Chứng minh rằng sốa+b+c+dlà hợp số.
Bài 5.Xét một dãy số gồm các số0và các số1.Xét các cặp số trong dãy này (không nhất thiết kề nhau), trong đó số bên trái là số1và số bên phải là số0.Giả sử trong số các cặp này có đúngMcặp mà giữa số1và số0của cặp này có một số chẵn các số và có đúngNcặp mà giữa số1và số0của cặp này có một số lẻ số. Chứng minh rằngMlớn hơn hay bằngN.(Ví dụ với dãy số1 1 0 1 0 0thìM=4,N=4;với dãy số1 0 0 0thìM=2,N=1).
Đề số 2
Bài 1. Cho x,y,z là các số thực dương thoả mãn điều kiện x+y+z+1=4xyz. Chứng minh rằng ta có bất đẳng thức
xy+yz+zx≥x+y+z.
Bài 2.
(a) Chứng minh rằng với mọin≥2,phương trìnhxn−xn−1− · · · −x−1=0có một nghiệm dương duy nhất.
(b) Ký hiệu nghiệm dương nói trên làxn.Hãy tìm lim n→∞xn.
Bài 3.Đường tròn nội tiếp tam giácABCtiếp xúc với các cạnhAB,BCvàACtại các điểmK,Lvà Mtương ứng. Kẻ các tiếp tuyến chung ngoài khác với các cạnh của tam giác tới các đường tròn nội tiếp các tam giácBKL,CLMvàAKM.Chứng minh rằng các tiếp tuyến này đồng quy tại một điểm.
Bài 4.Tìm tất cả các cặp số nguyên dương(a,b)sao cho số a
2b+b
ab2+4 là số nguyên.
Bài 5.Cho tập hợpS={1,2, 3, . . . , n}.Tìm số cách chia tậpSthành ba tập con khác rỗng sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp.
Đề số 3
Bài 1.Tìm tất cả các hàm số f :R→Rthoả mãn điều kiện
f(x2−y2) =x f(x)−y f(y)
Bài 2.Chox,y,zlà các số thực dương thoả mãn điều kiện (x+y+z) 1 x+1 y+1 z =10.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của
(x3+y3+z3) 1 x3+ 1 y3+ 1 z3 .
Bài 3.Cho tam giácABC,KvàLlà hai điểm trên(AB),(AC)sao choBK=CL.Gọi
Plà giao điểm củaCK và BL.Đường thẳng quaPsong song với phân giác trong của góc∠BACcắtACtạiM.Chứng minh rằngCM=AB.
Bài 4.Tìm tất cả các cặp số nguyên dươngx,ysao cho(x2+y)(y2+x)là luỹ thừa 5của một số nguyên tố.
Bài 5.Có2009tấm bìa trên đó có ghi các số từ1đến2009,mỗi số trên một bìa. Đầu tiên các tấm bìa được xếp thành một hàng theo một thứ tự nào đó. Người ta thực hiện liên tiếp các phép biến đổi sau: đầu tiên nhìn vào tấm bìa đầu tiên bên tay trái, nếu trên đó có ghi sốk thì ta đảok tấm bìa đầu tiên theo thứ tự ngược lại, còn các tấm bìa khác thì để nguyên. Ví dụ nếu ta xét chín số từ 1 đến9 thay vì từ1 đến2009và thứ tự ban đầu là 395672814thì dãy các biến đổi sẽ lần lượt là 395672814→593672814(đảo thứ tự ba số đầu)→763952814(đảo thứ tự năm số đầu)→825936714(đảo thứ tự bảy số đầu)→17639528(đảo thứ tự tám số đầu). Chứng minh rằng sau một số hữu hạn lần thực hiện, tấm bìa với số1sẽ được đưa lên đầu và như vậy từ đó thứ tự của các tấm bìa sẽ không thay đổi nữa.
Đề số 4
Bài 1.Giải hệ phương trình (2x−y)2=4+z2 (z−y)2=2+4x2 (z+2x)2=3+y2 .
Bài 2.Đa thứcP(x)bậcn>1cónnghiệm phân biệtx1,x2, . . . ,xn.Đạo hàmP0(x)
có các nghiệmy1,y2, . . . ,yn−1.Chứng minh bất đẳng thức x21+x22+· · ·+x2n n >y 2 1+y22+· · ·+y2n−1 n−1 .
Bài 3.Trên đường thẳngdcho ba điểmA,B,Ctheo thứ tự đó. Về một phía vớid, vẽ các nửa đường tròn(S1),(S2)đường kínhAB,ACtương ứng.Dlà điểm trênS2
sao cho tam giácDBCcân tạiD.GọiOlà tâm đường tròn tiếp xúc với(S1),(S2)và
BD.Chứng minh rằngOBvuông góc vớid.
