; xây dựng phương pháp mô tả các hàm tựa lồi, tựa lõm từ lớp các hàm lồi (lõm), khả vi trên một khoảng, từ đó áp dụng vào một số bài toán giải bất phương trình hàm lượng giác. - Luận văn đưa ra một số dạng bài tập liên quan và bài tập tham khảo ở
chương cuối.
Mặc dù rất cố gắng nhưng do hạn chế thời gian, trình độ cũng như kinh nghiệm khoa học nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, cũng như chưa đề cập nghiên cứu được nhiều các tính chung cho hầu hết các lớp bất đẳng thức hàm đã đưa ra, số lượng các bài tập và dạng toán ít ỏi. . . Tác giả luận văn mong nhận được sự góp ý và xây dựng từ quý thày cô và các bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn.