Ta cũng có thể dùng một số phép biến đổi trên ma trận để tìm hạng của ma trận.
Định nghĩạ Các phép biến đổi sau đây được gọi là các phép biến đổi sơ cấp trên các ma trận:
1) Đổi chỗ hai dòng (hai cột) cho nhau;
2) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) với cùng một số khác 0.
3) Nhân mỗi thành phần trong một dòng (cột) với cùng một số rồi cộng vào thành phần cùng cột (dòng) trong một dòng (cột) khác.
Định lí. Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên một ma trận thì hạng của ma trận thu được bằng hạng của ma trận đã chọ
Lạm dụng ngôn ngữ có thể nói: Các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của một ma trận.
Chứng minh. Xin dành cho bạn đọc như một bài tập.
Ví dụ. Tìm hạng của ma trận
Giải
•Đổi chỗ dòng thứ nhất và dòng thứ tư cho nhau:
• Cộng dòng thứ nhất vào dòng thứ hai; nhân dòng thứ nhất với - 4, rồi cộng vào dòng thứ ba; nhân dòng thứ nhất với - 3, rồi cộng vào dòng thứ tư. ta được:
•Đổi chỗ dòng thứ hai và dòng thứ tư cho nhau:
• Cộng dòng thứ ba vào dòng thứ tư ta được ma trận:
Ma trận cuối cùng có định thức cấp ba:
Đó là định thức con cấp cao nhất khác 0 của B. Vậy hạng(B) = 3. Vì các phép biến đổi sơ cấp không làm thay đổi hạng của ma trận nên hạng(A) = hạng(B) = 3.
Nếu dùng phép biến đổi sơ cấp để tìm cơ sở của không gian sinh bởi một hệ vectơ thì ta gặp một khó khăn nhỏ trong việc xác định những vectơ nào của hệ lập nên cơ sở, vì quá trình biến đổi ta đã đổi chỗ các dòng, các cột. Bạn đọc hãy thử tìm cách khắc phục khó khăn ấỵ