/ 2C ^( f )A ^(e ( !^ ^} dA
00 co ^H L^ [i^-r^r r ( i E
n= 1 n= 1 ocî oo lu i . , , 1 2 ) ] ^ i : >:_ . m= 1 n= 1 ® r- E i r" 1 ) "'1 (^n)-"^ < œ oo v-C (iv) E— 2 ^^"^ 7(^ m= 1 n: [^ m n , OD ) (i^.,p) = 0 0 = E l'Í(k) i K - I k * oo J ( i r . . / : ce - L^ i Ụ i^đ(k)) •& ( k: ri .^1) ^ i-Hii^' co _ i _ ^ E î ( e p . ,,.) ( 13: D) E ^ — i ' t~— I d ( k ) oo < o E i ^ l o s i ; ^ ( í ) ( IX 1 ) ) ^ C ? ( | x c co
VÍy ( i ) - ( i v ) CU6 dịnh l y I I I . 2 t h o a men va . h^ . qua d w
Chuóng I I I
MOT SO DINK LY GIOI KAl' DAI^C- LUAT Su LON DCI YOI îãlîINGĐLE KIEU
I . ir:0 D.ĐU
Chiïc^n^ năy gom 3 t i e t . T i e t I l ă t i e t ao dđụ T i l t I I denh cho v i p c n g h i e n cuu s\^ h o i t u theo dÌ do va hpi
t | i hau oeu h a i p h i e eua rnerti^ngale hj-,eụ Vđn de tuo*ng tvt*
' w y ^ . ' ' ' ' * 0 0
de dur)'c n g h i e n cuu ó t i e t I I chuóng I I . Vi t h í , chung t o i
t h đ y c đ n p h a i neu l ỉ n mft so nh|.n x e t . Trucc h e t , ve nì± dung, cec k e t que cua t i e t I I chucTig I I I )chon^ p h e i l a me r^ng eac k e t qua tuc^ig \:rni£ cua t i ĩ t I I chu-óog I I . Bói v i
* A ^ ^ 4» 0 0 7
t r o n g truó.ng hì*p hoi t u t h e o dp do t h i day cec t o a n tú do duì'c dÌc IfiD t u n g ego khong n h a t t h i e t l e martingales h i ^ u , troLig tivrcag hiì'p con l ^ i t h i t u y day cec t o e n t u do duxj'c • dpc l ^ p l i e n t i e p thupc X (A, E ) co ky vpng baiig không l a
m a r t i n g a l e h i ^ u nhung t r o n g h e i t i e t tvrong w^g, chmag t a da x e t den hai d^ng h p i ty: khac n h a u , hpi t^i hau dĩu va
h p i tỵ hău díu h a i p h i e . Ve ph^JÓxig phap va công C]A : cac
k e t qûs tuóng v:xis t r o n g h a i t i e t da du;'c churg minh bđng
nhung phuóng phap va công cp khac nhau» Dgc c i ^ t , t r o n g trúong hì'p xaC s u đ t g i £ 0 hoĩn, phep chụng minh d^nh l y I I . 4
(chiróng m ) co t h e duv'c xem nhu l e Pi^'^o*ng_paa_p kh©*^ ^^ ' chuPig nùnh cac k e t qua cua B, J ami son ; S.Opey, va "U
p r u i t t CMJ -v'ă G.C. Heyde E l X _ 7 . Trong phuông phap do se khong p h a i su dvung den g i ă t h i e t l a : Z dK I z l ))<oo
î.!^nh'dí I I . 1 se g i ă i t h i c h ro v i sao chung t a bb qua g i s
t h i ĩ t dọ Que d o , chung t a cung t u a y ro t i n h t i ^ n ^ì'i va
0 7 0 \ 0 * 7 0 * ^ ^ . , ,
I I I ) I I . 2 va I I - 3 (ehucng I I ) .
. /
Trong t i e t I I I , chung t o i xet dín nipt se k í t qua dc^n g i a n ve B'^ h p i t]x t h e o dp GO va hpi tvi hau deu h a i pliis cua cac ọgng t o a n ph^joH'jg eus cec mertiai^al^' h i f u . o dăy, chug t o i c h i mc'i de c^p den cac dpng toan ph:aóng k h u y e t d:iXan^ c h e o . Văn de tuóng t v d'ă không dug'c z e t doi v o i dej'
t o s n t u do dúì^c dpc l ^ P . 3ói v i , rapt m^,t cec k e t que duyc
níu 0' dđy h i e n n h i í n cung dung doi v o i dey t o a n tir do ùôq'o
f ' ^ ' ' ^
dpe l ^ p l i e n t i e p . ' - ^ t k h a c , băng c e c phuong phap v a - c o n g cil tiiín co ; chung t o i cutig khong t h u dúp'c k e t cua t ô t hcn t r o n g trúcng h^'p riín-g naỵ Cec k e t qùa e u s t i ĩ t I I I l a nie rpng mpt so k ỉ t qua cua J . ! : . "'ili-neSiTieier va I . T . " ' r i g h t E 3 3 ^ 7 va G . U . . G r i f i i t h s ; R.D. p l e t t vl I . T . v;right / " 5 _ 7 .
