Phương phỏp phần tử hữu hạn tự thớch ứng mụ hỡnh p là do chuyển vị cõn đối ban đầu thụng thường kết hợp số lượng độ tự do phụ tăng lờn từng bước mà cấu
thành, cỏc độ tự do phụ này lấy từng cấp luỹ thừa tăng dần nhiều hạng thức hàm số mà khụng vi phạm điều kiện liờn tục chuyển vị để tạo thành hàm số cơ bản. Căn cứ định lý Weierstrass, bất luận một hàm số liờn tục trong khụng gian hữu hạn đều cú thể dựng nhiều hạng thức đại số cao cấp đủ tiếp cận đến mức độ chớnh xỏc bất kỳ. Vỡ vậy chỉ cần trong mỗi một phần tử đều khụng tồn tại tớnh khụng liờn tục bất luận nguyờn nhõn nào dẫn đến, tớnh hội tụ của phương phỏp PTHH mụ hỡnh p lỳc nào cũng cú thể bảo đảm. Petruska chỉ ra đối với vấn đề tớnh liờn tục CRoR tức là chỉ yờu cầu vấn đề chuyển vị liờn tục bản thõn, khụng quản hàm số gần giống liờn tục khả vi hay khụng, chỉ cần tớnh hội tụ h tồn tại thỡ tớnh hội tụ p cũng nhất định tồn tại. Sắp đặt độ tự do trong phương phỏp PTHH tự thớch ứng mụ hỡnh p ở trờn, làm cho độ tự do của phần tử cú thứ bậc bậc thấp là một tập con của độ tự do phần tử cú thứ bậc bậc cao. Cho nờn ma trận độ cứng của nú cựng với vộc tơ tải trọng là ma trận con của ma trận tương ứng phần tử cú thứ bậc bậc cao của cựng một vấn đề. Như vậy trong quỏ trỡnh tăng bậc, chỉ cần trờn nền tảng phương trỡnh ma trận đó cú mở rộng thờm hàng và cột mới, tức là cú thể được phương trỡnh ma trận mới. Ngoài ra vẫn cú thể lợi dụng đầy đủ kết quả tớnh toỏn nguyờn cú làm điểm xuất phỏt, quỏ trỡnh thay thế dẫn đến giải phương trỡnh ma trận mới.
Giữa thập niờn 70 của thế kỷ 20, Đại học Washington đó biờn chế một chương trỡnh phương phỏp PTHH mụ hỡnh p tớnh thớ nghiệm COMET-X, đặc điểm nổi bật của chương trỡnh này là đó lợi dụng phần tử cú thứ bậc (Hierarchical Elements). Khỏi niệm phần tử cú thứ bậc do Zienkiewicz đề xuất năm 1970 (Zienkiewicz, Irons, Scott, Cambell, 1970), sau đú lại tiến một bước trỡnh bày chi tiết (Zienkiewicz, De, Gago, Kelly, 1983). Theo sau, trỡnh bày và phõn tớch sơ bộ hội tụ p với tớnh chất tương quan của nú xem trong tài liệu tham khảo. Năm 1981, Babuska đầu tiờn đó làm cú hệ thống phõn tớch lý luận PTHH mụ hỡnh p (Babuska, Szabo và Katzs, 1981), chỉ ra kết quả thu được phương phỏp PTHH mụ hỡnh p khụng kộm hơn so với kết quả thu được phương phỏp PTHH mụ hỡnh h khi số độ tự do tương đồng, cũn đối với vấn đề điểm kỳ dị, tốc độ hội tụ của phương phỏp PTHH mụ hỡnh p nhanh hơn ớt nhất hai lần phương phỏp PTHH mụ hỡnh h với phần tử đều chuẩn.
Năm 1985, chương trỡnh thương mại PTHH mụ hỡnh p lần đầu đầu tiờn ra đời PROBE ở cụng ty Noetic; năm thứ hai lại đưa ra bản thứ hai. Nhưng chương trỡnh PROBE hiện thời chỉ cú khả năng tớnh toỏn vấn đề đàn hồi tuyến tớnh hai chiều. Chương trỡnh PTHH ba chiều FIESTA của Italia cũng cú vài đặc điểm nào đú của phương phỏp PTHH mụ hỡnh p. Chương trỡnh ở trờn đều khụng cú đặc điểm của tự thớch ứng. Năm 1993, Zhu De-zhao lấy hỡnh thức đúng kớn đó kết xuất hàm số cơ bản phần tử cú thứ bậc một chiều và hiển thị cỏch thức biểu thị thức tớch phõn, đó giải quyết vấn đề tớch luỹ trị số sai số trong phõn tớch một chiều, đồng thời lấy phương phỏp PTHH mụ hỡnh p ứng dụng phõn tớch chấn động. Năm 1994, Hinnant đó đề xuất phương phỏp vộc tơ tớch phõn đối với phương phỏp PTHH mụ hỡnh p, đó giảm nhỏ rất nhiều thời gian tớnh toỏn trị số tớch phõn trong phương phỏp PTHH mụ hỡnh p. 10 năm gần đõy, rất nhiều học giả đó nghiờn cứu khỏ sõu phương phỏp giải hệ phương trỡnh tuyến tớnh trong phương phỏp PTHH mụ hỡnh p, đó đề xuất nhiều loại phương phỏp giải (Morris, Tsuji và Carnevali, 1992; Manolis Papadrakakis và Babilis, 1994; Chen Xin-du, Yu jun, Zhou ji, 1997). Hiện nay nghiờn cứu đối với phương phỏp PTHH mụ hỡnh p (lại gọi là phương phỏp PTHH cú thứ bậc) chủ yếu là đối với vấn đề hai chiều, mà thiờn về phõn tớch lý luận, đối với lý luận thực hiện như thế nào quỏ trỡnh cụ thể tớnh toỏn cụng trỡnh thỡ khỏ ớt. Phương phỏp mụ hỡnh p rất thớch hợp xử lý như là vấn đề tập trung ứng suất đoạn cuối vết nứt, nhưng kết cấu phần mềm phõn tớch phần tử hữu hạn phức tạp.
2.3.3 Phương phỏp r – thay đổi vị trớ điểm nỳt mạng lưới phần tử (phương phỏp điểm nỳt di động):
Phương phỏp này khụng thay đổi số lượng phần tử cũng như loại hỡnh phần tử, cho nờn số độ tự do phần tử khụng thay đổi, thụng qua cải biến hỡnh dỏng phần tử giảm nhỏ sai số phõn tỏn. Phương phỏp này do Miller đề xuất.