Khi sử dụng lý thuyết Hàng đợi để giải bài toán đánh giá hiệu năng, người ta
、 f ^ r
thường phải đưa ra nhiêu giả thuyêt đê đơn giản hoá mô hình. Có nhữns; giả thuyêt
ề ỷ p
cỏ VC như phi thực tẽ hoặc đơn dàn hoá quá mức, tuv nlìiên, kêt quả thu được lại rât phù hợp v ớ i các kết quả của phương pháp mô phỏng hoặc phương pháp thực
% ể t
nghiệm. Diêu quan trọng đôi với nhà nshiên cứu là dưa ra được các ẹiả thiêt làm cho mô hi nil trở ncn càng đơn giàn cànạ tốt mà vẫn dạt dược một độ chính xác cần thiết của các kết quả dự đoán và đánh giá hiệu năn» [39].
Mạng 111 áy tính có thể được lập mô hình như một mạn a hàng đợi. Khách hàng (customer) của các hàng đợi là các gói sổ liệu đến và yêu cầu được truyền đi, còn người phạc vụ (server) chính là các phương tiện truyền, bao gồm hệ chuyển mạch và đường kết nối vật lý. hoặc nói đơn giản hơn là đườna truyền. Hầu hết các vấn đề liên quan clén hiệu nãng đều liên quan tới tlìời aian mà các oỏi số liệu phải xếp hàrìíĩ chờ được phục vụ. Đây là một độ đo quan trọng để dán lì giá hiệu năng, bời vì nó là
thê dí ch. d ư ợc uọi tăt là th ờ i aian trê dâu cuôi - dâu cuô i. m ộ t yêu tô của hiệu nãne
niạna mà naười sử dụng nhận thấy dược. Tấl nhiên, thời gian chờ cũng phụ thuộc vào thời gian xử lý của nút và chiêu dài của gói sô liệu. Nó cũng còn phụ thuộc vào dune lượng đường truyên, tức là khả năng truyên, đo băng packeưs, phụ thuộc vào
ệ ĩ • í t
chien lược phục vụ được áp dụng ờ các hàng đợi. Lý thuyêt Hàng đợi có thê đưa tât
t ề >
cá các yêu tô này vào tron泛 mô hinh; tuy nhiên, khi ìmhiên cứu định lượn2 vê
■9 、 ， ， ,
chuyên mạch «ói, trono nhừns điẽu kiện cụ thê. nsười ta cỏ thê bò qua một sô tham só, làm cho bài toán đơn aiản hơn mà vân khôn2 làm giảm nhiêu độ chính xác của kết quả thu được.
Chúng ta hăy xem xét mồ hình đơn giản nhất của ìĩ\ột hàng đợi được mô tả trên
f \ » r
hiiih 2.1, với ngữ cảnh mạns chuyên mạch gỏi. Giả sử răng các gói sô liệu đên một
、 f • ĩ
cách ngâu nhiên với tôc độ đên trung bình là X packet/s, tôc độ phục vụ của người
• •
phục vụ là Ị.I packet/s. Hàng đợi trên hình vẽ chứa các gói sô liệu, chúng đang xêp hàng chờ được phục vụ - được phát ra đường truyền: người phục vụ là phương tiện
負 雋 # % %
truyên hay đường truyên, tôc độ truyên hay còn gọi dung lượng đường truyên
f y f
thường dược tính theo đơn vị bit/s，dưới đây được ký hiệu là c . Nêu chiêu dài gỏi sô
liệu trung bình tính bằng bit là l/|.r vả dược cho bàng đơn vị bit/packet、thì = Ị i’ c
, \ \
là tôc độ truyên tính băng đơn vị packet/s.
Hàng đợi N 、• (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Các gói to (Bộ đệm) Các góitui
7 I ^ — _ phục vụ 二
đang đi đen đang đi ra
- I I I - 0 — ：—— -
Buffé； Ser/er
Hình 2.1 Mô hình hàno; đợi có một người phục vụ
Rõ ràng ràng, khi tốc độ đến của các eói số liệu X tiến tới dung lượng đường
truycn ị.[ thì hàn a đợi bắt đầu hình thành. Với một lìàns đợi hữu hạn, khi X vượt quá
•u và ticp tục tăng lên, bộ đệm sẽ đây. tât cả các gỏi sô liệu đên sau sẽ bị chặn lại，vì
• •
troim hàiiiz đợi khôníi còn chỏ tròrm cho chúrm. Nêu íiiả thiêt bộ đệm là vô hạn cho đơn uiân (day lả sià tlìiết nhầm dơn eian hoá việc phán tích), hàniỉ dựi se trở ncn
klìôns ôn định khi Nmrời ta đà chírns minh được răn a A<^1 là điêu kiện đảm bão cho sự ồn cỉịnh cùa một hàim đợi có một nsirời phục vụ |38|. [41 Ị. Đặc biệt，
ề ^
chiinsz ta sẽ tim tham sô p 三 } J ịl thườns cỉược sọi là độ sứ dụn2 dường truyẻn hoặc tải chuẳn hoá. dỏ là tỉ số của tải của hệ thốn 泛 trên năn a lực cùa hộ thổnR. Tham số p đón2 vai trò then chốt trong việc phân tích hàng đợi.
Đối với hàng đợi cỏ một nsười phục vụ, khi p tiến tới và vượt quá một, vùng tắc néhẽn sỗ xuất hiện, thời eian trễ bắt đầu tăris nhanh, các gói số liệu đến sẽ bị chận lại một cách thưòng xuyên hơn.
Để nulìiên círu dịnh lượiis về thời gian trề, sự chặn (blocking), thông lượng và mối quan hệ của chúng với cả tốc độ phục vụ ị.1 lẫn kích thước của bộ đệm, chúng ta cần một mô hình hệ thốns hàna đợi chi tiết hơn mô hình hàng dợi trên hinh 2.1. Troim mô hình này các tham số hiệu năng phụ thuộc vào các xác suất trạnơ thái hàrm đợi. với trạns, thái dược định nshĩa là số gói số liệu ở trone hàns đợi, kể cả sói số liệu ớans được phục vụ nếu hàn2 đợi không rỗns. Để tính các xác suất trạns thái, ta plìải biết:
— Quá trình dên của các gói sô liệu (thôns kê các gói sô liệu mới đen).
f \ t •
- Phân bô của chiêu dài các gỏi sô liệu (phân bô thời gian phục vụ).
一 Chiến lược phục vụ (thí dụ: FCFS，FIFO - đến trước phục vụ trước，hay LCFS -
dến sau phục vụ tnrớc v.v).
ề \ f
Đôi với các hàna đợi có nhiêu người phục vụ, xác suât trạng thái còn phụ thuộc vào số lượne người phục vụ nữa.
Dưới đây, tronu nhóm tiêu mục 2.2.1 và 2,2.2, chím2； tôi trình bày tóm tãt một sô kêt quà nshien cửu vê lý Ihuvêt Hàne đợi [38]. [411. troim nơfr cảnh mans máv tính. dược cluing tỏi áp dụng trong Chương 3. mục 3.2 cua bản Luận án này.
2.2.1 Quá (rình Poisson và các tính chất ciia nó
í)ảv là quá Irìnlì n«ẫu nhiên dược sử dụng thường xuyên nhất trong lv thuvết
[ lồnu dại de lập m ỏ hinh cho sự dến và sự phục vụ trong m ộ t hộ tlìố n a m ạne lìiá v
khoản a thời eian aitra hai oỏi với giá trị truns binh í = ì / Ã，
trong khoảng thời gian t lả: p , / 、-
;t! (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
đèn liên tiêp là dộc lạp và dược phân bô theo hàm mũ
• • • •
với X là tôc độ đcn truns bình. Xác suât có k gói đên
(2-1)
• r / 一
Sò gỏi sỏ liệu đên tru ne binh trono, khoãnu thời íỉian nảy là A^(/) = / / ; còn
% 1
plnrơna sai dirợc CÍ10 bănẹ công thức ƠS{Í) = Ẫỉ ; rỏ ràna, siá trị trung bình và
phương sai là aiống nhau.
C á c t í n h c h ấ t c i i a (Ị li (í t r ì n h P o i s s o n v ù ỷ ìiỊ Ị/iĩa c ù a n ó
- Quá trinh phục vụ là quá trình hoàn toàn tirơns tự với quá trinh đến, đó cũng là quá trình Poisson.
一 Tồno của các quá trình Poisson cũng là một quá trinh Poisson.
