Thí dụ 2 (Đề thủ tuyển sinh Đại học khối B — 2008)
2(x? +6xy) 2 “=————~zÉŠ3. x“+2xy+3y Cho xỶ+ yŸ= 1. Chứng mỉnh rằng: —6 < Giải
Do xỶ+ yÏ= 1, nên đặt x = sint, y = cost. Khi đó:
2(x? +6xy) 2(sin? t + 6sin teos t} l1—eos2t+6sin 2t
P= = =
‹ l*+2xy+ 2y? _ l+2sintcost+2cos2t sin2t+cos2t+2 `
Đến đây sử dụng phương pháp miền giá trị hàm số (giống như thí dụ 2, mục a) sẽ suy ra: 6 <P <3.
Thư dụ 3 Ộ Tc
Giả sử x và y không đông nhất băng 0. Chứng minh -2/2- 2<x =9 c2 /z— 2. -2/2- 2<x =9 c2 /z— 2. x? +4y Giải Nêu y=0 (khi đó x # 0). Ta có:
2 —(x—4 2 - :
X =ÉX—SYÖ_ —0, bắt đẳng thức hiển nhiên đúng. xế +áÁy -
— 4
Nếu y #0 khi -2A/2-— ;.x =ŒX=) cự z_ 2
x“+4y [3] {5-2 -2V/2-2<*22_ A2 2 <2/2-2 () 2 Š lại 2y: Đặt -Ã~ = tan t, khi đó 2y
2 2
{ t—(tant— 2
q) © -2/2-2<18n t=ant~2} c2 V22
tan“t+ l
c© 2A2 —2 <cos? t(4tan t~ 4) < 2/2 —2
© -2/2 —-2<sin2t—-cos?t<242T—2 ©-— 2 <sin(2t~S ]< Về (@)
Vì (2) đúng — đpcm.
BÀI TẬP TỰ GIẢI
Dùng bất đẳng thức Côsi giải các bài toán sau:
Bài I: Cho x, y, z > 0. Chứng minh X 2 Z 3 P= + + <—.
2x+y+z x+2y+z xiy+2z 4
Bài 2:
Cho x, y, z> 0 và xyz = xy + yz + zx . Chứng minh
1 l 1 3
ˆ P= + +— —.
x+2y+3z 2x+3y+z 3x+y+2z l6
Bài 3: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho x, y,Zz> 0 và x'+y?+z”= I. Chứng minh
Xô y Z 343
nen
yv+Zz y+x” yˆ+x 2
Đài 4:
Cho x> 0, y> 0 và x + y = 1. Chứng minh: *>+——>2. Bài 5: Bài 5:
Cho a, b, c> 0 và a! + bÌ+ cÝ = 48. Chứng minh
ab” + bcŸ + ca” < 24.
Bài 6:
Cho x, y, z là ba số dương và x + y + z = 1. Chứng minh
M-x+l-y+XI-z<6.
Bài 7 :
2 2 2
x. Y „ Z Cho x, y, z >0 và xyz = !. Chứng minh : Cho x, y, z >0 và xyz = !. Chứng minh :
I+y l+z l+x 3 >-—. 2 Bài 8:
Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn x + y + z = 0. Chứng minh
Bài 9:
Cho x, y, z là ba số đương và x + y +z > 3 chứng minh “=¬...1..,
Jy 4z vx
Dùng phương pháp chiêu biễn thiên hàm số giải các bài toán-sau:
Bài 10:
Cho 0 < x < y< 1. Chứng minh
_ [n Ÿ _m_* )>*:
y—x I-y l—x
Bài I1]:
Cho x > y> 0. Chứng minh
lnx 1 <— ¬ x-I.Jx_ Bài 13: „ , Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: 2 . " 1
f(x)=sin xcos”x với 0 <x<— =_
Đáp số: —— Bài 14: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Cho l < x <2 và 3 <y <4. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức:
Đáp số: 8 s2 08 Bài 15- Tìm giá trị lớn nhật và nhỏ nhật của hàm số f(x)=v3+x+6-x-—18+3x-x? với ~ 3<x <6 9-32 5 Đáp số: max Ẩ{x) = 3; min f(x) = Bài 16:
Cho f(&) = x”+ 4(1 ~ x'}` với —1 < x < 1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số.
Đápsố: max Í(x) = 4; min Í{x) = s .
Dùng phương pháp bắt đăng thức Bunhiacopski giải các bài toán sau: Bài 17:
Cho ba số không âm x, y, z và thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1. Chứng minh
l
x'+y`+z`>_—.
Bài I8 -
Cho x. y, z thỏa mãn x(x — È) + y(y — l) + Z(z — ]) <S:
Chứng minh: —l < x+ty+z < 4. Bai 19: Bai 19:
Cho ba số dương x, y, z và xyz —=I. Chứng mình x2? y? z? x2? y? z?
+ + >1.
x+y+Yy3z y+z+z 3x z+x+xỶy
Sư dụng lượng giác đề giải các bài tođn sau:
Bài 20 : Ộ
Cho x?+ y?= 1,u?+ v?= 1. Chứng minh
|x(u+v)+y(u—v)|<⁄2.
Bài 21T:
Cho a, b, c c|R. Chứng minh
la —e| < la —b| + lb—«| -
Mi+a2 vMi+c? Mi+a? vi+b2 vi+b2VvI+e2 Sư dụng phương pháp ruiễn giá trị hàm số giải các bài toán sau: Sư dụng phương pháp ruiễn giá trị hàm số giải các bài toán sau: Bài 22: -
Cho x, y œ |R. Chứng minh
Bài 23:
Chứng minh răng với mọi xe|R ta có:
3_2x?+7x+23