3.1. Kiến thức cơ bản
3.1.1. Bài toán tương giao tổng quát:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và y = g(x,m). Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình
f(x, m) = g(x,m) (1).
Nhận xét: Số nghiệm của (1) chính là số giao điểm của hai đồ thị hàm số. Sau đó lập phương trình tương giao của d và (C).
3.1.2. Bài toán cơ bản:
Cho hai đồ thị hàm số: y = f(x, m) và d: y =ax+b
Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x,m) = ax+b. (1)
Chú ý:
+ Nếu đường thẳng d đi qua điểm M(x0; y0) và có hệ số góc k thì phương trình d có Dạng: y – y0 = k(x – x0).
+ Khai thác tọa độ giao điểm (M x( M;yM)của (C) và d, ta cần chú ý: xM là nghiệm của
(1);M thuộc d nên yM =axM +b
+ Nếu (1) dẫn đên một phương trình bậc hai, ta có thể sử dụng định lý Viet
Phương pháp nhẩm nghiệm hữu tỷ
Cho phương trình: 1
1 1 0
( ) n n ... 0
n n
f x =a x +a x− − + +a x a+ = . Nếu phương trình có nghiệm hữu tỷ x p
q
= (p, q)=1 thì \q an và p a\ 0.
Phương pháp hàm số
Chuyển phương trình hoành độ tương giao về: g(x) = m.
Khi đó số nghiệm chính là số giao điểm của đồ thị y = g(x) và đường thẳng y = m.
3.2. Ví dụ và bài tập
Ví dụ 1. Cho hàm số y= − +x3 3x2−1 a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên.
b) Dựa vào đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3−3x2+ =m 0.
Giải a) • TXĐ: D = R. • y'= −3x2+6x 2 0 ' 0 3x 6x=0 2 x y x = = ⇔ − + ⇔ =
• Giới hạn: limx→−∞y= +∞, limx→+∞y= −∞ • Bảng biến thiên:
• Hàm số đồng biến trên (0 ; 2); hàm số nghịch biến trên (−∞;0) và (2;+∞). • Hàm số đạt cực đại tại x = 2, yCĐ = 3; hàm số đạt cực tiểu tại x = 0, yCT = -1. • Đồ thị: Điểm đặc biệt: (0;-1), (-1; 3), (3; -1), (1; 1)
b) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
• 3 2 3 2
3 0 3 1 1
x - x + m = Û - x + x - =m -
• Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y= − +x3 3x2−1 với đường thẳng y = m – 1. Vậy 1 3 4 m− > ⇔ >m : Phương trình có 1 nghiệm. 1 3 4 m− = ⇔ =m : Phương trình có 2 nghiệm. 3> − > − ⇔ > >m 1 1 4 m 0: Phương trình có 3 nghiệm. 1 1 0 m− = − ⇔ =m : Phương trình có 2 nghiệm. 1 1 0 m− < − ⇔ <m : Phương trình có 1 nghiệm. Ví dụ 2.Cho hàm số y= − +x4 3x2+1 có đồ thị (C) a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C).
b) Dựa vào đồ thị (C) tìm m để phương trình x4 −3x2+ =m 0 có 4 nghiệm phân biệt.
Giải a)