Quy hoạch bậc hai (Quadratic programming - QP) là một dạng đặc biệt của bài toán tối ƣu toán học. Bài toán quy hoạch bậc hai có thể đƣợc phát biểu nhƣ sau:
Giả sử x thuộc không gian Rn. Ma trận đối xứng Q có kích thƣớc n×n, và c
là một vector kích thƣớc n×1. Cực tiểu hoá (theo x)
x c Qx f x' ' 2 1 (x)
Với một hoặc các điều kiện sau:
b Ax
Ex = d
Với v’ là vector chuyển vị của .
Nếu Q có dạng nửa xác định dƣơng thì f(x) là một hàm lồi. Trong trƣờng hợp này bài toán có một cực tiểu toàn cục nếu tồn tại ít nhất một vector 'x' thoả mãn điều kiện và f(x) đƣợc giới hạn dƣới trong miền khả thi. Nếu ma trận Q là xác định dƣơng thì cực tiểu toàn cục là duy nhất. Nếu Q bằng không thì bài toán trở thành quy hoạch tuyến tính. Theo lý thuyết tối ƣu, một điều kiện cần để một điểm x trở thành cực tiểu toàn cục là nó phải thoả mãn điều kiện Karush-Kuhn- Tucker (KKT). KKT cũng là điều kiện đủ khi f(x) lồi.
Nếu chỉ có một điều kiện đẳng thức thì QP có thể giải bằng hệ thống tuyến tính. Quy hoạch tuyến tính lồi là một trƣờng hợp đặc biệt của một lĩnh vực tổng quát là tối ƣu lồi.
Hình 2.2. Minh hoạ lời giải của một bài toán quy hoạch bậc hai [53].
Dạng đối ngẫu
Dạng đối ngẫu của bài toán quy hoạch bậc hai cũng là quy hoạch bậc hai. Để thấy rõ hơn hãy tập trung vào trƣờng hợp c = 0 và Q là dạng PSD. Chúng ta
viết dƣới dạng Lagrang
L(x,λ) = xT
Qx + λT(Ax − b)
Để tính hàm đối ngẫu g(λ), đặt g() inf L(x,)
x
chúng ta tìm cực tiểu của L, sử dụng xL(x,)0
x * = − (1 / 2)P − 1ATλ, do đó hàm đối ngẫu là:
g(λ) = − (1 / 4)λT
AP − 1ATλ − bTλ
từ đó ta có dạng đối ngẫu của bài toán là Cực đại: − (1 / 4)λTAP − 1ATλ − bTλ Với : 0
Độ phức tạp
Với Q là xác định dƣơng, phƣong pháp ellipsoid giải bài toán trong thời gian đa thức. Ngƣợc lại nếu Q là xác định âm thì bài toán là NP-khó. Thực tế ngay cả nếu Q chỉ có duy nhất một giá trị âm thì bài toán cũng là NP-khó.
CHƢƠNG 3 - MẠNG TRAO ĐỔI CHẤT CỦA E. COLI 3.1. Giới thiệu
Các phân tích của chuỗi gen giúp chúng ta tìm ra tập hợp đầy đủ các phân tử có liên quan đến các hoạt động của tế bào. Tuy nhiên, các chức năng của tế bào rất phức tạp và các chức năng tổng hợp có liên quan đến rất nhiều các thành phần khác trong tế bào. Do đó để có thể hiểu đƣợc sự phức tạp này cần có các các phƣơng pháp phân tích tập trung vào các thuộc tính hệ thống của tế bào. Các nghiên cứu nhƣ vậy giúp chúng ta hiểu rõ mối tƣơng quan giữa các chức năng của gen và vai trò của mỗi gen trong chức năng của cả tế bào.
Với mục tiêu phân tích và thiết kế mạng trao đổi chất, chúng ta cần có các mô hình toán học (ví dụ nhƣ mô hình mô phỏng động lực học) của các quá trình diễn ra trong tế bào dựa trên các nguyên lý cơ bản của hoá học và vật lý học.
Mặc dù mục đích cuối cùng là xây dựng mô hình để giả lập hoạt động của toàn bộ tế bào, nhƣng chúng ta gặp phải rất nhiều trở ngại do sự thiếu hụt các thông tin về động lực học, sự điều hoà của các phản ứng trao đổi chất. Tuy nhiên, chúng ta vẫn có thể đánh giá chính xác khả năng và các trạng thái của hệ trao đổi chất sử dụng phƣơng pháp FBA. FBA chỉ cần có các thông tin về ma trận Stoichiometry và các chất trao đổi; ngoài ra FBA có thể sử dụng các thông tin khác khi chúng sẵn sàng.