c. Các vị từ
2.6 Công thức chỉnh dạng trong logic vị từ
Vị từ theo sau bởi các biến được gọi là công thức nguyên tử (atomic formula) ☞ Công thức chỉnh dạng (wff) được xây dựng như sau:
• T, F là wff
• Mệnh đề hoặc biến mệnh đề là wff • Một công thức nguyên tử là wff
• Nếu x là biến (trong 1 miền) và A là wff thì ∀xA, ∃xA cũng là wff.
2.6.1 Ví dụ công thức chỉnh dạng
☞ ∀xB(x) là wff
☞ "The capital of Virginia is Richmond" là wff ☞ ∀xB(x) ∧ ∃xR(x) là wff ☞ ∀xB(x)R(x), B(∃x) không là wff. 2.6.2 đề Từ wff sang mệnh ☞ P (x): x không âm • ∀xP (x) là T nếu universe là {1, 2, 3} • ∀xP (x) là F nếu universe là {−1, 2, 3}
• ∀xQ(x, y ) có thể Thay F tùy theo biến free y (giả thiết Q(x, y ) là "x > y") Đặc tả cụ thể của một universe, vị từ, và việc gán giá trị cụ thể với các biến tự do trong wff được gọi là sự giải thích (intepretation).
Một wff là mệnh đề khi nó được gán một giải thích.
2.6.3 Những dạng wff
☞ wff là thỏa mãn (satisfiable) nếu tồn tại một giải thích làm wff T Ví dụ: ∀xP (x) là thỏa mãn
☞ wff là hợp lệ (valid) nếu wff đúng với mọi giải thích Ví dụ: ∀xP (x) ∨∃x¬P (x) hợp lệ với mọi P và giải thích
☞ wff là không hợp lệ (invalid) hoặc không thỏa mãn (unsatisfiable) nếu không tồn tại một giải thích làm wff T
Ví dụ: ∀x(P (x) ∧ ¬P (x))
2.6.4 Sự tương đương
☞ Hai wff W1, W2 là tương đương (equivalence) nếu và chỉ nếu W1 ↔ W2 với mọi giải thích.
Ví dụ:
• ∀xP (x) ⇔ ¬∃x¬P (x) với mọi P
• ∀x(P (x) ∧ Q(x)) ⇔ ∀xP (x) ∧∀xQ(x) với mọi P, Q
2.6.5 Suy diễn trong logic vị từ
Tên Luật suy diễn
Universial instantiation ∀xP (x) ⇒ P (c) c là 1 giá trị trong universe
Universial generalization P (c) ⇒ ∀xP (x) P (c) là T với mọi c trong một universe đang xem xét
Existential instantiation ∃xP (x) ⇒ P (c)
c trong universe và P (c) T Existential generalization P (c) ⇒ ∃xP (x) c trong universe
Bảng 3: Suy diễn trong logic vị từ
2.6.6 Ví dụ suy diễn trong logic vị từ
A check is void if it has not been cashed for 30 days. This check has not been cashed for 30 days. Therefore this check is void. You can not cash a check which is void. Therefore you can not cash this check. We now have a check which can not be cashed.
Đặt:
• C (x): x is a check
• T (x): x has been cashed within 30 days • V (x): x is void
• S (x): x can be cashed
• ThisCheck: một check cụ thể tương ứng với "this check" Ta có:
(∀x((C (x) ∧ ¬T (x)) → V (x))) ∧ ¬T (T hisCheck) → V (T hisCheck) ∀x((C (x) ∧ V (x)) → ¬S (x)) ∧ V (T hisCheck) → ¬S (T hisCheck) C (T hisCheck) ∧ ¬S (T hisCheck) → ∃x(C (x) ∧ ¬S (x))