DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP
Phương trình sai phân là một trong những dạng toán khó và phức tạp, nó không được nhắc đến trong các sách giáo khoa phổ thông hiện tại (cả sách cấp 2 và cấp 3) mà chỉ được nguyên cứu trong các trường đại học, cao đẳng. Đối với toán phổ thông chỉ được viết dưới dạng các bài toán thực tế như lý thuyết dãy, lãi kép – niên khoản, cấp số … nhưng trong các kỳ thi HSG gần đây dạng toán này thường xuyên xuất hiện, nhất là các kỳ thi cấp khu vực. Trong phần này chỉ trình bày các kiến thức cơ bản và đơn giản nhất về phương trình sai phân bậc hai và các dạng toán có liên quan đến các kỳ thi HSG bậc THCS.
Yêu cầu: Các thí sinh (trong đội tuyển trường THCS Đồng Nai) phải nắm vững các
kiến thức cơ bản về dãy truy hồi, phương trình bậc hai, hệ phương trình bậc nhấc hai ẩn số, phương pháp tuyến tính hóa.
7.1. Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc 2:
Định nghĩa: Phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất bậc hai với hệ số là hằng
số có dạng: axn 2+ +bxn 1+ +cxn =0 (*); với n 0;1;2;...= trong đó a≠0; b, c là hằng số. Nghiệm tổng quát: • Nếu c = 0 thì phương trình (*) có dạng: n 2 n 1 n 2 n 1 n 1 b ax bx 0 x x x a + + + = ⇔ + = − + = λ + có nghiệm tổng quát n n+1 1 x = xλ .
• Nếu phương trình (*) có phương trình đặc trưng là a + b + c = 0λ2 λ có hai nghiệm λ λ1, 2
thì việc tìm nghiệm dựa vào các mệnh đề sau:
Mệnh đề 1: Giả sử hai nghiệm của phương trình đặc trưng là phân biệt (λ ≠ λ1 2) khi ấy
phương trình (*) có nghiệm tổng quát là: n n
n 1 1 2 2
x = C λ + C λ trong đó C1, C2 là những số bất kỳ gọi là hằng số tự do và được xác định theo điều kiện ban đầu x0, x1.