Giới thiệu về cỏc biến Grassmann và đại số học

Trong phần này, chỳng tụi trước hết xin đưa ra giới thiệu ngắn gọn về khỏi niệm và cỏch sử dụng cỏc biến Grassmann. Để cú đỏnh giỏ đầy đủ hơn về đại số Grassmann, xin mời xem mục [3.2.2].

Một cỏch đơn giản nhất, cỏc biến Grassmann chớnh là những đối tượng toỏn học mà nú tuõn thủ quy tắc phản giao hoỏn sau đõy:

 ij ij ji 0, với mọi i, j (3.8)

Quy tắc phản giao hoỏn của phương trỡnh (3.8) cú trường hợp đặc biệt i = j, và vỡ vậy chỳng ta thấy bỡnh phương của biến tuỳ ý ilà khụng trong đại số này,

0

2 

i

 (3.9)

Lưu ý rằng những thuộc tớnh hạn định của cỏc biến Grassmann đều là những quy ước toỏn học, và chỳng ta khụng phải cố gắng quy vào một cỏch giải thớch ý nghĩa cỏc biến số như vậy. Theo thuộc tớnh đó thấy ở phương trỡnh (3.9), bất cứ hàm f nào của cỏc biến phản giao hoỏn đều là những đa thức xỏc định. Quy ước cụ thể hơn

trong đại số Grassmann chớnh là liờn hợp phức tớch số cỏc biến 

n

 

1, 2,..., được lấy

làm tớch cỏc liờn hợp phức của những biến này.

12n 12n (3.10) Chỳng ta cũng sẽ cần làm rừ liờn hợp phức của liờn hợp phức   

i

 . Về nguyờn

tắc, khi cú những lựa chọn khỏc nhau thỡ tuỳ theo ý thớch cỏi được đưa lờn. Trong tài liều này, chỳng tụi cũng sẽ định rừ:

 i   i (3.11)

Thoạt nhỡn, cỏch xỏc định ở phương trỡnh (3.11) bất bỡnh thường, vỡ nú khỏc về dấu ở về bờn phải so với cỏch xỏc định theo đại số thụng thường. Tuy nhiờn, nú cũng khỏ phự hợp với cỏc biến phản giao hoỏn. Chẳng hạn, đối với chuỗi ii, chỳng ta cú:

 ii  ii ii (3.12)

Chỳng ta thấy từ phương trỡnh này rằng chuỗi ii khụng thay đổi với liờn hợp phức và vỡ thế, cú thể được xem như là “thực”, phự hợp với những mong muốn của chỳng ta.

Cũng rất đơn giản để cú thể định nghĩa những tổ hợp tuyến tớnh của tập hợp cỏc biến phản giao hoỏn ii1,,n nhằm đưa ra được cỏc biến mới i:

   n k k ik i a 1   (3.13)

Trong đú aik biểu thị cỏc lượng vụ hướng đại số thụng thường (phi Grassmann). Bằng cỏch tớnh tớch số của cỏc i, chỳng ta cú thể kiểm tra đồng nhất thức sau đõy: A n n 1 2 det 2 1         (3.14) trong đú, Aik aik.