Lý thuyết vận chuyển tuyến tính

Bằng các công nghệ khác nhau (như epitaxy chùm phân tử - MBE, epitaxy lỏng – LPE v.v..) người ta có thể tạo ra các lớp tiếp xúc dị chất

của hai chất bán dẫn với độ rộng vùng cấm khác nhau. Nếu ghép một lớp chất bán dẫn này giữa hai lớp của chất bán dẫn thứ hai thì sự khác biệt giữa vị trí các đáy vùng dẫn trong thang phổ năng lượng của hai chất bán dẫn tạo nên giếng thế năng hoặc rào thế đối với điện tử dẫn. Trong luận án này, chúng tôi quan tâm tới các giếng lượng tử được tạo ra bởi các cặp chất bán dẫn. Bức tranh vật lý tương tự cũng có thể xảy ra đối với các lỗ trống tại các đỉnh vùng hóa trị của hai chất bán dẫn khác nhau cùng tham gia vào thành phần của cấu trúc các tiếp xúc bán dẫn dị chất. Các hạt tải điện nằm trong giếng thế lượng tử của lớp chất bán dẫn này ở trạng thái bình thường không thể đi xuyên qua được lớp rào thế được tạo bởi chất bán dẫn còn lại để lan truyền tiếp. Vì vậy, trong các cấu trúc này các hạt tải điện bị định xứ mạnh, chúng cách ly lẫn nhau trong các giếng lượng tử hai chiều.

Khi kích thước của các cấu trúc bán dẫn trên giảm xuống, tại lân cận các mép vùng tương ứng (ví dụ đáy vùng dẫn) có thể xảy ra hiện tượng giới hạn không gian đối với các hạt tải điện được xét. Năng lượng của hạt tải điện theo phương z sẽ bị lượng tử hóa và được đặc trưng bởi một số lượng tử n nào đó. Trong khi đó chuyển động của hạt tải trong mặt phẳng (x, y) là tự do và phổ năng lượng của hạt tải trong mặt phẳng này có dạng parabol thông thường.

Để nghiên cứu hiện tượng vận chuyển của hạt tải trong giếng lượng tử người ta tiến hành giải phương trình Schr¨odinger để tìm hàm sóng và năng lượng. Phương trình Schr¨odinger có dạng:

− ~² 2m^∗ ∂² ∂x2 + ^∂ 2 ∂y2 + ^~ 2 2mz ∂² ∂z2 +V(z) ψ(r, z) =Eψ(r, z). (1.26) với m_z là khối lượng hiệu dụng của hạt tải theo phương z và m^∗ là khối lượng hiệu dụng của hạt tải trong mặt phẳng(x, y). Để giải được phương

trình (1.26), ta cần tìm ra V(z) bằng cách lấy tổng các nguồn thế đóng góp trên trục z:

V(z) = V_b(z) +V_H(z) +V_xc(z), (1.27)

trong đó, thế giam cầm Vb(z) xuất hiện do chênh lệch về đỉnh vùng hóa trị giữa giếng và rào, thường ký hiệu là V0, VH(z) là thế Hartree được tạo bởi khối tạp bị ion hóa và hạt tải tích điện, V_xc(z) là thế giam cầm do tương tác trao đổi. Thực hiện tách biến ta được:

   ψ(r, z) =ψ(r)ζ(z) E3D = E2D + E1D, (1.28)

trong đó, E_2D là năng lượng chuyển động của hạt tải điện trong mặt phẳng (x, y), E_1D là năng lượng của hạt tải điện theo phương z. Bậc tự do của hạt tải theo phương z bị đóng băng vì điện trường theo phương

z không tác dụng lên chuyển động của hạt tải điện, nhưng hạt tải vẫn có kích thước quảng tính theo phương đó, được coi là bó sóng. Trong mặt phẳng (x, y) hạt tải là tự do hoàn toàn. Với cách tiếp cận trên, việc giải bài toán ba chiều được quy về việc giải các bài toán hai chiều trong mặt phẳng (x, y) và bài toán một chiều theo phương z. Cụ thể ta thu được hàm sóng bao (envelop function) và năng lượng cho hạt tải điện như sau:          ψ_n(r, z) = ^e ikr √ A^ζn(z) E_n(k) = ^~ 2k² 2m^{∗ +En,} (1.29)        ψ(r) = √¹ A^e ikr E_2D = ^~ 2 2m^∗k 2, (1.30)

với A là diện tích của tiết diện ngang mà hệ chiếm, đồng thời đóng vai trò thừa số chuẩn hóa.

Tuy nhiên, hai bài toán này không hoàn toàn độc lập mà có mối quan hệ mật thiết với nhau. Mặc dù hạt tải bị định xứ theo phương z

nhưng lại là bó sóng có kích thước theo phương này, nên chính hành xử của hạt tải theo phương z ảnh hưởng rất lớn đến chuyển động bị tán xạ của hạt tải trong mặt phẳng (x, y). Như vậy, chúng ta phải đồng thời giải quyết hai bài toán: tìm thế giam cầm theo phương z (bài toán một chiều) và xác định các cơ chế tán xạ trong mặt phẳng (x, y) (bài toán hai chiều).

Xét hệ hạt tải hai chiều dẫn điện dưới tác dụng của điện trường song song với mặt phẳng (x, y). Hạt tải không chỉ chịu ảnh hưởng của thế giam cầm V(z) mà còn chịu ảnh hưởng rất lớn của các nguồn không trật tự. Các nguồn không trật tự tương ứng với các trường thế tán xạ được mô tả bằng trường ngẫu nhiên U = U(~r, t) tác động lên độ linh động của hạt tải. Hàm tán xạ U = U(~r, t) cho ta nhiều giá trị (cấu hình) khác nhau tại cùng một điểm và được xác định bằng trị trung bình theo phân bố xác suất của các giá trị, giá trị trung bình này cũng chính là kết quả đo được bằng thực nghiệm. Nếu tán xạ là đàn hồi thì năng lượng của hạt tải vẫn được bảo toàn sau tán xạ

E_i = E_f, (1.31)

Trạng thái của điện tử trước va chạm |ii =

n, ~k

E

. với năng lượng và hàm sóng có dạng: En,k = ^~ 2k² 2m∗ ^+En ψ_n,k = ^e ikr √ A^ζn(z), (1.32)

trong đó n = 0,1,2, . . . ., k là véctơ sóng hai chiều. Trạng thái của điện tử sau va chạm |fi = n⁰, ~k⁰ E , với: E_n0,k0 = ^~ 2k⁰² 2m∗ ^+En0 ψ_n0,k0 = ^e ik⁰r⁰ √ A^ζn 0(z), (1.33)

Xác suất chuyển dời từ trạng thái |ii sang trạng thái |fi trong một đơn vị thời gian được xác định theo quy tắc vàng Fermi trong cơ học lượng tử: ω_n~k→n0~_k0 = ^2π ~ D n⁰~k0|U|n~k E 2 δ E_n~k −E_n0~_k0 = ^2π ~ |U_nn0(~q)|²δ E_n~k−E_n0~_k0 , (1.34) thành phầnδ E_n~k −E_n0~_k0

xuất hiện để đảm bảo sự bảo toàn năng lượng tán xạ đàn hồi của hạt tải.

Phần tử ma trận chuyển dời: D n⁰~k0|U|n~k E = ^R d~rdz ψ^∗ n0~_k0(~r, z)U(~r, z)ψ_n~k(~r, z) = ¹ A R dzζ_n^∗0(z)^nR d~r e^{−i(~k0−~k)~r}U(~r, z)^oζ_n0(z). (1.35)

Xung lượng truyền của hạt tải trong mặt phẳng (x, y):

~

q = ~k0−~k, (1.36)

Biến đổi Fourier hai chiều cho thế tán xạ

U(~q, z) = Z d ~r e^−~q~rU(~r, z). (1.37) Do đó, phần tử ma trận chuyển dời có dạng: D n⁰~k0|U|n~k E = ^R d~rdz ψ^∗ n0~_k0(~r, z)U(~r, z)ψ_n~k(~r, z) = ¹ A R dz ζ_n^∗(z)U(~q, z)ζ_n(z) ˆ= U_nn0(~q), (1.38)

Quá trình tán xạ phụ thuộc vào hàm sóng bao ζ(z). Xét tán xạ trong nội vùng con và coi quá trình tán xạ là đàn hồi, ta có:

E_n~k = E_n0~_k0

E_n = E_n0, ^(1.39)

Do năng lượng của hạt tải trong mặt phẳng hai chiều là bảo toàn, do đó

|k| = |k⁰|, θ là góc tán xạ

U_nn(~q) =

Z

dz |ζ_n(z)|²U(~q, z). (1.40)

Trong trường hợp bề rộng giếng lượng tử đủ nhỏ để khoảng cách giữa các mức năng lượng đủ lớn và nồng độ hạt tải thấp, nhiệt độ thấp để không có sự nhảy mức năng lượng của hạt tải thì ta có thể coi hạt tải nằm trong mức năng lượng thấp nhất, tức là trạng thái cơ bản.

U00(q) = D 0~k0|U|0~k^E = +∞ Z −∞ dz|ζn(z)|²U(~q, z) = U(~q). (1.41)

a. Tán xạ của hạt tải trong giếng lượng tử.

Đối với khí điện tử hai chiều ở nhiệt độ thấp, các hạt có năng lượng xấp xỉ bằng năng lượng Fermi mới tham gia trực tiếp quá trình dẫn điện vì chúng có khả năng lớn nhất để nhận năng lượng từ trường ngoài và chuyển lên mức cao hơn. Tuy nhiên hạt tải chuyển động được xem không chỉ đơn thuần như là một chất điểm mà phải là một bó sóng có kích thước hữu hạn. Vì vậy hạt tải chịu ảnh hưởng bởi các nguồn tán xạ khác nhau, tương ứng với các trường thế tán xạ tác động lên độ linh động của hạt tải. Việc chỉ ra đầy đủ các cơ chế tán xạ sẽ xác định chính xác độ linh động, tức là độ dẫn điện của các vật liệu. Trong luận án này chúng tôi xét đến các cơ chế tán xạ sau đây:

Tán xạ trên các tạp ion hoá (Ionized impurity) có: tạp nền (background impurity) và tạp được pha vào có chủ ý (doping impurity) Ta đã biết trong quá trình nuôi tinh thể, môi trường bị nhiễm bẩn làm xuất hiện các tâm tạp phân bố ngẫu nhiên trong mẫu đóng vai trò là nguồn tán xạ lên khí điện tử hai chiều. Va chạm của hạt tải và tâm tán xạ có thể là va chạm đàn hồi hoặc không đàn hồi. Va chạm là đàn hồi khi động năng của các hạt tham gia được bảo toàn. Nếu động năng của các hạt sau khi va chạm lớn hơn hoặc nhỏ hơn trước khi va chạm thì va chạm là không đàn hồi. Các tâm tán xạ (tạp ion hóa) thường không định xứ trong mặt phẳng màng mỏng mà ở một khoảng cách nào đó đến màng mỏng. Trong các cấu trúc MOS tạp chất có thể là những ion được gọi là điện tích nội tại, luôn luôn tồn tại trong lớp ôxit và với nồng độ coi như ít thay đổi trong một vùng nghèo có kích thước lớn hơn rất nhiều so với chiều dày lớp đảo (lớp tích tụ điện tích), còn trong các cấu trúc pha tạp có chủ ý các ion tạp chất bị loại bỏ một cách có chủ định khỏi mặt phẳng của khí điện tử. Đây chính là phương pháp làm giảm ảnh hưởng của tán xạ gây bởi các ion tạp chất.

Tán xạ do độ nhám bề mặt (surface roughness): Độ nhám bề mặt phụ thuộc vào công nghệ chế tạo mẫu. Theo phương pháp epitaxy chùm phân tử (MBE) thì độ nhám chỉ chiếm tỷ lệ đến vài phần trăm bề rộng của giếng, nhưng có thể chiếm tới 30 phần trăm trong phương pháp lắng đọng hóa học từ pha hơi (CVD). Vì vậy, bề mặt tiếp xúc giữa các vật liệu không thể đạt được độ phẳng tuyệt đối, cho dù kỹ thuật tạo mẫu ngày càng hiện đại. Cơ chế tán xạ do độ nhám bề mặt được gây ra bởi bản chất không lý tưởng của bề mặt tiếp xúc. Cho nên chuyển động của điện tử hay lỗ trống không thể tránh khỏi ảnh hưởng của địa hình bề mặt tiếp xúc. Như vậy, với bất kỳ giếng lượng tử nào, độ nhám bề mặt sẽ làm thay đổi vị trí của rào thế một cách ngẫu nhiên và tạo một

trường thế tán xạ đối với chuyển động của khí điện tử hay lỗ trống. Độ nhám bề mặt càng trở nên quan trọng khi bề rộng giếng lượng tử giảm xuống. Thậm chí giá trị độ nhám bề mặt có thể vào cỡ vài chục phần trăm chiều rộng của giếng lượng tử nếu chiều rộng của giếng có giá trị cỡ 6 100^˚A.

Tán xạ bởi sự không trật tự hợp kim bán dẫn (Alloy disor- der): Thế tán xạ gây bởi sự không trật tự hợp kim bán dẫn sinh ra do ta ghép các vật liệu khác nhau với các mức độ pha tạp khác nhau để tạo thành giếng lượng tử. Tán xạ do sự không trật tự hợp kim bán dẫn sẽ mạnh nếu như cả khí hạt tải và khối bán dẫn định xứ trong cùng một không gian.

Tán xạ do thế biến dạng khớp sai (misfit deformation poten- tial) và thế áp điện (piezoelectric potential). Khi ghép hai bán dẫn tinh thể với nhau trong tiếp xúc bán dẫn dị chất, để đảm bảo chất lượng mặt phân cách (giảm độ nhám bề mặt) và chất lượng tinh thể, người ta phải chọn các cặp chất bán dẫn có hằng số mạng tinh thể càng gần nhau càng tốt (sai khác không quá 7%).

Tuy nhiên, sự sai khác không thể tránh khỏi của các hằng số mạng, thậm chí thêm cả yếu tố loại mạng tinh thể của các chất bán dẫn được dùng, dẫn tới việc sẽ có một số liên kết tinh thể nào đó tại mặt phân cách bị phá vỡ hay biến dạng. Hiện tượng này ảnh hưởng lên chuyển động của các hạt tải bị giam cầm theo phương z, nhưng chuyển động trong mặt phẳng (x, y) ở gần với bề mặt phân cách, như là một thế tán xạ mới với tên gọi là thế tán xạ khớp sai. Hơn nữa, khi “lắp ghép” hai bán dẫn khác loại với nhau, có thể xảy ra hiện tượng phân bố không đồng đều các khối điện tích trái dấu, nhất là đối với các tinh thể có tính ion cao. Ứng suất tồn tại ở mặt phân cách có thể gây nên sự tạo thành

các lưỡng cực điện, tạo ra thế tán xạ áp điện đối với các hạt tải điện được xét. Đây là các cơ chế tán xạ mới được nhiều sự quan tâm nghiên cứu trong những năm gần đây.

b. Lý thuyết về độ linh động của hệ hạt tải.

Ta biết rằng, độ dẫn điện, độ linh động được suy ra từ phương trình Boltzmann. Đây là phương trình vi tích phân không tầm thường, sau khi tuyến tính hóa nó sẽ cho chúng ta bức tranh đơn giản về tác động của điện trường lên hạt tải. Đặc biệt là sự xuất hiện của tham số gọi là ’thời gian hồi phục xung lượng’. Xác định được thời gian hồi phục xung lượng này theo quy tắc Matthiessen ta sẽ tính được độ linh động tổng cộng gây ra bởi các cơ chế tán xạ lên quá trình vận chuyển của hạt tải trong giếng lượng tử. Tại nhiệt độ đủ thấp, chúng ta tìm được độ dẫn điện được xác định theo phương trình [18]:

σ = enµ, (1.42)

Từ phương trình (1.42) thấy rằng độ dẫn tỉ lệ với nồng độ electron toàn phần và tất cả các electron đóng góp như nhau để tạo thành dòng điện. Mặt khác ở 0 độ K chỉ có các electron ở bề mặt Fermi mới tham gia vào quá trình dẫn điện. Điều này dẫn tới nồng độ electron cao hơn sẽ làm gia tăng số electron và vận tốc electron ở bề mặt Fermi, vì thế độ dẫn cũng sẽ tỉ lệ với n. Độ linh động xác định:

µ = ^e

m∗τ_t, (1.43)

trong đó e, m^∗ và τ_t là điện tích, khối lượng hiệu dụng và thời gian sống vận chuyển của electron.

c. Tỉ số Dingle.

Tỉ số thời gian sống vận chuyển và lượng tử:

α = ^τt τ_q ^{= 1 +} R P(θ) cosθdθ R P(θ)(1−cosθ)dθ^{; θ = 0}÷π. (1.44) Ta nhận thấy nếu: α = ^τt τ_q ≈ 1, (1.45)

tán xạ xảy ra đẳng hướng, đồng thời cũng cho thấy các thế tương tác tầm gần, ví dụ như: không trật tự hợp bán dẫn và độ nhám bề mặt là cơ bản. Còn khi:

α = ^τt

τ_q 1, θ ∼ 0 (1.46)

tán xạ xảy ra chủ yếu về phía trước, trong đó các thế tương tác tầm xa như: tạp nền và tạp Coulomb xa là những cơ chế tán xạ cơ bản. Dựa vào tỉ số này có thể có đuợc những kết luận cơ bản về các tán xạ. Tuy nhiên, một số thực nghiệm gần đây [34], [42] cho thấy, trường hợp α 1, tán xạ cơ bản không nhất thiết là các cơ chế tán xạ tầm xa vì với α > 20

các tán xạ tầm gần đóng vai trò là những cơ chế tán xạ cơ bản. Ở nhiệt độ thấp có thể tính đến những cơ chế tán xạ cơ bản sau: tán xạ tạp xa, tán xạ trên tạp nền, tán xạ gây bởi không trật tự hợp bán dẫn, tán xạ gây bởi độ nhám bề mặt...trong đó α không thể xác định tán xạ cơ bản.