đây là những bài toán tơng đối phức tạp của học sinh các lớp 6,7 nhng lại là những bài toán hết sức lí thú , nó tạo cho học sinh lòng say mê khám phá từ đó các em ngày càng yeu môn toán hơn . có những bài có số mủ rất lớn tởng nh là mình không thể giãi đợc . Nhng nhờ phát hiện và nắm bắt đợc qui luật , vận dungj qui luật đó các em tự giãi đợc và tự nhiên thấy mình làm đợc một việc vô cùng lớn lao . từ đó gieo vào trí tuệ các em khả năng khám phá , khả năng tự nghiên cứu
Tuy là khó nhng chúng ta hớng dẩn các em một cách từ từ có hệ thống ,lô rích và chặt chẻ thì các em vẩn tiếp fhu tốt . đây là một kinh nghiệm nhỏ mà tôi muốn trình bày và trao đổi cùng các bạn
1. Lí thuyết về tìm chử số tận cùng : phần này rất quan trọng , cần lí giải cho học sinh một cách kỉ lởng ,đầy đủ
( )X0 n =A0 một số có tận cùng là 0 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 0 ( )X1 n = B1 một số có tận cùng là 1 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 1 ( )X5 n = C5 một số có tận cùng là 5 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 5 ( )X6 n = D6 một số có tận cùng là 6 khi luỷ thừa bậc n có tận cùng vẩn là 6
X5*a = F0 với a chẳn : một số có tận cùng là 5 khi nhân với mmột số chắn sẻ có chử số tận cùng là 0
x5 *a = N5 với a lẻ : một số có tận cùng là 5 khi nhân với một số lẻ sẻ có tận cùng là 5 Qua các công thức trên ta có quy tắc sau : Một số tn nhiên có chử số tận cùng là : (0,1,5,6) khi nâng lên luỷ thừa với số mủ tự nhiên thì có chử số tự nhiên không thay đổi Kết luận trên là chìa khoá để giả các bài toán về tìm chử số tận cùng của một luỷ thừa
2. Các bài toán cơ bản .
Bài toán 1 : Tìm chử số tận cùng của các luỷ thừa sau
a) 2100 ; b) 3100 ; c) 4100 d) 5100 ; e) 6100 ; f) 7100 g) 8100 ; 9100
Ta nhận thấy các luỷ thừa 5100 , 6100 thuộc về dạng cơ bản đả trình bày ở trên nay còn lại các luỷ thừa mà cơ số là 2, 3 , 4 , 7 , 8 , 9
Muốn giãi các bài toán này thì ta phai đa chúng về một trong 4 dạng cơ bản trên . thực chất chỉ có đa về hai dạng cơ bản đó là : ( )X1 n = M1 , ( )X6 n = N6
giải bài toán 1
a) 2100 = 24*25 = (( )2 4)25 = (16)25 = A6 b) 3100 = 34*25 = (( )3 4)25 = (81)25 = B1 c) 4100 = 44*50 =(( )4 2)50 = (16)50 = C6 d) 7100 = 74*25 =(( )7 4)25 = 240125 =D1 e) 8100 = 84*25 = (( )8 4)25 = 409625 = E6 f) 9100 = 92*50 = (( )9 2)50 = 8150 = F1
Bài toán 2 : tìm chử số tận cùng của các số sau : a) 2101 ; b) 3101 ; c) 41o1 , d) 7101 ; e) 8101 ; f) 9101
Giải bài toán 2 _ nhận xét đầu tiên .
số mủ ( 101 không chia hết cho 2 và 4 ) _ Ta viết 101 = 4.25 +1 101 = 2 .50 +1 _ áp dụng công thức am+n = am.an ta có : a) 2101 = 24.25+1 = 2100 . 2 = Y6 .2 = M2 b) 3101 = 3100+1 = 3100 . 3 = B1 .3 = Y3 c) 41o1 = 4100 +1 = 4100 . 4 = C6 . 4 = k4 d) 7101 = 7100+1 = 7100 . 7 = D1 .7 = F7 e) 8101 = 8100+1 = 8100 . 8 = E6 .8 = N8 f) 9101 = 9100 +1 = 9100 . 9 = F1. 9 = M9
3. Một số bài toán phức tạp hơn
a) 12921997 ; b) 33331997 ; c) 12341997 ; d) 12371997 ; e) 12381997 ; f) 25691997
Bài giải
Nhận xét quan trọng : Thực chất chử số tận cùng của luỷ thừa bậc n của mộtsố tự nhiên chỉ phụ thuộc vào chử số tận cùng của số tự nhiên đó mà thôi (cơ số) . Nh vậy bài toá 3 thực chất là bài toán 2
a) 12921997 = 12924. 499 +1= (12924)499 .1292 = A6.1292=M2 b) 33331997 = 33334. 499 +1 =(33334)499 +1 . 3333 = (B1)499 .3333 =D3 c) 12341997 = 12344 .499 +1 = (12344)499 . 1234 = (C6)499 . 1234 =G4 d) 12371997 = 12374 .499 +1 = (12374) 499. 1237 = (D1).499 .1237 =X7
4. vận dụng vào các bài toán chứng minh chia hết áp dụng dấu hiệu chia hết hết
Ta dể dàng nhận thấy : Nếu hai số có chử số tận cùng giống nhau thì khi thực hiện phép trừ sẻ có chử số tận cùng là 0 ta sẻ có các bài toán chứng minh chia hết cho { 2,5,10 } .
Nếu một số có tận cùng là 1 và một số có tận cùng là 3 chẳng hạn ta sẻ có bài toán chứng minh tổng hai số đó chia hết cho 2 (vì chử số tận cùng của tổng là 4)
Các bài toán cụ thể : Hảy chứng minh a) 12921997 + 33331997 5
Theo bài toán trên ta có
12921997 = M2 33331997 = D3 33331997 = D3
nh vậy tổng của hai số này sẻ có tận cùng là 5 ⇒ 12921997 + 33331997 5 b) Chứng minh 16281997 + 12921997 10
Ap dụng qui tắc tìm chử số tận cùng ta có 16281997 sẻ có tận cùng là M8
12921997 Sẻ Có tận cùng là N2
Nh vậy 16281997 + 12921997 10 (vì chử số tận cùng của tổng này sẻ là 0) Ta củng có thể vận dung hiệu của hai số hoặc tích của hai số để ra các bài toán chứng minh tơng tự