Cho ma trận vuông A cấp n . Số λ được gọi là một giá trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vecto cột x ≠ 0, x ∈ , sao cho A x = λ x . Khi đó vecto x được gọi là vecto riêng của ma trận A tương ứng với giá trị riêng λ .
2. Cách tìm.
Với A là ma trận vuông cấp n đã cho thì vecto cột x ≠ 0 là vecto riêng của ma trận A khi và chỉ khi A x = λ x hay : A x - λ x=0
x = Ix (I là ma trận đơn vị có kích thước n x n) A x - λ I x = 0
(A - λ I) x = 0
Giá riêng λ là nghiệm của đa thức |A - λ I| = 0
Nếu khai triển định thức ta sẽ được một đa thức với biến λ . Đa thức này gọi là đa thức đặc trưng .Nếu A là mà trận n x n thì đa thức này có dạng sau :
Giá trị riêng và vecto riêng của MT
3.Lệnh eig
Tính giá trị riêng và vecto riêng của ma trận vuông sử dụng được cho các hai phương pháp số va symbolic.
Cú pháp : d = eig(A) : trả về ma trận d mà các giá trị riêng là các phần tử năm trên đường chéo chính . [V,D] = eig(A) : trả về vecto riêng chứa ma trận V và giá trị riêng chứa trong ma trận D.
Giá trị riêng và vecto riêng của MT
4.Lệnh poly
Trả về đa thức của ma trận A.
Cú pháp : poly(A) nếu A là một ma trận symbolic , thì kết quả trả về là một đa thức đặc trưng. Nếu A là một hàm ma trận số thì kết quả trả về là một mảng chứa các hệ số của đa thức này.
Giá trị riêng và vecto riêng của MT
5.Tính định thức , nghịch đảo, lũy thừa của ma trận thông qua ma trận giá trị riêng và vecto riêng.
MATLAB cung cấp một số hàm để tính định thức, nghịch đảo, và lũy thừa của ma trận nhe det, inv, expm. Ngoài ra căn cứ vào các tính chất của ma trận , ta có thể tính toán thông qua các biểu thức :
• Với D và V là các giá trị riêng và các vecto riêng đã được chuẩn hóa của ma trận A. Vì ma trận các giá trị riêng là ma trận đường chéo có nghĩa là các phần tử khác không chỉ nằm trên đường chéo chính do vậy việc thực hiện nghịch đảo ma trận, tính định thức ma trận, lấy lũy thừa ma trận được đơn giản đi rất nhiều nếu chúng ta thực hiện trên ma trận đường chéo chính
Giá trị riêng và vecto riêng của MT
Tiếp
Chú ý : Hàm eig của MATLAB không cung cấp cho chúng ta ma trận vecto riêng được chuẩn hóa . Do đó để sử dụng các tính chất của ma trận ở trên chúng ta cần chuẩn hóa chúng trước
Giá trị riêng và vecto riêng của MT
Giá trị riêng và vecto riêng của MT