Trong phđn con I g i cua chuong n a y , chung t a se thuông
7 X \
xi^-y en s\x- dv»-ng ha i t o d e E eu,
Bo de Ị.1 (CSJ) 'lia su (x^) l ă m a r t i n g a l e . Khi
d e , n3U S u p T î C ' l x J '! < oo t / i l t o n t ^ i t o E t u rrctl/^CA,"?)
^ao cho >- > :c hđu deu hai phia k h i n ^ œ *
±1
Bo ce 1.2. (I^c d l k r o n e c k e r ) . C-iă su (x^) c. A l ă
dđy cĩc t o a n t u do dup'c ( b^^) l a dđy cac sô th\rc duóng sao cho b 1^ 00 . Dat Sn = T " x^. Klii do neu day (S, ) hpi t u
n ' t^^ ^ ^. .'^-^ hău d I u h a i plxla t h i d'ăy (bl>'' E l . \ E ' ' '^^ '^'^- '^'^'^ ^^'^
h a i p h i a dín không ( k h i n —> oo )
ahu:ng minh. Tr.rc'e he t j nhp.n x e t rang d e i so i>on ÎTeu- mann A l e không g i a n Banach voi phep e p n g , phep nhăn vo
0 s X \
huón-g va chuan deụ
Bđy g i c s g i ă su 3n "—) S ^ A haxi díu h^i phi,a khi
e 0 0 -^ 0 ^
^-—---> oo . Trni oTo J vói ^ > 0 eho t r i a o c , t o n t ^ i phep Ctiieu p . (r r r o j A sao cho ^ ( p ^ ) < t'2
V P p ^ ( 3 n - S ) p ^ ) | — ^ 0 k h co p ^ ( 3 n - S ) p ^ ) | — ^ 0 k h co s a o c n o Dgt 0 0 l u e do Do t i n h do du^'c cu a S Z^kvt ) < ^/2 va 3.P t o n t^ri p h e p c l i i e u p^^^-I^rojA X 0 = 0 A n^ - 1 ^^ " 2 J^ > ^ ( p - ^ ) < Z^Cp,-" ) H - ? ( P 2 ) < & p ( S n ~ S ) p Cz A ( 1 . 1 ) 0 ^ l i p ( S n - S ) p 11< | ( P , ( ^ ^ - S ) p J ( '-*? 0 k h i n">oo Dông t h ^ ' i ( 1 . 2 ) llp Spn= p ( S ? ) ĩ A p 3a p = p ( S n - S ) p -;- pSp e A Hon nu a ( 1 . 3 ) P r.^ p = p 3a p - P3,,^^ p 6 Â (Vn) Tu ( 1 . 1 ) va ( 1 , 2 ) suy r e r § n g dđy (pS^,V' ^5^- "^^î t r o n g k h ô a g g i e n Bã^-eeh A den p3p Do ( 1 . 3 ) 00 t n e a] dyng bo de k r o n e c k e r cho dđ" (PX,^?) <1 A n t a dup'c _ b - E P - ; . p ) = P ( b - 1 n b, 7C ; u • « r -=--^ 0 k h i n — ^ 00 t h e o chu: • D i e u - ^ o c o .nghia l a oeu r. E k==1 k h i ri —-> cx:>. Do
'ir -;^ hđu deu h a i p h i ©
8 d i e u oỉSị c h u n g mi ri h .
Trong: chu-ovng năy> b i e u t h u c j f ( x ) } d? (:•:) î oj-uig de c h i t i c h hđi-^ ) f ( x ) d ( - r ( x ) ) vói F ( x ) l ă hăm k h ô n g tar^;?. Da b i e t (zem
'"'K^J) : '^eu VA{x) i - 1 j 2 l ă c e c harn k h ô n g t ? n £ ri:„o cho
H^. ( x ^ - ^ O k i i i X - ^ 0 0 v a Ỵ^ix) 7/Ỵz{xj vói moi x >/0 va f ( x ) l ă
oo
ham duoTig khô.ng ta-ng vói n p i :: >/C t h i ' J r(x)|d:-I ( x ) 1 ^>-
a
• 0 0
>/ *) f(x)|dÍ(x)lÍ^^''
e • -- -: