3 Công thức Ito
3.3.1 Đặc trưng của chuyển động Brown
Định lý 3.3.1. Một quá trình M là một chuyển động Brown trong R nếu và chỉ nếu nó là một martingale địa phương liên tục với biến phân bậc hai [M] sao cho:
Chứng minh. Nếu chỉ khi một phần hệ quả trực tiếp của định nghĩa của chuyển động Brown và của thí dụ sau định lý 3.1.1
Ngược lại, giả sử M là một martingale địa phương liên tục sao cho (3.17) giữ nguyên . Gọi {τk} là một dãy địa phương hóa đối với M sao cho {Mt∧τk −M0, t ∈ R+} là một L2 - martingale với mỗi k. Thì bằng cách áp dụng (3.2) đối với M −M0 từ [M −M0] = [M]t, ta được
(Mt∧τk −M0)2 = 2
t∧τk Z
0
(Ms−M0)d(Ms −M0) + [M]t∧τk
Bằng cách lấy kỳ vọng ,dùng định lý 3.1.2 (ii) và điều giả định trên [M]
,ta kết luận rằng
E(Mt∧τk −M0)2 = E(t∧τk) 6t
Do đó sup trên k của vế trái trong đẳng thức trên thì bị chặn và do đó
{Mt∧τk−M0, k ∈ N} là khả tích đều, bởi mệnh đề 1.4.1. Điều đó cho bởi mệnh đề 1.8.13 mà M −M0 là martingale và bằng cách áp dụng của bổ đề Fatou đối với đẳng thức trên mà Mt − M0 ∈ L2 với mỗi t. Do vậy
M −M0 là một L2-martingale.
Với mỗi α ∈ R, cho φα là hàm giá trị phức xác định bởi φα(x) = eiαx với mọi x trong R. Bằng cách áp dụng định lý 3.2.1 để phần thực và ảo của
φα tách ra, ta thấy rằng công thức Ito cố định đối với φα và M −M0. Vì vậy ta có hầu chắc chắn. φα(Mt −M0)−φα(0) = t R 0 φ0α(Mu−M0)d(Mu−M0) +12 t R 0 φ00α(Mu−M0)d[M]u Đó là hầu chắc chắn
exp(iα(Mt −M0))−1 = iα
t Z 0 exp(iα(Mu−M0))d(Mu−M0) − α 2 2 t Z 0 exp(iα(Mu−M0))du (3.18)
Đoạn trên sẽ được sử dụng để hiển thị cho τ và s > 0 mà Ms+τ −Ms là độc lập của Fs và là một biến phân được phân bố bình thường ,với trung bình không và phương sai τ. Trong phần dưới đây, một hàm giá trị phứcN xác định trên R+×Ω sẽ gọi là một martingale nếu phần thực và phần ảo của N là martingale. Trong một dạng tương tự, kỳ vọng có điều kiện của một hàm giá trị phức trên Ω sẽ là tổng của kỳ vọng có điều kiện của phần thực của nó và thời gian i của phần ảo của nó mỗi khi cả hai xác định .
Từ M − M0 là một L2 - martingale và exp(iα(M − M0)) bị chặn, nó theo sau từ định lý 2.4.3 mà tích phân ngẫu nhiên trong (3.18) xác định một martingale và do đó có kỳ vọng không. Vì vậy đối với τ và s > 0
và F ∈ Fs, lấy kỳ vọng của (3.18) trên F, đầu tiên đối với t = s+τ thì
t= s và trừ kết quả của phương trình
E{1F(exp(iα(Ms+τ −M0))−exp(iα(Ms −M0)))}
= −α 2 2 E 1F s+τ Z s exp(iα(Mu−M0))du (3.19)
Cho ψ(u) = E{1F(exp(iα(Ms+τ −M0)))} .Thì bởi một thay đổi của biến số trong phía bên phải của (3.19) và định lý Fubini ta có
ψ(τ)−ψ(0) = −α 2 2 τ Z 0 ψ(u)du (3.20)
Hàm ψ là liên tục bởi M .Sau đó bằng cách phân tích cơ bản , (3.20) thỏa mãn:
ψ(τ) = ψ(0)exp(−1
2α
2 τ)
Từ đó F ∈ Fs là tùy ý,nó có tính chất sau đây
E(exp(iα(Ms+τ −M0))|Fs) =exp
iα(Ms −M0)− 1 2α 2τ và do đó
E(exp(iα(Ms+τ −Ms))|Fs) =exp(−1
2α
Cho Y = Ms+τ −Ms, Z ∈ Fs và β ∈ R. Thì bởi (3.21)
E(exp(iαY)) = exp(−1
2α
2τ)
và
E(exp(i(αY +βZ))) = exp(−12α2τ)E(exp(iβZ)) = E(exp(iαY))E(exp(iβZ))
Y và Z là độc lập ,và do đó Y là độc lập của Fs.
Vì vậy ta chứng tỏ rằng đối với mỗi τ và s > 0 Mà Ms+τ −Ms là độc lập của Fs và hàm đặc trưng của nó là α → exp(−12α2τ) . Do đó nó là một biến phân bình thường với trung bình không và phương sai τ,theo đó M có tính chất (i) và (ii) xác định chuyển động Brown trong R