Bài 4.Chonsốx1,x2, . . . ,xncó tích làp.Biết rằng với mọii=1,2, . . . ,n,sốp−xi là một số nguyên lẻ. Chứng minh rằng tất cả các sốx1,x2, . . . ,xnđều là số vô tỷ.
Bài 5.Cho bàn cờ13×13ô bị khuyết một ô ở giữa. Hỏi có thể phủ bàn cờ này bằng các quân tetramino kích thước1×4hoặc4×1được hay không?
Đề số 5
Bài 1.Trên bảng ghi năm số. Cộng các số này theo từng cặp, ta được10số sau đây: 0,2,4,4,6,8,9,11,13,15.Hỏi các số đã ghi trên bảng là những số nào?
Bài 2.Hàm số liên tục f:R→Rthoả mãn điều kiện
g(x,y) =|f(x+y)−f(x)−f(y)|
bị chặn. Chứng minh rằng tồn tại số thựcAsao cho hàm sốh(x) =|f(x)−Ax|cũng bị chặn.
Bài 3.Cho tam giác nhọnABC.Trên các cạnhACnối dài vềC,CBnối dài về phía
B,BAnối dài về phíaAlấy các điểmB1,A1,C1sao cho tam giácA1B1C1đồng dạng với tam giácABC.Chứng minh rằng trực tâm tam giácA1B1C1trùng với tâm đường tròn ngọai tiếp tam giácABC.
Bài 4.Tìm tất cả các đa thức f(x)với hệ số nguyên sao cho với mọinnguyên dương ta có f(n)là ước của2n−1.
Bài 5.Có bao nhiêu số cónchữ số lập từ các chữ số{1, 2,3, . . . ,9}có tích các chữ số chia hết cho10?
Đề số 6
Bài 1.Choa,b,clà các số thực dương thoả mãn điều kiệna+b+c=3.Chứng minh rằng 1 a2+b2+2+ 1 b2+c2+2+ 1 c2+a2+2 ≤ 3 4.
Bài 2.Tìm tất cả các giá trị của tham sốasao cho phương trình log7(7x−log7a) =2x
có nghiệm duy nhất.
Bài 3.Trong mặt phẳng, cho đường tròn(O)tâmOvà đường tròn(O0)tâmO0 cắt nhau tại hai điểmB,M.Các điểmA,Cnằm trên đường tròn(O).Đường thẳngAB
cắt(O0)tạiKkhácB.Đường thẳngBCcắt đường tròn(O0)tạiNkhácB.Các đường trung trực của các đoạn thẳngAKvàCNcắt nhau tạiI(khácM). Chứng minh rằng
∠IMB=90◦.
Bài 4.Trong cấp số cộnga1,a2,a3,a4, . . .chứa các sốa21,a22 vàa23.Chứng minh rằng cấp số trên gồm các số hạng nguyên.
Bài 5.Trong một quốc gia có một số thành phố được nối với nhau bởi các con đường. Các con đường chỉ cắt nhau tại các thành phố. Tại mỗi thành phố có treo một tấm bảng trên đó ghi độ dài ngắn nhất của đường đi, xuất phát từ thành phố này và đi qua tất cả các thành phố (đường đi có thể đi qua một số thành phố một vài lần và không nhất thiết phải quay về thành phố xuất phát). Chứng minh rằng hai số bất kỳ trên các bảng chênh lệch nhau không quá1.5lần.
Đề số 7
Bài 1.Tìm tất cả các hàm số f :R→Rthoả mãn điều kiện (i) f(x2) =f2(x)với mọixthuộcR;
(ii) f(x+1) = f(x) +1với mọixthuộcR.
Bài 2.Choa,b,c,x,y,zlà các số thực thoả mãn điều kiện(a+b)z−(x+y)c=√6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P=a2+b2+c2+x2+y2+z2+ax+by+cz.
Bài 3.Trên các cạnhABvàADcủa hình vuôngABCDlấy các điểmKvàN tương ứng sao choAK·AN=2BK·DN.Các đoạn thẳngCKvàCNcắt đường chéoBDtại các điểmLvàM.Chứng minh rằng các điểmK,L,M,NvàAnằm trên một đường tròn.
Bài 4.
(a) Chứng minh rằng phương trìnhx2+5=y3không có nghiệm nguyên. (b) Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trìnhx2+2=y3.
Bài 5.Chọn một cách ngẫu nhiên55 số từ100số nguyên dương đầu tiên. Chứng minh rằng trong số các số được chọn tìm được hai số có hiệu bằng9.