Ví dụ minh họa thuật toán được cho trong Hình 1.4. Trong đó hàm chirp là 0.1ei(t2/10−2t) và tín hiệu là hàm Gaussian e−(t−30)2/20 với khoảng thời gian
(0,40) và tần số lấy mẫu là 100 Hz. Các hình ảnh minh họa phân phối Wigner chỉ ra rằng FRFT giúp phân phối quay đến vị trí mà hình chiếu lên trục ngang (miền FRFT cấp a) của tín hiệu và chirp rời rạc nhau. Sau đó, chirp được loại bỏ và biến đổi ngược tín hiệu về miền cũ.
Bộ lọc tần số quét
Các bộ lọc tần số quét được sử dụng rất rộng rãi trong các bộ phân tích tần số cho tín hiệu cao tần. Bộ lọc quét tần số là hệ thống biến thiên tuyến tính được biểu diễn trong Hình 1.5. Bộ lọc còn được biểu diễn bởi đáp ứng xung,
Hình 1.5: Biểu diễn của hệ thống tần số quét. Hằng sốcđiều khiển tốc độ quét của hệ thống
tức là tín hiệu ra khi tín hiệu đầu vào là xung đơn vị
h(t, τ) = eic2(t2−τ2)g(t−τ), y(t) = ∞ Z −∞ x(τ)h(t, τ)dτ .
Đặt α =−cot−1c và G(u) là biến đổi Fourier của g(t).
Yα(u) = r 1−icotα 2π ∞ Z −∞ ∞ Z −∞
x(τ)h(t, τ)eicot2 α(u2+t2)−iutcosecα
dτ dt = r 1−icotα 2π ∞ Z −∞ ∞ Z −∞
1.5. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 22
=G(ucosecα)Xα(u).
Do đó G(ucosecα) được gọi là hàm chuyển của bộ lọc tần số quét trong miền Fourier phân. Quan sát này cho phép chúng ta xử lý hàm chuyển biến thiên của bộ lọc tần số quét giống như bộ lọc bất biến sử dụng Fourier thường.
Lọc tối ưu trong miền Fourier phân
Trong nhiều các ứng dụng thực tế, tín hiệu mong muốn bị suy biến bởi hệ thống hoặc nhiễu. Vấn đề là cần tìm ra một toán tử ước lượng tối ưu đối với các tiêu chuẩn thiết kế mà loại bỏ hoặc giảm thiểu suy biến. Lời giải phù hợp cho vấn đề này phụ thuộc vào mô hình quan sát, tiêu chuẩn thiết kế được sử dụng, các thông tin đã biết (về tín hiệu, quá trình suy biến hoặc nhiễu).
Đối với các mô hình suy biến bất biến và các tín hiệu dừng, bộ lọc Wiener trong miền FT được thực hiện trong thời gianO(N logN) giúp ước lượng tín hiệu ban đầu với sai số bình phương trung bình tối thiểu. Tuy nhiên, đối với các mô hình suy biến biến thiên theo thời gian và các tín hiệu không dừng, quá trình ước lượng tuyến tính tối ưu đòi hỏi thời gian O(N2). Lọc trong miền Fourier phân có thể giảm đáng kể sai số so với lọc trong miền Fourier thông thường đối với các loại nhiễu và suy biến nhất định trong khi chỉ đòi hỏi O(N logN) thời gian thực hiện.
Mô hình quan sát được sử dụng phổ biến nhất là
y =H(x) +n,
trong đó H là hệ tuyến tính làm suy biến tín hiệu x và n là thành phần nhiễu. Tiêu chuẩn thiết kế thường được sử dụng là sai số bình phương trung bình (MSE). Chúng ta xét toán tử tuyến tính ước lượng dạng xb = G(y). Nếu H là mô hình suy biến bất biến và x, n là các quá trình dừng thì toán
1.5. Ứng dụng của phép biến đổi Fourier phân 23tử tuyến tính tối ưu Gopt tương ứng với bộ lọc Wiener tối ưu cổ điển. Toán