Đại học khoa học tự nhiên
Bài 1: a) Giải phơng trình : x2−3x+ +2 x+ =3 x2+2x− +3 x−2.
b) Tìm nghiệm nguyên của phơng trình : x + xy + y = 9
Bài 2: Giải hệ phơng trình : 23 32 1 3 x y xy x y x y + + = + = + {M}
Bài 3: Cho mời số nguyên dơng 1, 2, …, 10. Sắp xếp 10 số đĩ một cách tùy ý vào một hàng. Cộng mỗi số với số thứ tự của nĩ trong hàng ta đợc 10 tổng. Chứng minh rằng trong 10 tổng đĩ tồn tại ít nhất hai tổng cĩ chữ số tận cùng giống nhau.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P 4a 3b or 5b 16c b c a a c b a b c
= + +
+ − + − + − Trong đĩ a, b,
c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
Bài 5: Đờng trịn (C) tâm I nội tiếp ∆ ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tơng ứng tại A’, B’, C’ .
a) Gọi các giao điểm của đờng trịn (C) với các đoạn IA, IB, IC lần lợt tại M, N, P. Chứng minh rằng các đờng thẳng A’M, B’N, C’P đồng quy.
b) Kéo dài đoạn AI cắt đờng trịn ngoại tiếp ∆ ABC tại D (khác A). Chứng minh rằng
.
IB IC r r
ID = trong đĩ r là bán kính đờng trịn (C) .
Đề thi vào 10 hệ THPT chuyên năm 2002 Đại học khoa học tự nhiên Đại học khoa học tự nhiên
Bài 1: a) Giải phơng trình : 8+ x + 5− x =5 b) Giải hệ phơng trình :{ 1 1 8 1 1 17 ( )( ) ( ) ( ) x y x x+ + =y y xy + + + + =
Bài 2: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng phơng trình x2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 vơ nghiệm.
Bài 3: Tìm tất cả các số nguyên n sao cho n2 + 2002 là một số chính phơng.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểt thức: S 1 1 1 1 1 1
xy yz zx
= + +
+ + + Trong đĩ x, y, z là các
số dơng thay đổi thỏa mãn điều kiện x2 + y2 + z2≤ 3.
Bài 5: Cho hình vuơng ABCD. M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M khơng trùng với B)
và N là điểm thay đổi trên cạnh CD (N khơng trùng D) sao cho = + .
a) BD cắt AN, AM tơng ứng tại p và Q. Chứng minh rằng 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đờng trịn.
b) Chứng minh rằng đờng thẳng MN luơn luơn tiếp xúc với một đờng trịn cố định khi M và N thay đổi.
c) Ký hiệu diện tích của ∆ APQ là S và diện tích tứ giác PQMN là S’. Chứng minh rằng tỷ số
'
S
S khơng đổi khi M, N thay đổi.