II. PHẦN HÌNH HỌC (4 đ):
35 Bài 1 Thực hiện phép tính:
Bài 1. Thực hiện phép tính: a) A = 2 5 5 22− 5 − + 2−610 + 67 12 7+ b) B = a 1 a + a 11 ÷ − − : a 2 a 1a 1+ − + ; với a > 0; a ≠1
Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) 9(2 – 3x)4 – 5(3x – 2)2 – 4 = 0 b) 2x2 – (2 6 + 3)x + 3 6 = 0 c) 2 3 3 x y 3 4 1 x y 2 − = − + = −
Bài 3. Cho parabol (P): y = ax2
a) Tìm a biết (P) đi qua điểm C(–4; –4).
Vẽ (P) với a vừa tìm được và vẽ đường thẳng (d): y = 4x – 3 trên cùng mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
c) Tìm m để đường thẳng (d1) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – m, song song với đường phân giác của xOy và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 4. Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 a) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để hai nghiệm x1, x2 của phương trình đã cho thỏa mãn 10x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 5. Cho đoạn thẳng AB = 2R. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AB, ta vẽ nửa đường tròn (C) tâm O đường kính AB và hai tiếp tuyến Ax, By với (C). Một đường thẳng (d) thay đổi cắt Ax, By lần lượt tại các điểm M, N (M ≠ A, N ≠ B). Gọi I là giao điểm của AN và BM. a) Chứng minh rằng nếu (d) là tiếp tuyến của (C) thì MON· = 90o.
b) Chứng minh rằng nếu ·MON = 90o thì đường thẳng (d) là tiếp tuyến của (C).
c) Cho (d) tiếp xúc với (C) tại H. Tìm vị trí của (d) để tứ giác HIBN nội tiếp được trong đường tròn.
d) Trường hợp (d) tiếp xúc (C). Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác MON. Chứng minh rằng 13 < Rr < 12.
Đề 36
Bài 1. Cho biểu thức: A = 2+1 x + 2−1 x – 4 x2 x
− , với x ≠ 4; x ≥0 và B = ( 2 + 3) 2 – 6 + 111 333 a) Rút gọn A và B b) Tìm x để (2 3+3)A = B
Bài 2. Cho phương trình (ẩn x): x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6 = 0 a) Chưng minh phương trình luôn có nghiệm, với mọi m.
b) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm đều âm.
Bài 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x2 – 6 2x + 18 = 0 b) (2x – 1)4 + 7(2x – 1)2 – 8 = 0 c)5x 2y 84x 3y 7++ == Bài 4. Cho hàm số y = x22 có đồ thị là (P) và hàm số y = x + 4 có đồ thị (d) a) Vẽ (P), (d).
b) Tìm giao điểm của (P), (d): bằng phép tính.
Bài 5. Cho đoạn thẳng AB = 2a có trung điểm là O. Trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB dựng nửa đường tròn (O) đường kính AB và nửa đường tròn (O’) đường kính AO. Trên (O’) lấy điểm M (khác A và O), tia OM cắt (O) tại C, gọi D là giao điểm thứ hai của CA với (O’).
a) Chứng minh tam giác ADM cân.
b) Tiếp tuyến tại C của (O) cắt tia OD tại E, xác định vị trí tương đối của đường thẳng EA đối với (O) và (O’).
c) Đường thẳng AM cắt OD tại H. Đường tròn ngoại tiếp ∆COH cắt (O) tại điểm thứ hai là N. Chứng minh ba điểm A,M,N thẳng hàng.
d) Giả sử ME // AB, hãy tính độ dài đoạn thẳng OM theo a.
Đề 37 Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
A = 2 3+ 5 + 102 2 2 − và B = 1 aa + a 1a ÷÷ − − : a a 1− với a > 0; a ≠1
Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) 5x2 – 2 5x + 1 = 0
b) 4x4 – 5x2 + 1 = 0 c) 4x 9y 922x 6y 31−+ ==
Bài 3. Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m – 1)x – 2m + 5 = 0
a) Định các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2. b) Định m để x1 + x2 + 2x1x2 ≤ 26
c) Định m để biểu thức A = 12 – 10x1x2 – (x12 + x22) đạt giá trị lớn nhất
Bài 4. Cho hàm số y = –x2 có đồ thị là (P) a) Vẽ đồ thị của hàm số trên
b) Cho đường thẳng (d): y = 2x + m. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng đồ thị và phép tính trong trường hợp m = 1
c) Định m để (d) cắt (P) tại hai điểm A, B thỏa mãn : 2 A
x + 2
B
x = 20
Bài 5. Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB, M thuộc cung AB, I thuộc đoạn thẳng OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M, kẻ các tia tiếp tuyến Ax, By với (O). Qua M kẻ đường thằng vuông góc IM cắt Ax tại C. Qua I dựng một đường thẳng vuông góc IC cắt tia By tại D. Gọi E là giao điểm AM và CI, F là giao điểm ID và MB.
a) Chứng minh tứ giác ACMI và MEIF nội tiếp. b) Chứng minh EF // AB.
c) Chứng minh ba điểm A, M, D thẳng hàng.
d) Chứng tỏ rằng hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác CME và MFD tiếp xúc nhau tại M.
Đề 38
Bài 1. Giải các phương trình và hệ phương trình sau: a) x4 – x2 – 12 = 0 b) x2 – 2(3 – 2 2)x + 17 – 12 2 = 0 c) 3 3 x 4 2y y 4 2x + = + =
Bài 2. Cho biểu thức: M = x 2x − x 2x + 4 x 1x 4− ÷÷ −
+ −
: x 41−
a) Tìm điều kiện để biểu thức M có nghĩa b) Rút gọn M
Bài 3. Cho phương trình ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
a) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1, x2.
b) Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức A = x12 + x22 theo m.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A
Bài 4. Cho hàm số y = 12x2 có đồ thị là (P)
a) Viết phương trình đường thẳng (d) tiếp xúc với (P) tại điểm có hoành độ bằng 2
b) Vẽ (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ
Bài 5. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và một điểm C trên nửa đường tròn (với CA < CB). Kẻ CH vuông góc với AB tại H, dựng đường tròn tâm K đường kính CH cắt AC, BC lần lượt tại D và E, đồng thời cắt đường tròn (O) ở điểm thứ hai là F.
a) Chứng minh: CH = DE và CA.CD = CB.CE
b) Chứng minh tứ giác ABED nội tiếp được đường tròn và OC vuông góc với DE.
c) Đường thẳng CF cắt đường thẳng AB tại Q. Chứng minh rằng Q là giao điểm của DE với đường tròn ngoại tiếp tam giác OKF.
d) Cho biết SAHC = 54 cm2, SCBH = 96 cm2. Tính R bán kính đường tròn (O)
Đề 39 Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:
a) A = 5 22− + 5 2−2+ b) B = 5 − 3− 29 12 5− c) C = x 1 x − ÷ : x 1 1x− + x− xx÷÷ + . Tính giá trị C tại x = 3 22+
Bài 2. Cho phương trình (ẩn x): 2x2 – 4x + m – 3 = 0 (1)
a) Định các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 phân biệt
b) Định các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện (x1 + x2)2 – x1.x2 = 3
Bài 3. Giải tóan bằng cách lập phương trình
Một thửa đất hình thang có đáy lớn gấp 3 lần đáy nhỏ. Biết khoảng cách giữa hai đáy là 17 m và diện tích bằng 408 m2. Tìm độ dài đáy lớn và đáy nhỏ của thửa đất?
Bài 4. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x4 – 4x2 – 5 = 0
b) +3x 4y 1x 2y = 3
+ =
Bài 5. Cho nửa đường tròn (O) có đường kính BC = 2R và một điểm A trên nửa đường tròn (A khác B và C). Kẻ AH vuông góc với BC ( H thuộc BC). Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ hai nửa đường tròn đường kính HB và HC, chúng lần lượt cắt AB và AC tại E và F. a) Chứng minh AE.AB = AF.AC
b) Chứng minh EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đường kính HB và HC.
c) Gọi I và K lần lượt là hai điểm đối xứng với H qua AB và AC. Chứng minh ba điểm I, A, K thẳng hàng.
d) Đường thẳng IK cắt tiếp tuyến kẻ từ B của nửa đường tròn (O) tại M. Chứng minh ba đường thẳng MC, AH, EF đồng quy.
Đề 40
Bài 1. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x2 + 2 3x – 6 = 0 b) x4 – 25x2 + 60x – 36 = 0 c) 2 5 1 x 3 y 2 x 4 y 2 x 3 y 2 − = + − + + = + −
Bài 2. Cho hàm số y = –x42 có đồ thị (P) và đường thẳng (D): y = mx – 2m – 1 (m tham số)
a) Vẽ (P)
b) Tìm giá trị của m sao cho (D) và (P) tiếp xúc nhau. Xác định tọa độ tiếp điểm.
Bài 3. Cho phương trình: x2 – mx + m – 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm x1, x2 với mọi
m. Tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình (1) và giá trị của m tương ứng.
b) – Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2 . – Tìm m sao cho A = 8.
– Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị m tương ứng.
Bài 4. Tính 1+1 2 + 2+1 3 + 3 1+ 4 + … + 20081+ 2009
Bài 5. Cho đường tròn tâm O có đường kính AB = 2R, C là điểm bất kỳ trên (O) (C không trùng A, B). Tiếp tuyến tại A của (O) cắt đường thẳng BC tại I. Gọi M là trung điểm BC.
a) Chứng minh tứ giác AOMI nội tiếp được đường tròn.
b) Kẻ dây cung AK vuông góc với OI tại H. Chứng minh tứ giác AIKM nội tiếp được đường tròn.
c) Chứng minh hai đường thẳng CO, KM và đường thẳng qua A song song với BC cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn (O) và HK là tia phân giác góc CHB.
d) Gọi E là giao điểm của tia AK và tia OM. Chứng minh EB là tiếp tuyến của (O).
Đề 41
Bài 1. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x4 + 6x2 – 16 = 0
b) x 1x+ – 1 x2 2− – 6x2+−12= 0 c) − =5(x 2y) 3(x y) 99x y 7(x y) 3y 17+ −− −+ =−
Bài 2. Trong cùng hệ trục tọa độ cho parabol (P): y = –x42 và (D): y = x2 – 2 .
a) Vẽ (P) và (D).
b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D) bằng phép toán.
c) Lập phương trình đường thẳng song song với (D) và tiếp xúc với (P).
Bài 3. Cho hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, chiều
rộng lên 5 m thì diện tích sẽ tăng 500 m2. Nếu giảm chiều dài
15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m2. Tính
kích thước ban đầu của hình chữ nhật.
Bài 4. Tìm m để phương trình(ẩn x): x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 sao cho x1 −x2 ≤ 10.
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) đường kính BC, điểm A ở bên ngoài đường tròn với OA = 2R. Vẽ hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn (O) (D, E là các tiếp điểm).
a) Chứng minh tứ giác ADOE nội tiếp và xác định tâm I của đường tròn này.
b) Chứng minh rằng tam giác ADE đều.
c) Vẽ DH vuông góc với CE (H thuộc CE). Gọi P là trung điểm của DH; CP cắt đường tròn (O) tại Q. AQ cắt đường tròn (O) tại M. Chứng minh AQ.AM = 3R2.
d) Chứng minh đường thẳng AO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ADQ.
Đề 42
Bài 1. Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 (1)
a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm x1, x2, với
mọi m.
b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2 . Tìm m sao cho A = 27 .
c) Tìm m sao cho phương trình (1) có nghiệm x1 = 2x2.
Bài 2. Tính hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông co độ
dài cạnh huyền bằng 37 m và diện tích bằng 210 m2.
Bài 3. Cho hàm số: y = –12x2 . a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên .
b) Trên (P) lấy hai điểm M, N có xM = –2; xN = 1. Viết phương trình đường thẳng MN.
c) Định a, b của đường thẳng (D): y = ax + b biết rằng (D) song song với MN và chỉ cắt (P) tại một điểm.
Bài 4. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) x y 2x y 7 7 17 4x y y 7 15 5 19 − + + = + − + = b) x4 – 5x2 + 6 = 0
Bài 5. Cho đường tròn (O; R), qua điểm K ở bên ngoài đường tròn, kẻ các tiếp tuyến KB, KD (B, D là các tiếp điểm), kẻ cát tuyến KAC (A nằm giữa K và C).
a) Chứng minh rằng: ∆KDA và ∆KCD đồng dạng. b) Chứng minh rằng: AB.CD = AD.BC
c) Gọi I là trung điểm BD. Chứng minh tứ giác AIOC nội tiếp.
d) Kẻ dây CN song song với BD. Chứng minh ba điểm A, I, N thẳng hàng.
