2 Động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hoành của vi phôi
2.5 Động lực ký hiệu gần điểm đẳng nghiêng hoành
Cho U là tập mở nằm trong Rn và f : U −→ Rn là C1 vi phôi. Giả sử rằng x0
là một điểm bất động hyperbolic của f và {yk}∞
k=−∞ ={fk(y0)}∞
k=−∞ là một quỹ đạo đẳng nghiêng hoành. Khi đó ta đã chứng minh trong phần 2.3 rằng tập
S ={x0} ∪ {yk:k ∈Z}
là một tập hyperbolic compact đối vớif.
Trong định lý sau đây, ta đặc trưng các tập bất biến cực đại
SO ={x∈O¯ :gk(x)∈O¯ với mọi k∈Z}
trong các lân cận mở nào đó củaS và đưa ra một mô tả động lực ký hiệu của các tập bất biến này.
Trực quan hình học, ta có thể thấy động lực xung quanhS khá giống với tình huống của ánh xạ móng ngựa trên tập móng ngựa đã xét ở trên.
Định lý 2.5.1. Cho x0 là một điểm bất động hyperbolic của C1 vi phôi f :U −→Rn
với quỹ đạo đẳng nghiêng hoành liên kết {yk = fk(y0)}∞
k=−∞. Khi đó tồn tại một số nguyên dương J sao cho với mọi số nguyên dương L đủ lớn, tồn tại lân cận mởO của tập
S ={x0} ∪ {yk :k ∈Z},
tồn tại đồng phôi φ:Y −→φ(Y)⊆SO sao cho
φ◦σ=f◦φ,
trong đó σ:Y −→Y là hàm dịch chuyển (trái) bởi
σ({ak}∞k=−∞) = {ak+1}∞k=−∞,
vàY ={(...a−1a0a1...), ak ∈ {0,1, ..., J}}là tập ký hiệu của các dãy hai chiều{ak}∞
k=−∞ với ak∈ {0,1, ..., J} được mô tả có các tính chất sau đây:
(i) nếu ak= 0 6=ak+1 thì ak+1 = 1;
(ii) nếu ak =j ∈ {1, ..., J −1} thì ak+1=j+ 1;
(iii) nếu ak =J thì ak+l= 0 với 1≤l≤L.
• Xác định số ký hiệuJ + 1;
• Xây dựng tậpY như trong phát biểu định lý;
• Xây dựng tậpO chứa S;
• Dùng tính bóng và tính co giãn để xây dựng đồng phôi φ sao cho
φ◦σ =f◦φ.
Nhắc lại, Smale đã chứng minh(f,Λ)liên hợp với(σ,P
2). Định lý trên nói rằng(f, SO)
liên hợp với(σ, Y).
Chứng minh Giả sử M và δ0 là các hằng số tương ứng với tập hyperbolic S như trong định lý 1.5.1 và đặt
ε0 =M δ0.
Ta điều chỉnh δ0 đủ bé sao cho tập bất biến cực đại của f trong lân cận ε0 bóng của
S là hyperbolic (xem Định lý 1.4.2) và cho dlà hằng số mở rộng của tập bất biến cực đại này ứng với một lựa chọn bất kỳ đối với β1, β2 (xem Mệnh đề 1.6.1). Khi đó đặt
δ1 = min{δ0, ε0/4, d/4}
và chọn một số nguyên dương k+ và một số nguyên âm k− sao cho
||yk−x0||< δ1
nếu k ≥k+ hoặc k ≤k−. Tiếp theo đặt
J =k+−k−−1
và định nghĩa
I0 ={x0} ∪ {yk :k≤k− hoặc k≥k+}.
Chọn ε >0 với
ε≤ε0/2 và ε≤d/6
sao cho bao đóng của các tập mở
V0 =B(I0, ε) ={x:||x−z||< εvới z∈I0}, Vj =B(yk−+j, ε) (j = 1,2, ..., J)
rời nhau từng đôi một và sao cho f(V0)∩Vi là rỗng với2≤i≤J vàf(Vj)∩Vi là rỗng với 1≤j ≤J−1, i=6 j+ 1 và j =J, i6= 0. Bây giờ đặt
δ=ε/2M
sao cho ε/2 =M δ và chọn một số dương k∗ sao cho với mọik ≥k∗
||yk−−k−x0|| ≤δ,||yk++k−x0|| ≤δ.
Khi đó lấy
L≥2k∗+ 1
và thay VJ bằng giao của nó với
L
T
k=1
f−k(V0). Cuối cùng ta định nghĩa lân cận mở O
của S là O = J [ j=0 Vj. Xét một quỹ đạo {wk}∞
k=−∞ của S nằm hoàn toàn trong O. Từ các tính chất của tập
Vj ta thấy rằng wk∈V0, wk+1 ∈/ V0 =⇒wk+1 ∈V1; wk ∈Vj và 1≤j ≤J −1 =⇒wk+1 ∈Vj+1; wk∈VJ =⇒wk+l ∈V0 với 1≤l ≤L. Ta định nghĩa ak =j
nếu wk∈Vj. Rõ ràng là ta có được một dãy hai phía {ak}∞k=−∞∈Y và viết
{ak}∞k=−∞ =α {wk}∞k=−∞
.
Ta chỉ ra rằng ánh xạ α xác định các quỹ đạo trong O sang Y là 1-1. Do đó cho
α {wk}∞
k=−∞
={ak}∞
k=−∞. Ta định nghĩa một δ0 giả quỹ đạo {zk}∞
k=−∞ của f trong S bằng cách lấy zk= yk−+j nếu ak =j, 1≤j ≤J, x0 nếu ak =ak+1 = 0, yk− nếu ak = 0, ak+1 = 1.
Ta thấy rằngf(zk) =zk+1 nếuak=j, 1≤j ≤J−1hoặc nếu ak = 0, ak+1 = 1 hoặc nếu ak =ak+1 =ak+2 = 0. Nếu ak =J, thì
và nếu ak =ak+1 = 0 nhưngak+2 = 1 thì
||zk+1−f(zk)||=||yk−−x0||< δ1 ≤δ0.
Do đó {zk}∞
k=−∞ là một δ0 giả quỹ đạo. Tiếp theo ta lưu ý rằng wk ∈Vj ⊂B(yk−+j, ε)
vàzk=yk−+j nếuak =j và1≤j ≤J sao cho||wk−zk|| ≤ε < ε0. Nếuak = 0, wk ∈V0
sao cho tồn tại l với l ≤ k− hoặc l ≥ k+ sao cho ||wk−yl|| < ε. Khi đó, do zk = x0
hoặc yk−,
||wk−zk|| ≤ ||wk−yl||+||yl−x0||+||zk−x0||< ε+ 2δ1 ≤ε0.
Như vậy {wk}∞
k=−∞ ε0 bóng với δ0 giả quỹ đạo và khi đó, theo Định lý 1.5.1 và cách chọnε0, δ0 là duy nhất. Như vậy α là 1-1.
Tiếp theo ta chỉ ra rằng α là lên. cho một dãy {ak}∞
k=−∞ trong tập Y. Ta định nghĩa một δ giả quỹ đạo {zk}∞
k=−∞ của f trong S với zk ∈Vak như sau. Nếuak=j,1≤j ≤J, ta lấy
zk=yk−+j;
tương ứng với một đoạn của (ít nhất L) các số không giữa J và 1, ta lấy cùng một số các điểm
yk+, ..., yk++k∗−1, x0, ..., x0, yk−−k∗, yk−−k∗+1, ..., yk−
tương ứng với vô số các số 0trước 1, ta lấy vô số các điểm
..., x0, ..., x0, yk−−k∗, yk−−k∗+1, ..., yk−;
tương ứng với vô số các số 0 sau J, ta lấy vô số các điểm
yk+, ..., yk++k∗−1, x0, ..., x0, ....
Nếu ak = 0 với mọi k, ta lấy zk =x0 với mọi k. Chỉ có một số k để zk+1 6=f(zk) sao cho zk=yk++k∗−1, zk+1 =x0 khi
||zk+1−f(zk)||=||x0−yk++k∗|| ≤δ
và các giá trị mà zk =x0, zk+1 =yk−−k∗ khi
||zk+1−f(zk)||=||yk−−k∗−x0|| ≤δ.
Như vậy {zk}∞
k=−∞ thực ra là một δ giả quỹ đạo với zk ∈ Vak. Theo Định lý 1.5.1 và chọn ε, δ, tồn tại duy nhất một quỹ đạo {wk}∞
đối với giả quỹ đạo này. Nếu ak = j với j = 1, ..., J −1, thì zk = yk−+j và như vậy
||wk−yk−+j|| ≤ε/2,suy ra rằngwk∈Vj. Nếuak = 0, zk ∈I0và do||wk−zk|| ≤ε/2< ε, suy ra rằng wk ∈ V0. Nếu ak =J, zk =yk−+J và như vậy wk ∈B(yk−+J, ε). Cũng vậy, do ak+l = 0 với l = 1, ..., L, suy ra rằng wk+l = fl(wk) ∈ V0 với l = 1, ..., L. Như vậy, nếu ak = J, wk ∈ VJ. Khi đó quỹ đạo thực {wk}∞
k=−∞ nằm trong O và sinh ra
{ak}∞
k=−∞. Như vậy α là ánh xạ lên, và ta hoàn tất chứng minh. Nếu α {wk}∞ k=−∞ ={ak}∞ k=−∞, ta định nghĩa φ({ak}∞k=−∞) =w0.