Các tính chất của quá trình Poisson là đặc biệt hữu ích trong việc sử dụng lý thuyết ỉ làĩm dợi để nohiên cứu các hệ thốn这 chuvển mạch sói hav chuyển mạch
• • ^ ề \ 9
cứne. Từ lính chât thứ nhât chủna ta cỏ thê thây rãng，nêu chúng ta lập mô hình
mạn Si máy tíììlì lủ m ạng của các hàn« đ ợ i. thì d ò n íi ra của hànơ đ ợ i này SC là cỉòníỊ
• • • \ t
vào cú a hànu ciựi kê tiêp. Nẽu dòng vào cùa lìàim dợi đâu tiên có phân bô Poisson，
• 、 , •
thì dòng vào của tât cả các hàng đợi khác đêu cỏ phân bô Poisson. Từ tính chât thứ hai, chúng ta thây răng, trong mạng máy tính hay mạns điện thoại, việc dôn kênh (m ultiplexiim ) tương tự việc chúnơ ta chôn这 chât các quá trình Poisson, kêt quả chúng ta cỏ một dòng ra cũng có phân bố Poisson. Như vậy, việc áp dụng các tính chất của quá trình Poisson làm cho việc phân tích trờ nên dơn ơiản hơn rất nhiều.
2.2.2 Hàng đọi M /M /l và một số kết quá
l)á> la hẹ ih o n g hàng d ạ i đơn gián nhất hay dược SƯ dụn<z. nó có m ộ l no ư ờ i plìục
vụ. sự dcn kicu Poisson, thons kê thời eian phục vụ kiéu hàni mù và phirưna tlìửc phục vụ kiểu vào trước ra trước FIFO. Ký hiệu M /M /l được sử dụns theo cách của nhã nnhièn cửu thốnịi kê nsirời Anh D.G. Kcndall. Kv hiệu của Kendall cho hô
^ P •
r 1 〜 •
biêu diên phân bô của sự phục vụ，còn c biêu diên sô người phục vụ được sử dụng. K ý hiệu đặc biệt M xuât xứ từ tên của quá trình Markov, được dùng đê ký hiệu quá trinh Poisson hoặc là phân bô thời Oìãn phục vụ kiêu hàm mũ. Hàng đợi M /M /m là
f f f
han2 đợi có sự đên theo phân bô Poisson, thông kê sự phục vụ theo hàm mũ và có m nẹười phục vụ.
2.2.2. ỉ Xác suất trụn<Ị thá i cân hằng của /lànẹ đợi M /M /l
- Xác suất trạng thái cân bans cho hànạ đợi M iVI 1 có bộ đệm lớn vô hạn. có n (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
r 々 /
gói SÔ liệu Irong hàng đợi. kê cả gói sô liệu đang được phục vụ:
pn= ( ] - p ) p n p 三 叫 < 1 (2-2)
])ể tồn tại sự cân bằns, tốc độ đến X phải nhỏ hơn tốc độ phục vụ (hay duns
lượng đườnơ truyên) ỊI. Nêu điêu kiện này bị vi phạm thì hàng đợi hỉnh thành vả dài ra theo thời gian, sự cân bằno; khônR bao giờ đạt được.
r 、
— Xác suât trạng thái cân băng cho hàng đợi M /M /l, bộ đệm lớn hữu hạn, kích thước N:
p n = ( ] - p ị p fỊ/ ( ỉ ^ p ^ ị p ^ \ p n = \ ỉ ( N ^ \ ị p ^ \
Cho I1- N chúng ta sẽ nhận được xác suất hàne đợi đầy Pb二pN:
Pỉi = pN = ( 1 - À > . P、/ ( l - p A+l) > p ^ l (2 4)
Pu = Pn = l/ ( A r + l ) , p = l
C ó thế sử dụng p h ư ơ n g trìn h này cho các tính toán th iế t kế đơn ơiản, để xác đ ịn h
hàng đợi phải có kích thước bàng bao nhiêu để xác suất chặn, là xác suất việc eói số liệu đon hàng đợi bị chặn lại, không vượt quá một 2!á trị đã cho. Tron« mạng máy tính, hàns; đợi chính là bộ nhớ đệm tại các nút mans, chíra các sói số liệu chờ được
2Ỉri tới nút kế tiếp, trên con đường đi tới đích.
Tù, phương trình (2-4) ta thấy rằng với P<1 và N » 1 chúng ta có:
Pn 二 ( l-p )p N. pNH« l (2-5)
Day chính là xác suất hàng： dợi vỏ han nằm tron2 trạna ihái n=N, kết quả ĩìàv
、 •/ • ^
- 4 8 -
dợi hữu hạn ờ trong trạns thái n=N cũnsi có the tính dược bằng cách giả thiết một
ệ ^ f
hảno dợi vô hạn. Việc căt hàna đợi vô hạn tại n=N không ảnh hưởng đên thông kê lìàim đợi một cách đáng kể.
Sau dảv xin nêu hai thí dụ về việc áp dụna kết quả mà phương trình (2-5) đem lại. đê tinh kích thước tôi thiêu của hàng đợi, sao cho có thê đảm bảo với một ơiá trị
f n t f 9
biêt tnrớc của thông lượng chuân hỏa p，xác suât gói sô liệu đen hàng đợi bị chặn lại k lions vượt quá một siá trị nhât định. Thí dụ thử nhât, cho p=0.5, yêu câu xác suât chặn PịỊ klìôim vượt quá 10"'. Thay p=0.5 vả Pn= 10' 3 vào (2-5). chúns ta tính ra đirực N=9. dỏ là số sói số liệu nẳm tronũ hàne đợi và cũna chính là kích thước tối thi cu mà lìàns đợi phải có. Thí dụ thứ hài‘ vần cho p=0.5 yiống thí dụ trên，nếu cần
phải c ó P|3 < 1 0 ' nghĩa là tính tru n g bình tro n g sổ 106 só i số liệ u đến hàne đ ợ i thì
có khôna quá một gói số liệu không vào được hàng đợi. Tính toán tương tự như trên、chủng ta tìm được N=19，nghĩa là hàng đợi phải có kích thước > 19.
2.2.2 .2 Đ ặ c í r m i í Ị t lĩ ô n íỊ l ư ợ n g c ủ a h à n g đ ợ i M / M / l h ữ u h ạ n
t
Theo các lạp luận và chứng minh tronẹ [41], ncu ký lìiệu thông lượng là y, thì y=?i( I -Pl3), bởi vì ( 1 -PB) chính là xác suất cỏi số liệu được nhận vào hàng đợi khi nó (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
0 ,
đên. Gọi ỵ/|li là thông lượng chuân hoá，p=入/|i là tải chuân hoá，chúng ta sẽ nhận được sự phụ thuộc của tlìônơ krợno chuẩn hoá vào tải chuần hoá như sau:
/ / A = (1 一Pu ) : A ( 1 - p ' 、 _ p 、. ' )•广式 1 ( ? 6 )
y / Li = 八,/( /V + 1 )• p = 1
Đặc tnniR Thông lượng chuẩn hoá - Tải chuẩn hoá của hàng đợi M /M /l có kích thước hữu hạn, với N=9, được thể hiện trên hình 2.2. Cho N=9 thì y/ụ =0.9，tại P = 1 •
Với tải chuân hoả p lớn hơn giá trị này, đường con2 biêu diên thông lượn2 chuân hoả sẽ năm naana ra và tiên ngày càng gân tới l. Nói cách khác, khi tải X tănạ vượt
、 产
quá dun^ lượn G đườns: truyên 卜 I (nghĩa là P>1 )，thì thôns lượn 泛 cung chỉ tiên tới eiá trị ẹằn bầnu dung krợng của đườns truyền inà thôi. Tuy nhi en. khi Ằ^LL kích thước
tru nu b in h cùa lìà iìii d ợ i SC tãne lẻn rất nhanh clìỏne. như dược trin h bà\ ở ticu mục
r/^
I lin h 2.2 liraniz chuẳn hoá - Tải chuẩn hoá• w
2.2.2.3 Kích thước tru n íỊ bình của hàng đợi M /M /I lìữ u hạn
Bây giở, chíum ta tập trung vào miền không tẩc nghẽn, P < 1 ，v ớ i miền này sử dụnu sự phân tích hàníỊ đợi vô hạn là thích hợp. Từ xác suất trạng thái Pn được cho
bởi phương trình (2-2)，chúng ta có thể tính được số sỏi số liệu trung bình E(n) xuất
•r /