Đề 43
Bài 1. Cho biểu thức: P = x 1 x1 + x− x 1x 2+ ÷÷
− + − : x 2 xx 1 x+ − − x 4x 2− ÷÷ + + − a) Rút gọn P. Tìm giá trị x để P = 2 x – 1 b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P?
Bài 2. Cho (P): y = ax2 và A(–2; –1)
a) Tìm a biết (P) qua A. Vẽ (P) với a vừa tìm .
b) Cho B ∈(P) có xB = 4. Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc (P) và song song với AB .
Bài 3. Cho phương trình (ẩn x): x2 – 2(m – 3)x + m2 – 1 = 0 (1) . Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x1 + 2x2 = –4.
Bài 4. Giải phương trình và hệ phương trình sau: a) x2 – (2 – 3)x – 2 3 = 0 b) 4 1 1 x 2y x 2y 20 3 1 x 2y x 2y − = + − + = + −
Bài 5. Cho đường tròn (O; R) và một điểm A ở ngoài đường tròn. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến đường tròn (O) với B, C là hai tiếp điểm. a) Chứng minh tứ giác OBAC nội tiếp.
b) Từ B vẽ đường thẳng song song với AC, cắt đường tròn (O) tại điểm D (khác điểm B). Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác điểm D) và tia BE cắt AC tại F. Chứng minh rằng F là trung điểm AC.
d) Gọi H là giao điểm của BC và OA. Chứng minh rằng HB là phân giác của góc EHD.
Đề 44
Bài 1. Cho (P): y = x2 và đường thẳng (D): y = (m – 32)x + m2 a) Vẽ (P) và (D) với m = 2
b) Chứng minh rằng: (P) và (D) cắt nhau tại 2 điểm phân biệt M, N, với mọi m.
Bài 2. Cho biểu thức: P = x 2 x 1x 2+ − 1 xx 2− ÷÷ − − + : x 1 1 x 1 + − − ÷
a) Rút gọn P. Tìm giá trị của biểu thức P biết 2 x 1− = 3
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên.
Bài 3. Tính độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông, biết nếu tăng mỗi cạnh lên 3 cm thì diện tích tam giác đó
tăng thêm 36 cm2, và nếu một cạnh giảm đi 2cm, cạnh kia
giảm đi 4 cm thì diện tích của tam giác giảm đi 26 cm2.
Bài 4. Cho phương trình: x2 – (m + 4)x – 2m2 + 5m + 3 = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa: x1 < 3 < x2.
Bài 5. Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng a. Một góc xAy bằng 45o quay quanh A cắt BC tại N và cắt CD tại M. Gọi P, Q lần lượt là giao điểm của BD với AM, AN.
a) Chứng minh rằng các điểm P, Q, M, N, C cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh rằng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
c) Chứng minh: MNPQ = 12 .
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác AMN theo a.
Đề 45
a) x + 16x + 64 = 0 b) 2x y 2 x 1 y 1 x 3y 1 x 1 y 1 + = + + + = − + + Bài 2. a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số: y = – x2.
b) Đường thẳng (D): y = 3x– 4 cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt A và B. Tính tọa độ điểm A và điểm B.
Bài 3. Tìm giá trị của m sao cho phương trình (ẩn x): mx2 – 3x + (1 – 2m) = 0 có tổng bình phương các nghiệm là 11 .
Bài 4.
a) Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích 240 m2. Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích không đổi. Tính kích thước của mảnh đất.
b) So sánh A và B biết: A = 3 5 (3 5)
10 2
− +
+ và B = 4− 7
Bài 5. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O; R). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ đường kính BI của đường tròn (O), BE kéo dài cắt đường tròn (O) tại K.
a) Chừng minh AC và IK song song. Suy ra AK = IC b) Chứng minh tam giác AEF và ABC đồng dạng.
c) Chứng minh tích AC. BK bằng hai lần diện tích tứ giác ABCI. d) Cho biết góc ABC bằng 600, tính bán kính đường tròn ngọai tiếp ∆
DHF theo R.
Bài 1. Vẽ parabol (P): y = –x22 và đường thẳng (D): y = x – 4 trên cùng hệ trục tọa độ. Tìm tọa độ các giao điểm của (P) và (D) bằng phép tính.
Bài 2. Giải phương trình và hệ phương trình sau: