C iư ưng 2 Tính toán khoảng lặp và ứng dụng
2.2.2. Phép chứng minh
cp (Ọ
(/V ,) --- --- ( A g --- ---
Ụ/) - n ( y / ^ < p )
(Ọ => \ị/ (Ọ => y/
(Mono Ị) (Mono,)
2.2.2.2. Các tiên đề và các luật của D C
(DC1) /0 = 0
(DC2) ị l = £ (DC3) j s > 0
(DCA) Is, + ịs2 = í(5, V s 2) + ị(Sl A s 2) (DC5) (Í5 = X ^ J5 = y) =ĩ ịs = X + y
(DC6) is, = ịs2 nếu 5, <=> s 2 trong các phép toán mệnh đề.
[ í = 0/A] (p [ A ^ ï s l / A ] (Ọ (Ọ = > [ A ~ Ĩ ^ s V A ] ọ ự R ỉ ) ỰR2) [true/A]ạ> ụ = 0/ A ] ọ ợ? => [ r ^ l ''"A /A ] (p (Ọ => [ T-uSl '" 'A IA](p [true/A] (Ọ V k< m [ ( ĩ s ] v ĩ ^ s \ m ạ > (07) [true/A] ọ 2.2.23. C ác tiên đề củ a DC* (DC{*) í - 0 => (fỳ*
(.DC2*) (fj*) => (fp
(DC3*) ((p*/\(p' true) => {(ý/\í = 0 ^ true) V (((</9*A—lỹ?’ ^ (p) /\ (p ')^ true)
Phép chứng minh của DC* chỉ đầy đủ (complete) đối với các cấu trúc m à thành phần lặp được thực hiện với lớp công thức được gọi là simple (đơn giản).
2.2.3. C ác công th ứ c sim ple £>c*
Định nghĩa 2.3 Các công thức simple DC* được định nghĩa đệ quy như sau (Ọ ả i = 0 I [s] \a < t \ (. < a \ (ọ v ọ ) I {(Ọ /\(p) I { ( p ^ ọ ) I ợ*
Đinh nghĩa 2.4 Cho trước một công thức simple DC* (Ọ, một công thức simple
DC* kỷ hiệu là PREF\(p) được định nghĩa như sau
1 .P R E F ([s}) = IYI*
2. PREF(a < i ) ầ£ > 0
3. PREFự < a) = £ < a
4. PREF((p V ạ?) ~ PREF{(p) V P R E F (ự) 5. PREF((p Aqf) ầ PREF(ạ>) A PREF{(p’)
6. P R E F { (p ^ ự ) = PREF(cp) V (ío^PREF((p’)) 7. PREF((fP) = Ợ* '~'PREF(ọ)
Một cách trực quan, PREF(D) là công thức thoả mãn với mọi tiền khoảng con (prefixes of an interval) của khoảng thời gian m à tại đó D thoả mãn.
Từ định nghĩa trên, ta có mệnh đề:
Lớp các công thức simple DC* đóng vai trò quan trọng trong thiết kế ứng dụng nhúng như một minh hoạ được trình bày ở cuối chương.
Phần tiếp theo nói về các bước thiết k ế với DC*.
2.3. C á c b ư ớ c t h i ế t k ê s ử d ụ n g T í n h t o á n k h o ả n g l ặ p Quá trình thiết kế bao gồm các bước sau đây:
• Định nghĩa về các biến trạng thái. Các biến này bao gồm các biến trạng thái !iên tục (để mô hình hoá cách ứng xử của các thành phần liên tục) và các biến trạng thái rời rạc (để mô hình hoá cách ứng xử của các thành phần rời rạc).
• Đặc tả hình thức yêu cầu của hệ thống bởi một công thức DC Req theo các biến trạng thái liên tục. Hướng thiết k ế cần phải được thiết lập để đáp ứng yêu cầu của hệ thống. Hướng thiết k ế này được thể hiện qua thiết kế chi tiết Des theo các biến trạng thái liên tục và thoả mãn công thức A b Des => Req, trong đó A là giả thiết về ứng xử của môi trường và quan hệ giữa các biến trạng thái liên tục.
• Rời rạc hoá thiết kế liên tục bằng cách xấp xỉ các biến trạng thái liên tục bởi các biến trạng thái rời rạc và hình thức hoá mối quan hệ giữa chúng dựa trên hoạt động của các sensor và các actuator. Yêu cầu điều khiển được biểu diễn thông qua công thức simple DC* Cont theo các biến trạng thái rời rạc và thoả mãn công thức Ac. b Cont => Des, trong dó Ac là giả thiết về cách ứng xử của môi trường, mối quan hệ giữa các biến trạng thái liên tục và mối quan hệ giữa các biến trạng thái liên tục với các biến trạng thái rời rạc. Cont là đặc tả hình thức của controller (bộ điều khiển).
Mô hình hệ thống điều khiển thời gian rời rạc được cho trong Hình 2.1. Trong hình vẽ, plant biểu diễn các thành phần liên tục của hệ thống,
controller là thành phần rời rạc biểu diễn cho chương trình điều khiển,
actuator nhận chỉ thị từ controller và điều khiển plant theo các chỉ thị một cách phù hợp. Các sensor và actuator tương ứng tạo các thành giao diện liên tục-rời rạc và rời rạc-liên tục.
2 . 4 . T i ế p x ú c l i ê n t ụ c - r ò i r ạ c t r o n g m ô h ì n h l a i g h é p
T á c đ ộ n g
Hình 2.1: Mô hình của một hệ thống điều khiển
Hệ thống phân tán có thể chứa nhiều thành phần số (digital component) hoạt động độc lập theo nhịp của các đồng hồ cục bộ. Do vậy, tính rời rạc của bất kỳ trạng thái nào cũng đều liên quan đến một đồng hồ cho trước. Nếu p và
P ’ là hai tiến trình của hệ thống hoạt động không đồng bộ theo hai đổng hổ khác nhau thì một biến rời rạc có quan hệ với p (nghĩa là nó chỉ phụ thuộc vào nhịp đổng hồ của P ) có thể được coi là liên tục đối với p \ Trong Hình 2.2, trạng thái s được coi là rời rạc đối với tiến trình p , và liên tục đối với tiến trình
T i ế n tr ìn h p \ 0 r 2 r , 3 r 4 r . 5 r . 6 r th ờ i g i a n I---Ị---1---Ị--- Ị--- ị --- Ị---6 ---> 1 ! I I I Ị I Ị I ị ị ị ị Ị ị ị ị ị r 0 --- H --- !---!--- H ! ị — I--- ---b s V ị « ị 1 ị 1 ị • 1 ị
Tiến trình p ị---1--- ị---i--- ị--- 1--- j---ị--- i--- — --->
0 8 2 s 3 s 4 e 5 e 6 s 7 s 8 s t h ờ i g i a n
Hình 2.2: Trạng thái í rời rạc đối với p và liên tục đối với p’ Trạng thái r liên tục đối với cả p và P'
Các mối quan hệ giữa các biến trạng thái liên tục và các biến trạng thái rời rạc được thể hiện trong ba định nghĩa sau.
Đinh nghĩa 2.5 (Tính ổn định) Cho trước biến trạng thái s và số nguyên dươníỊ ổ. Khi đó, ta nói rằng s là ỏ - stable khi và chỉ khi công thức sau được thoả mãn với mọi khoảng.
ỏ -stable(s) = □( r —iS~| ^ IVI ^ r—iS~\ => r —iS~\ '~N( [ s l A f > £ ) ) ' ' _Nr’—tS~\)
Tính ổn định (stability) có ý nghĩa là m ột trạng thái không nên thay đổi quá nhanh để có thể quan sát được trong thế giới rời rạc. Công thức ỏ - stưble(s) cho biết “mỗi khi trạng thái 5 có giá trị đúng (true) thì nó phải tồn tại lâu hơn ¿)đ.v.t.g” . Hình 2.3 minh hoạ tính chất này.
<.... 7r> <...~... > " ...■■■■ "
> ổ > ổ t h ời g i a n
Hình 2.3: Trạng thái 5 là ổ - stable
Ví dụ: Tính chất “khoảng cách giữa hai lần xuất hiện kế tiếp nhau của trạng thái í phải lớn hơn ốđ.v.t.g” được hình thức hoá bởi ổ - stableC-is).
Định nghĩa 2.6 (Trạng thái điều khiển) Cho trước hai biến trạnq thái r và s, một sô' thực không âm s. Khi đó, r được gọi là 5 - control s khỉ và chỉ khỉ công thức sau được thoả mãn với mọi khoảng.
r = □( r /"1 A í > ổ=> ự < Ố ) ^ Í V 1)
Khái niệm trạng thái điều khiển (control State) được sử dụng để hình thức hoá cách ứng xử của actuator. Gọi r là biến trạng thái biểu diễn cho câu lệnh của chương trình, í là trạng thái của thiết bị. Mối quan hệ có ý nghĩa là bất cứ khi nào controller đưa ra câu lệnh r, thì thiết bị chuyển vào trạng thái s sau khoảng thời gian nhiều nhất là ổđ.v.t.g (hay thời gian đáp ứng là ổ đ.v.t.g). Khái niệm này được minh hoạ trong Hình 2.4, phần không gian bỏ trống tương ứng với trạng thái 5 biểu diễn cách ứng xử không xác định của nó.
5 0 1
r 0
th ờ i gian Hình 2.4: Trạng thái r ổ - control trạng thái s
V í dụ: N ếu r >d.—\S thì bất kỳ sự xuất hiện nào của r đủ ổn định sẽ làm í “mất đi” sau tối đa ổđ.v.t.g.
Đinh nghĩa 2.7 ('Trạng thái quan sát) Cho trước hai biến trạnq thái r và s, một sô thực không âm s. Khi đó, r được gọi là ổ - observe 5 khi và chỉ khi cônẹ thức sau được thoả mãn với mọi khoảng.
r &ss = (,s> er) A ( - , 5 ^ - i r )
Khái niệm trạng thái quan sát (observation State) được sử dụng để hình thức hoá cách ứng xử của sensor. Gọi r là biến trạng thái biểu diễn biến chương trình rời rạc, và 5 là trạng thái của m ôi trường. Mối quan hệ r ~ s s có ý nghĩa là bất cứ thay đổi nào trong í ổn định trong ít nhất là ổ đ.v.t.g thì đều được quan sát bởi controller sau khoảng thời gian nhiều nhất là ổđ.v.t.g. Công thức trên cho thấy r xấp xỉ í với độ trễ ố n ế u í và - 1s đều ổ - stable. Hiển nhiên
r&gS khi và chỉ khi —¡r&g—iS. Chú ý rằng định nghĩa không nói gì về sự thay đổi không ổn định của s.
Với hai điểm thời gian gián đoạn kề nhau đối với trạng thái 5 (Hình 2.5), ta không thể biết được sự thay đổi của r trong hai khoảng [t, t + õ\ và
\ t \ t' + s\ (các khoảng này được minh hoạ bởi khoảng trắng).
0
0
<... •>
t s <■...
t ’ ổ thờ i g ia n Hình 2.5: Trạng thái r s - observe trạng thái í
Nếu s, —Is đều ổ - stable và r ố - observe s, thì mọi thay đổi trạng thái của s đều được quan sát bởi r sau nhiều nhất là ổ đ.v.t.g. Khi đó, ta nói rằng r
là mẫu của £ với bước lấy mẫu nhỏ hơn hoặc bằng 3. Hình 2.6 minh hoạ tính chất này. 1 r 0 1 5 0 Ỗ <... » Ỏ <■... ■>
bước lấ y m ẫu thời gian
Giả sử rằng các biến trạng thái liên tục đủ Ổn định để controller có thể quan sát được, còn ngược lại thì không có cách nào để quan sát được chúng trong các hệ thời gian rời rạc. Trong Hình 2.7, trạng thái liên tục 5 thay đổi quá nhanh nên có những thay đổi của nó không quan sát được trong thời gian rời rạc.
5e th ờ i g ia n Hình 2.7: Trạng thái 5 thay đổi quá nhanh nên không quan sát được trong thời gian rời rạc
Ta coi biến trạng thái rời rạc là trường hợp đặc biệt của biến trạng thái liên tục khi có các điểm gián đoạn trùng với nhịp của đổng hồ cục bộ, và giả sử rằng khi hệ thống đưa ra một câu lệnh (yêu cầu) thì phải mất một khoảng thời gian nhất định để thiết bị thay đổi trạng thái. Khi đó, ta hình thức hóa tiếp xúc liên tục - rời rạc như sau:
- Với biến trạng thái liên tục s, ký hiệu sc là biến trạng thái rời rạc được sử dụng bởi controller để quan sát í (qua sensor). Mối quan hệ giữa 5 và sc
được hình thức hoá bởi công thức sc~ ồs, với ổ là một số thực không âm.
- Tương tự như vậy, với biến trạng thái t của thiết bị, ký hiệu tc là biến trạng thái rời rạc biểu diễn câu lệnh (qua actuator) yêu cầu thiết bị chuyển vào trạng thái t. Mối quan hệ giữa t và tc được hình thức hoá bởi công thức tc> rt,
Các luật trong phần này được dùng cho kiểm chứng và làm tinh áp dụng trong thiết kế và chứng minh tính đúng đắn của thiết kế. Đối với mỗi luật, cóng thức ở trên đường kẻ là “làm tinh” của công thức ở dưới đường kẻ, đồng thời công thức ở dưới đường kẻ là hệ quả của công thức ở trên đường kẻ. Trong những luật này, các ký hiệu r, s, t, u là các biến trạng thái, các ký hiệu
a, /?, (p, y/, ộ, X là các công thức, còn ỏ và r là các số thực không âm. L u ậ t đem điệu r> t s T< s L u ậ t l a --- L u ậ t l b Nếu r => s thì / ' > 0 5 r > 3s L u ậ t b ác cầu (r>ốs) (s >Tt) ( r ã s s) (s S r í) L u ậ t 2 --- L u ậ t 3 --- r >{S+T)t r ~(S+r)t
Những luật này thể hiện tính chất: tính chính xác bị giảm đi thông qua chuỗi các trạng thái tuần tự. Do đó, chúng được dùng để thiết k ế các hệ thống phân tán có nhiều sensor cũng như cho biết cách thức làm sao để sử dụng các sensor hiệu quả.
L u ật q u a n sát
( r « ốí)
L u ật 4 ---
( ÍV1 A í > Ổ ) ^ ( r- l í l A t > ổ ) => í < Tri ^ r1/*1 ^ true
Luật này cho phép “chụp” (capture) sự thay đổi trạng thái từ 0 thành 1 hoặc từ l thành 0 .
( r ~ ổs) ổ-stable(s) Khoảng trạng thái L u ậ t 5a L u ậ t 5b (ổ + ĩ ) - stable(r) => T- stable(s) (r&ss) S-stable{r) { S + ĩ ) - stable(s) => T- stable(r)
Những luật này định nghĩa điều kiện cần thiết giữa tính ổn định của trạng thái liên tục và tính ổn định của mẫu (sampling) của nó.
Sự x u ấ t hiện t r ạ n g thái (s>s t) L u ậ t 6a L u ậ t 6b □ ( [Y1 ^ < r ) = ^ a ( [ V | = > . ể < ố + r ) (r&gs) □( r /'1 i < T) => □( IY1 => £ < Ổ+T)
Những luật này được dùng cho kiểm chứng và làm tinh. Nó cho biết chương trình điều khiển cần phải có tốc độ xử lý ở mức nào để thoả mãn ràng
buộc thời gian của các trạng thái. K hoảng thời gian củ a tr ạ n g thái
L u ật 7 PREF( r r irl ^ ( [7 ] A t > đ )) * '~ ' r —irl )=> ố - stable(r) L u ậ t 8 PREF{ M a £ <ổ) ^ ĩ-nr] ) * ^ ( M < ổ))
=> n ( rr~\ => £ < ổ)
ự = 0 V Í 7 1 V r —. r l ) ( ự = 0 V r —ir~l \ r } /\ £ > õ f ^ ( f = O v r ~ i r l ) ) *
( ổ = 0 V T / '! V r —1/'”| ) => ổ - s t a b l e ( r )
v à ự = 0 V T - 1 / - 1 ) ~ ( ( 1 7 1 A l < ¿ p f - , r l ) * ~ ự = 0 V ( 1 7 1 a £ < ổ))
=> □( [VI ) => £ < 5)
L u ậ t b ấ t b i ế n c h o v ò n g l ặ p
(p => —I(tru e ^ —ià) í = 0 => a
(p => —1(— / rwe) £ = 0 = ỳ j 3 ặ ọ = > a ệ L u ậ t 9 --- ạr* => n ệ L u ậ t b ấ t b i ế n c h o c h u ỗ i t u ầ n t ự X ^ a ệ ( p ^ > n ệ a ^ J 3 = > ệ
X —> —1(—IP ^ t r u e ) (Ọ => - 1 (true ^ —>a)
L u ậ t 1 0 ( Ọ ^ x ^ > n ệ L u ậ t h ợ p t h à n h s o n g s o n g A => u ỵ B => n ọ L u ậ t 11 A A B => n ( ỵ /\(p ) L u ậ t đ i ề u k h i ể n ( r > g s ) ự > s u) ( r £ e s ) ( t & s u ) L u ậ t 1 2 a L u â t 1 2 b ( r A t ) > ổ(s A w ) ( r A t) S v ( s A u)
P h ầ n c h ứ n g m i n h c ủ a m ộ t s ố l u ậ t n à y đ ư ợ c t r ì n h b à y t r o n g [ 7 ] . L u ậ t 1 2 b đ ư ợ c đ ư a t h ê m v à o h ệ t h ố n g c á c l u ậ t t r o n g [ 7 ] v à [ 1 3 ] đ ể c h ứ n g m i n h t í n h đ ú n g đ ắ n c ủ a t h i ế t k ế . T í n h đ ú n g đ ắ n c ủ a l u ậ t 1 2 b đ ư ợ c t r ì n h b à y t r o n g p h ầ n p h ụ l ụ c A . 2 . 6 . P h â n t í c h v à t h i ế t k ê h ệ t h ố n g đ i ề u k h i ể n t h a n g m á y 2 . 6 . 1 . M ô t ả v ấ n đ ề H ệ t h ố n g đ i ề u k h i ể n t h a n g m á y l à h ệ t h ố n g t h ờ i g i a n t h ự c . H ệ t h ố n g n à y g ổ m c á c t h à n h p h ầ n v ậ t l ý t ư ơ n g t á c t h ư ờ n g x u y ê n v ớ i m ô i t r ư ờ n g c ủ a n ó , h o ạ i đ ộ n g c ủ a h ệ đ ư ợ c đ i ề u k h i ể n t h ô n g q u a c o n t r o l l e r n h ằ m t h ể h i ệ n c á c h