2. 2 Kiến trỳc mạng cú cấu trỳc
3.3.6.2 Cõc mode truyền lan
Phương phõp quang hỡnh trớn chỉ cho thấy một cõch gần đỳng sự truyền lan õnh sõng trong thực tế. Để nghiớn cứu chớnh xõc hơn chỳng ta phải dựng cõc hăm Maxwell. Tuy nhiớn nếu chỉ để hiểu cõc đặc tớnh truyền lan trong sợi vă tõn sắc của sợi chỳng ta cú thể sử dụng cõc phương phõp toõn học khụng phức tạp lắm. Với điều kiện biớn tại giao diện lừi-vỏ (tương ứng với định luật Snell ở cụng thức (3.14) trong phần phđn tớch quang hỡnh), chỉ cú một tập xõc định cõc hăm súng thoả mờn phương trỡnh Maxwell mới cú thể truyền lan trong sợi quang, mỗi một hăm súng đú được gọi lă một mode truyền lan vă được biều diễn dưới dạng:
ψ i(r,φ ,z) = Ai(r,φ )ej(ωt - βziZ) (3.18) Trong đú:
i lă chỉ số của mode truyền lan ψ i Ai(r,φ ): lă phđn bố trường ngang
β zi: lă hằng số truyền lan theo trục z
Biểu thức (3.18) cho thấy hăm súng lă hăm theo thời gian vă cõc tham số khụng gian r, φ , z. Hệ toạ độ trụ được dựng ở đay bởi sợi quang chớnh lă một ống dẫn súng trũn. Trong biểu thức (3.18), tham số ej(ωt - βziZ) biểu thị việc truyền lan súng dọc theo trục z của sợi.
H
ằng số truyền lan hướng z: Từ khõi niệm cõc mode truyền lan β zi thoả mờn biểu
thức tõn sắc như sau:
β 12 = = β zi2 + Ki2 (3.19)
Hỡnh 3.12 Tia nghiớng trong sợi chiết xuất phđn bậc
n1 n2
Với β 12 = lă hằng số truyền lan của một súng hăi ở tần số ω vă trong mụi trường điện mụi đồng nhất cú chiết xuất n1. Ki lă hằng số truyền lan theo phương ngang của mode truyền lan thứ i.
Từ đú ta cú, mỗi mode truyền lan cú một cặp Ki, β zi lă số thực thoả mờn bất đẳng thức sau:
β 12 - β zi2 = Ki2 > 0 (3.20)
Cõc mode truyền lan bậc căng cao (i căng lớn) thỡ Ki căng lớn vă β zi căng nhỏ. Khi Ki vượt quõ β 1 thỡ β zi trở thănh số ảo vă mode đú cú một sự suy giảm hăm mũ khi nú truyền lan.
Biểu thức (3.20) lă điều kiện truyền lan cho cõc súng bớn trong lừi sợi. Cú một sự tương tự cho lớp vỏ nhưng với điều kiện khõc:
β zi2 - β 22 > 0 (3.21)
Với β 2 =
Điều kiện năy cú nghĩa lă khụng cú truyền lan trớn lớp vỏ, núi cõch khõc lă súng trong lớp vỏ bị suy hao.
Cõc biểu thức (3.20) vă (3.21) đều yớu cầu β zi nằm trong khoảng:
< < 1 (3.22)
Điều kiện (3.22) chớnh lă tương ứng điều kiện phản xạ toăn phần trong phần phđn tớch quang hỡnh. Biểu thức (3.17) cho thấy khi n2 xấp xỉ n1 thỡ NA căng nhỏ, do đú chỉ cú rất ớt mode lan truyền được.
V
ận tốc truyền lan theo trục z: Tương tự với nhận xĩt được nớu trong phần phđn
tớch quang hỡnh, vận tốc của tia sõng phụ thuộc văo gúc tới φ . Vận tốc theo trục z của mode lan truyền thứ i lă hăm của hằng số truyền lan β zi của nú vă được tớnh như sau:
vgi = (3.23)
Với vgi thường được gọi lă vận tốc nhúm vă cho thấy rằng cụng suất của tớn hiệu quang lan truyền nhanh như thế năo. Vận tốc nhúm khõc với vận tốc pha vpi = ω /β zi. Vận tốc pha vpi cho biết pha của tớn hiệu quang thay đổi nhanh như thế năo.Mặc dự để việc tớnh toõn chớnh xõc vận tốc nhúm vgi cần phải biết β zi lă một hăm của ω , biểu thức (3.20) cú thể được tớnh xấp xỉ khi sự phụ thuộc tần số của Ki lă nhỏ, khi đú: ≈ Bởi vỡ β 1 = n1ω /C = = (n1 + ω ) = = (3.24) Với n1g lă chỉ số khỳc xạ nhúm: n1g = n1 + ω (3.25)
Từ kết quả trớn, dựng phĩp răng buộc ta cú: vgi = = ()-1 = ()-1 ≈ ()-1 = = vg (3.26)
So sõnh (3.26) với (3.16) ta thấy tỉ số β zi/β 1 lă tương đương với sinθ 1 hoặc tỉ lệ với C/n1 trong biểu thức (3.10). Bởi mỗi mode truyền lan cú β zi riớng nớn mỗi mode cú trễ truyền lan khõc nhau. Điều năy khẳng định điều đờ nhận xĩt quõ trỡnh truyền lan trong phần phđn tớch quang hỡnh rằng cõc tia tới với gúc tới khõc nhau cú vận tốc theo trục z lă khõc nhau.