Các bài toán về ƣớc chung lớn nhất

Ví dụ 2: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 1 + x + .

Giải Ta thấy: Với x = 0 thì 3 y   1 y 1. Với x = -1 thì 3 y   0 y 0. + Xét x 0. Ta có:  3 3 2 3 2 3 3 x1 x 3x 3x 1 x x   x 1 y x . Nhƣ vậy: x 1  y x (vô lý) + Xét x < -1. Đặt a    x 1 a 0.

Thay x = -a – 1 vào phƣơng trình đã cho và rút gọn ta đƣợc:  a3 2a22a y3.

y 0   . Khi đó: 3 2 3  3 a 2a 2a y  y . Đặt z = -y  z 0, ta đƣợc: 3 2 3 a 2a 2az . Ta lại có: 3 3 2 3 3 2  3 a a 2a 2az a 3a 3a 1 a1 . a z a 1     (vô lý).

Vậy phƣơng trình chỉ có hai nghiệm là: x, y    0,1 ; 1,0.

Ví dụ 3: Tìm nghiệm nguyên dƣơng của phƣơng trình: .

Giải

Vì x, y nguyên dƣơng xy + 61 > 0    x3 y3 0 x3 y3    0 x y 0. Đặt x = y + a (với a > 0) thay vào phƣơng trình ban đầu ta đƣợc:

 3 3  

ya y  ya y61. 3y a 3a y a2  2    3 y2 ay 61.

91 2    3 y 3a 1 ay 3a 1 a 61       .   2  3 3a 1 y ay a 61      .

Vì a nguyên dƣơng nên 3a – 1 > 0 và 2

y ay0 3 a 61 a 4     . Ta xét các trƣờng hợp sau: + Nếu a = 1 thì  2  2 2 y    y 1 61 y  y 30 0  y 5 hoặc y = 6. Với y = 5 thì x = y + a = 6 (thỏa mãn).

Với y = 6 thì x = y + a = 7 (thử lại không thỏa mãn).

+ Nếu a = 2 thì  2   2 

5 y 2y   8 61 5 y 2y 53 (loại vì 535 ).

+ Nếu a = 3 thì  2   2 

8 y 3y 27 61 8 y 3y 34 (loại vì 348). Vậy phƣơng trình có nghiệm duy nhất là (x, y) = (6, 5).

5.3.6 Phƣơng pháp sử dụng bất đẳng thức

Để áp dụng phương pháp này chúng ta cần nắm được những bất đẳng thức cơ bản thường dùng như CôSi hay Bunhiacopxki, với việc sử dụng các bất đẳng thức như vậy sẽ cho ta nghiệm của phương trình chính là trường hợp khi dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra. Ưu điểm của phương pháp này là lời giải sẽ rất ngắn gọn, dễ hiểu. Ví dụ 1: Tìm x, y, z nguyên dƣơng: (1) Giải Từ (1) 3xyzx y2 2y z2 2z x2 2. Mà áp dụng BĐT Cô Si ta có: 2 2 2 2 2 2 3 4 4 4

x y y z z x 3 x y z (Dấu bằng xảy ra khi x = y = z)

3

3xyz 3xyz xyz

  .

1 xyz

     x y z 1 (vì x, y, z nguyên dƣơng). Vậy nghiệm của phƣơng trình là: (x, y, z) = (1, 1, 1).

Ví dụ 2: Tìm x, y nguyên dƣơng:

Giải

Ta có: 2

x  1 2x (1) (Dấu “=” xảy ra khi x = 1). y2 1 2y (2) (Dấu “=” xảy ra khi y = 1). Từ (1) và (2)  2  2 

x 1 y 1 4xy

    (Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1). Vậy phƣơng trình có nghiệm x = y = 1.

92

5.3.7 Bài tập tự luyện

Bài 1: Chứng minh rằng phƣơng trình: 1 1 1 1

x  y z 1995 chỉ có hữu hạn nghiệm nguyên dƣơng.

Bài 2: Tìm nghiệm nguyên dƣơng của các phƣơng trình sau:

a) x2y2   x y 6;

b) 5 x    y z t 102xyzt; c) xyyzzxxyz2; d) 2x 2y2z 2t;

Bài 3: Giải các phƣơng trình nghiệm nguyên:

a) x63x3 1 y4;

b)  4 4 3

x2 x y ; c) 1 x  2 x3 x4y ;4

Bài 4: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 1! + 2! +3! + …+ x! = 3

y .

Bài 5: Tìm nghiệm nguyên của phƣơng trình: 2 2 2

93

KẾT LUẬN

Nhiều bài toán số học đƣợc phát biểu cực kì đơn giản đến mức một học sinh Trung học cơ sở bình thƣờng cũng có thể hiểu đƣợc, nhƣng lời giải của nó có thể làm đau đầu cả những nhà Toán học xuất sắc nhất. Để hiểu đƣợc và giải đƣợc các bài toán số học phổ thông ngƣời ta cần rất ít kiến thức Toán học, nhƣng lại cần nhiều đến khả năng tƣ duy, trí thông minh và đôi chút năng khiếu. Chính vì lẽ đó mà Số học là một công cụ rất tốt để rèn luyện trí thông minh, tƣ duy Toán học và cũng là một phép thử đáng tin cậy để phát hiện ra các tài năng Toán học.

Các dạng toán về Số học đƣợc phân chia rõ ràng, và mỗi một dạng đều gồm rất nhiều các bài toán đa dạng và phong phú. Các đề thi vô địch Quốc gia của ta cũng nhƣ nhiều nƣớc khác trên thế giới luôn có một tỉ lệ thích hợp dành cho Số học. Tuy nhiên hiện nay, chƣơng trình chuyên ở cấp THCS đã giảm tải khá nhiều gây khó khăn cho giáo viên và học sinh trong việc tìm tài liệu cũng nhƣ rèn luyện thêm về nội dung Số học, do đó em chọn đề tài này hi vọng có thể giúp phần nào cho các giáo viên và học sinh có thêm một tài liệu tham khảo trong quá trình dạy và học.

Mặc dù em đã có cố gắng trong quá trình hoàn thành luận văn nhƣng không thể tránh khỏi còn sơ sài và thiếu sót. Kính mong sự chỉ bảo của Thầy giáo.

Em xin trân thành cảm ơn.

Hà Nội, 22 tháng 09 năm 2012

Học viên

94

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Vũ Hữu Bình (2008), Nâng cao và phát triển Toán 6, NXB Giáo Dục, Hà Nội. 2. Hoàng Chúng (1993), Bà chúa của Toán học, NXB Giáo Dục, Hà Nội.

3. Nguyễn Vũ Lƣơng, Nguyễn Lƣu Sơn, Nguyễn Ngọc Thắng, Phạm Văn Hùng, (2006), Các bài giảng về số học, NXB ĐHQG Hà Nội.

4. Võ Đại Mau (1997), 216 bài toán số học chọn lọc, NXB Trẻ.

5. Phạm Minh Phƣơng, và nhóm tác giả chuyên Toán ĐHSPHN (2006), Các chuyên đề

Số học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, NXB Giáo Dục, Hà Nội.

6. Đặng Hùng Thắng, Nguyễn Văn Ngọc, Vũ Kim Thủy (2004), Bài giảng số học, NXB Giáo Dục, Hà Nội.

7. Đỗ Đức Thái (2002), Toán bồi dưỡng học sinh năng khiếu, Tập 1 Số học và đại

số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.

8. Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng, Đỗ Quang Thanh, Huỳnh Duy Thủy, Nguyễn Đoàn Vũ, Vũ Đức Đoàn, Lƣu Hoàng Hảo (2010), Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS – Số học, NXB Tổng hợp TP – HCM.