Ta đã biết tín hiệu OFD M là:
(3.3.1)
N ếux k
= ak +jbk thì
theo(2.1.3.4)
ta có:N - ì
xn = X k C0S(2¥ntk) + anún(2ĩrfntk)} k - 0 ,..., N -l
(3.3.2)
G iả sử dữ liệu vào an, bn là độc lập và có cùng phân bố thì N lớn, theo định lý giới hạn trung tâ m [ll] , {xn} sẽ có phân bố xấp xỉ phân bo Gauss với trị trung bình bàng không và phương sai: ơ \ = ơ ị (với hệ số chuẩn hóa yíY rcủa IFFT). Khi các lối vào có tương quan như trường hợp COFDM thì lối ra vẫn gần đúng là quá trình G auss phức nhưng lúc này phương sai ơ; lại phụ thuộc vào tương quan của lối vào. Lối ra của IFFT là phân bo Gauss với phương sai ơ ] . Vì vậy, biên độ un = |jc„ Ị là phân bố R ayleigh[l 1] có hàm mật độ xác suất:
Ảnh hưởng không m ong muốn của ký hiệu OFDM nằm ở đuôi của phân bo Rayleigh, tương ứng với phần đỉnh lớn. Vì vậy ta sẽ xét phần phân bố của những đỉnh này. Ta sẽ tìm xác suất khi biên độ của một mẫu trong ký hiệu OFDM vượt quá một ngưỡng x0 > 0. Xác suất này là:
p ( u ) = 2 u
(3.3.3)
e 2 u(3.3.4)
Nếu các m ẫu của ký hiệu OFDM là độc lập, ta có: Pr(max|xn| > ,ĩ0) = 1 - Pr(max|x„Ị < A '0 )
n e O ,...,N -\ n e O , , . . , J V - l Mà:
Pr(max|.v„| < *„) =
r~[Prí*»l - xo )=
Pr(*0 ^ *o)Pr(*i ^ xo ì....Prtav ^ *o) =/1 = 0 n e O .... Aí-l Thay (3.3.6) vào (3.3.5) (3.3.5) / x ỉ ' ] - e ơ V (3.3.6) í ì Pr(maxỊx„ > x0) = 1 - l - e ơ ' I J (3.3.7) Đặt: p'ARữ = 2 ơ~
Thì xác suất của tỷ sổ đỉnh trên trung bình PA R sẽ là:
M pAR{x) > PAR, ) = 1 - (l - ế PÁK Ỵ (3.3.8) Xác suất này tương ứng với hàm phân bố tích lũy bù của PAR. Đây là một hàm của số sóng mang nhánh N và công suất trung bình của chòm tín hiệu vàoer?. n 1H Ẽ [ Ị n ! Ễ N111 ỉ; f ị H m ! I ịtì í H IhÌÌmì H ễ H1H ì :EE:E:EE:EE;E:EEE:IE:EE:EEEEE:ĩ5E>ỉịE?^;ịir?*^E::EE: r n ầ m m m m m m m ề m !!! E Ị E!! N! h M M h!! í E h! Ị E Ị h E! M! M! E! h ÍThI|!Ìỉ -' 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 PARo (dB)
Tuy nhiên, phân bố trên lại không khớp với các kết quả mô phỏng. Lý do các kết quả trên không thật chính xác vì trong cách phân tích trên ta dùng cực đại mẫu của tín hiệu OFDM. Giá trị cực đại mẫu này lại không tương ứng với cực đại đỉnh của tín hiệu mặc dù nó cũng rất gần các cực đại đỉnh. PAR sau khi chuyển đổi D/A lại tăng do các đỉnh tăng trở lại.
Hình 3.3.2 Đường bao biên độ tín hiệu OFDM có đỉnh vượt ngưỡng tại(o)
Van Nee và de W ild trong bài báo của mình đã đưa ra một công thức xấp xỉ thực nghiệm[15]:
trong đó a là thông số thực nghiệm được xác định bằng mô phỏng a= 2,8. Không thỏa mãn với xấp xỉ thực nghiệm như trên, do các kết quả thu được khi mô phỏng không nhất quán, Ochiai va Imai đã xây dựng các phân bố trên một cách lý thuyết. Công thức mà hai tác giả đưa ra là[9]:
Pr(PAR(x) > PARo) = 1 - (l - e-'’An“Ỵ (3.3.9)
(3.3.10)
n
N ị P A R 0 e ' r M °
Hình 3.3.3 Hàm phân bổ tích lũy bù của PAR. (đường liền nét là theo 3.3.11, đường đứt nét là theo 3.3.8)