hiện ờ hàna đợi, ke cả gỏi sô liệu dans, được phục vụ: •
E{n) = Ỵ Jnpft = p / ( ì - p ) (2-7)
E(n)
Kích thườc (sô gói rin) trung bình trong hàng đợi
0 0 . 2 0 . 4 0 . 6 0 . 8 ỉ p
1 linh 2.3 Kích thước trunũ binlì cú a hànỉi đợi M /M /l
Plìirơnsi trình (2-7) dược thê hiện bẳne đồ thị trcn hình 2.3; phương trình này tlìế liiện một hiện urợnii nối tiénn cúa hàn a đợi mà hầu hct chíinũ ta đều đà irai qua
, • , / t
trong cuộc sôna hàng ngày. Khi tải của hệ thông là tương đôi thâp (chăng hạn p二入,v 5 0.5). số sỏi số liệu trung binh nằm trong hệ thống là tương đối nhỏ (nhỏ hơn I với p<0.5). Khi p tăna lẻn và tiến dần tới 1. con số đó tăng lên nhanh chỏng (do số hạng (1-p) ở mẫu số). Trong hệ thống hàng đợi thực có kích thước hữu hạn, con số đó tất nhiên sẽ không thể tăng vọt lên nhanh như vậy trong vùng lân cận 1，
do dó phương trình (2-7) cho hảng đợi vô hạn khôn2 phải là một mô hình thật tôt
ch o trư ờ n g lìựp hàne d ợ i hừu hạn.
2.2.2.4 Công í hức Liíílc L-Ẳ ỈV và áp (lụng dế (inh íhời giun trễ trung bìiỉh c ỏ ỉ ì g í h ử c t h ứ c U t i l e
Đê tim thời gian trê đi qua hàns đợi. bao gôm thời gian xêp hàng chờ được phục vụ cộng với thời gian phục vụ, chúng ta sỗ dùna một công thức đơn giản là công thức Little, dó là tên của người đầu tiên dã chứng minh cône thức. Công thức được phát biểu như sau: một hệ thống hàng đợi cỏ tóc độ đến trung binh X và thời gian trễ
r 、
truny bình kill di qua hệ thông hàne đợi E(丁)• sẽ cỏ chiêu dài trung bình: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
E(n) = 人 E(T) (2-8)
Á p (íụnỊỊ công thừc L iìtle để tinh th ờ i gian trễ trung bình k h i iiì qua hàng đợi
Bằng cách kết hợp (2-7) và (2-8)，chủng ta nhận dược thời gian trễ trung bình khi di qua hàng (lợi M /M /l:
EO ) = E(n)/X = l/|.i/(l-p ) (2-9)
Nêu chúng ta định nghĩa độ trê chuân hoá là tỉ sô của thời gian trê trên thời gian phục vụ một gói số liệu: E(T)/1/|LI = |iE (T)，thì theo (2-9)，|iE(T) =1/(1-p). Đường coỉia biêu dicn sụ* thay dôi của ịiE(T) theo p được thê hiện trên hình 2.4. Trons miền p 1ỚIÌ (tien gần tới 1), nó có dạng giốnu dirờnsỉ cons biểu diễn sự thay đổi của E(n) theo p, đa dược vẽ trên hình 2.3.
Cho p « 1 . ta SC nhạn được E(T) =1/|.L dỏ cfuiiz chính là thời sian phục vụ trunụ hinlì Iiìột uỏi số liệu. Dây là trườne hợp. tính tmnu bình cỏ một số ít ẹói số liệu ờ
khôna phải chờ, do đỏ thời gian trê hâu như chỉ bao gôm thời gian phục vụ (tức thời gian truyền một gói số liệu vào mạng),
Khi lưu lượng đến tăng lên (X tăng), dẫn đến tải chuẩn hoá p tăng lên, E(T) bắt
đâu tăng lên nhanh chóng. Thí dụ cho p=0.5, độ trê được chuân hoá 成 (丁)=2, nghĩa là độ trề truns bình E(T)=2/ịi，2ấp đôi thời RÌan phục vụ; nói cách khác, thời sian
, ， V
trung bình mà gỏi sô liệu phải chờ đê được phục vụ băng thời gian phục vụ trung