I. MẶT CẦ U KHỐI CẦU 1)ĐN
5) Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp thường là giao điểm của hai đườn g:
• Trục (d) của đường trịn ngoại tiếp mặt đáy và đường trung trực của một cạnh bên đồng phẳng với (d)
• Trục của các đường trịn ngoại tiếp mặt đáy và một mặt bên
VD1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ cĩ tất cả các cạnh bằng a . Xác định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hính lăng trụ
Giải .
Gọi G , G’ là trọng tâm các tam giác ABC , A’B’C’
Ta cĩ GG’ // AA’ và GG’ là trục của hai đường trịn (ABC), (A’B’C’) Đường trung trực của AA’ cắt GG’ tại O Ta cĩ OA = OA’ và O∈GG’ ⇒ 0 ' ' 0 ' OA OB OC A OB C = = = =
Bán kính mặt cầu R = OA = AG2 +OG2 = 21 6
a
VD2. Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B , AB = a , BC = 2a ,SA ⊥ (ABC) và SA = a 2 . Tìm tâm và tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
Giải
Ta cĩ SA ⊥ (ABC) ⇒ SA ⊥ AC AB ⊥ BC ⇒ SB ⊥ BC (đl 3 đường vuơng gĩc)
Do đĩ A , B thuộc mặt cầu đường kính SC
⇒ tâm O của mặt cầu là trung điểm của SC Bán kính mặt cầu R = 2 SC = 2 2 2 SA +AC = 6 2 a Diện tích mặt cầu S = 4πR2 = 6π a2
VD3. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a . Cạnh bên SC tạo với mặt đáy gĩc 600 . Tìm tâm và tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chĩp S.ABCD
Giải
Ta cĩ SA ⊥(ABCD) ⇒ AC là hình chiếu của SC trên (ABCD)
⇒ ·(SC ABCD,( ))=SCA· =600 SA ⊥(ABCD) ⇒ SA ⊥ AC
Mặt khác AB ⊥ BC , AD ⊥CD ⇒ SB ⊥ BC , SD ⊥CD
⇒ A , B , D cùng thuộc mặt cầu đường kính SC Tâm mặt cầu là trung điểm của SC
Bán kính R = 2 SC = 0 tan 60 2 AC = 6 2 a Thể tích khối cầu V = 4 3πR3 = πa3 6
VD4. Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a , gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 600 . Tìm tâm và bán kính ngoại tiếp mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
Giải
Gọi H là trọng tâm tam giác ABC thì SH ⊥(ABC) Gọi M là trung điểm của BC
Ta cĩ SM ⊥BC , AM ⊥ BC ⇒ · · 0
(SBC ABC,( ))=SMH =60
Gọi N là trung điểm của SA , đường trung trực của SA cắt SH tại O. Khi đĩ OS = OA
O∈SH ⇒ OA = OB = OC
Do đĩ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp SABC
Xét hai tam giác đồng dạng SON và SAH : SO SN
SA = SH⇒ SO = ⇒ SO = 2 2 SA SH . Lại cĩ SH = HM.tan60 0 = 2 a và SA2 = SH2 + AH2 = 2 7 12 a . Bán kính mặt cầu R = SO = 7 12 a
VD5. Cho hình chĩp đều S.ABCD cĩ cạnh đáy bằng 2a . Gĩc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 600 . Tìm tâm và bán kính ngoại tiếp mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD
TL ơn tập HK1 – Khối 12---TỐN – THPT Lấp Vị 2
Giải
Gọi O là tâm của ABCD thì SO ⊥(ABCD)
⇒ OA là hình chiếu của SA trên (ABCD)
⇒ ·(SA ABCD,( ))=SAO· =600
Gọi M là trung điểm của SA , đường trung trực của SA cắt SO tại I
Khi đĩ IS = IA
I∈SO ⇒ IA = IB = IC = ID
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD Tam giác SAC là tam giác đều nên I cũng là trọng tâm
⇒ R = SI = 2 3SO = 2 3OA.tan60 0 = 2 6 3 a
VD6. Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A và SA ⊥ (ABC) Biết AB = a , SA = a 2 . Tìm tâm và bán kính của mặt cầu
ngoại tiếp hình chĩp
Giải
Gọi H là trung điểm của BC . Dựng Hx ⊥(ABC)
⇒ Hx là trục của đường trịn (ABC) và Hx // SA
Gọi M là trung điểm của SA , đường trung trực của SA cắt Hx tại O . Ta cĩ OS = OA và O∈Hx ⇒ OA = OB = OC
⇒ O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp SABC Vì AHOM là hình chữ nhựt nên bán kính mặt cầu là R = OA = AM2+AH2 = a
VD7. Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a , SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuơnggĩc với mp đáy . Tìm tâm và bán kính ngoại tiếp mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp
S.ABCD .
Giải
Gọi H là trung điểm của AB và O = AC∩BD
Ta cĩ SH ⊥ AB và (SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)
⇒ SH // trục Ox của đường trịn (ABCD)
Gọi G là trọng tâm của ∆SAB . Trục Gy của đường trịn (SAB) cắt
Ox tại I
IS = IA = IB và IA = IB = IC = ID
⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chĩp S.ABCD
Bán kính R = IS = 2 2 SG +GI = 21 6 a II. HÌNH TRỤ . KHỐI TRỤ 1) ĐN
• Cho hình chữ nhựt ABCD quay xung quanh đường thẳng chứa một cạnh , ví dụ cạnh AB , thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình gọi là hình trụ (trịn xoay)
- Hai cạnh AD , BC tạo thành hai hình trịn bằng nhau gọi là hai đáy của hình trụ
- Cạnh CD là đường sinh tạo ra mặt xung quanh
- Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ
• Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong hình trụ đĩ
• Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ nếu đáy của hình trụ ngoại tiếp đáy của hình lăng trụ (hình lăng trụ nội tiếp hình trụ )
2) Diện tích xung quanh của hình trụ bằng chu vi đáy nhân với chiều cao (đường sinh). Nếu hình trụ cĩ bán kính đáy r và chiều cao h thì Sxq =2πrh