Rõ ràng φ:Y −→Rn được định nghĩa như vậy là 1-1. Bây giờ ta chỉ raφ là liên tục. Trước hết ta lưu ý rằng tập hợp mọi dãy hai phía {ak}∞
k=−∞ với ak ∈ {0,1, ..., J} là một không gian metric compact. Rõ ràng, Y là một tập con đóng và do đó cũng là một không gian metric compact. Tiếp theo cho ε1 >0 và chọn một số nguyên dương
N sao cho
[L1β1N +L2β2N]d < ε,
trong đó L1, L2, β1, β2 là các hằng số từ Mệnh đề 1.6.1 như được xác định ở đầu của chứng minh này. Giả sử {a(m)k }∞
k=−∞ −→ {ak}∞
k=−∞ khi m −→ ∞, cho {zk(m)}∞
k=−∞ và
{zk}∞
k=−∞ tương ứng là các δ giả quỹ đạo như đã được xây dựng trong chứng minh α
là lên và cho{w(m)k }∞
k=−∞ và {wk}∞
k=−∞ tương ứng là ε/2 bóng các quỹ đạo sao cho
φ({a(m)k }∞
k=−∞) = w0(m), φ({ak}∞
k=−∞) =w0.
Lưu ý rằng||w(m)k −wk|| ≤ε+||z(m)k −zk||= 2M δ+||zk(m)−zk|| với mọik. Bây giờ sẽ tồn tại một số nguyên dương M0 sao cho nếu m≥M0, ak(m) =ak với −N ≤k ≤N và khi đó zk(m) và zk cùng nằm trong Vj đối với−N ≤k ≤N.Do đó nếu m≥M0,
||wk(m)−wk|| ≤2M δ+ 4M δ+ 2δ1 ≤d
với −N ≤ k ≤ N. Khi đó, do cả hai {wk(m)}∞
k=−∞ và {wk}∞
k=−∞ là các quỹ đạo của f
trong lân cận ε0 bóng của S, suy ra từ Mệnh đề 1.6.1 và sự lựa chọn d của chúng ta rằng
||w(m)0 −w0|| ≤[L1β1N +L2β2N]d.
Như vậy, nếu m≥M0,
Như vậy φ là liên tục.
Bây giờ, doY là một không gian metric compact, suy ra rằngφ:Y −→φ(Y)⊂Rn là một vi phôi lên ảnh của mình.
Cuối cùng do α({wk+1}∞k=−∞) ={ak+1}∞k=−∞ =σ({ak}∞k=−∞), suy ra rằng φ(σ({ak}∞k=−∞)) =w1 =f(w0) =f(φ({ak}∞k=−∞)). Khi đó φ◦σ =f ◦φ và định lý được chứng minh. 2
Kết luận
Trong luận văn này, chúng tôi đã chứng minh rằng động lực xung quanh điểm đẳng nghiêng hoành thực chất là một loại động lực ký hiệu trên một tập con của không gian ký hiệu Y với Y = {(...a−1a0a1...), ak ∈ {0,1, ..., J}} là tập ký hiệu của các dãy
{ak}∞
k=−∞ với ak ∈ {0,1, ..., J} được mô tả có các tính chất sau đây: (i) nếuak= 0 6=ak+1 thì ak+1 = 1;
(ii) nếuak =j ∈ {1, ..., J−1} thì ak+1 =j+ 1;
(iii) nếu ak =J thì ak+l = 0 với 1≤l ≤L.
Kết quả này cho phép chuyển các tính chất định tính của vi phôi trên tập bất biến cực đại về các tính chất tương ứng của hệ động lực ký hiệu.
Động lực xung quanh điểm đẳng nghiêng không hoành phức tạp hơn nhiều. Chúng tôi dự định nghiên cứu vấn đề này trong thời gian tới.
Tài liệu tham khảo
[1] D.V. Anosov and V.V. Solodov, (1995), "Hyperbolic sets",Dynamical Systems IX, Springer -Verlag, Berlin, 10-92.
[2] D.V. Arrowsmith and C,M. Place, (1990),An Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, Cambridge.
[3] E. Akin, (1993), The General Topology of Dynamical Systems, Amer.Math.Soc, R.I. Providence.
[4] F. Botelho and L. Chen, (1993), "On the rotation shadowing property for annulus maps",Continuum Thoery and Dynamical Systems, New York, 35-42.
[5] Palmer Ken, (2000), Shadowing in Dynamical Systems Theory and Applications, Kluwer Academic Publishers.
[6] N. Aoki, (1982), "Homeomorphisms without the pseudo-orbit tracing property",
Nagoya J. Math, (88), 155-160.
[7] N. Aoki, (1983), "On homeomorphisms with pseudo-orbit tracing property",Tokyo J. Math, (6), 329-334.
[8] N. Aoki, (1989), "Topological dynamics",Topics in General Topology, North- Hol- land, Amsterdam, 625-740.
[9] N. Aoki and N. Hiraide, (1994),Topological Theory of Dynamical Systems, Recent Advances, North-Holland, Amsterdam.
[10] Perko Lawrence, (1991), Differential equation and dynamical systems, Springer Press.