VI DÍ 1-3.13 ([11]): Vói 77 =4 and p =2 eó duy nhăt mot da thùc thoă
PHAN RA B{Z/p)l QUA BIEU DIEN CÙA NHÓM F ; V O I m \ n
Trong chuang năỵ vói m \ 7Ì chùng tòi mò tă phăn ră on dinh cùa B(Z/py^ qua biĩu diĩn modula cùa nhóm F*m . Khi 777 = 1, B{Z/p)^ d u a c phăn ră
thănh p — 1 bang t ù ma căc phăn t ù lùy dăng t u a n g ùng duge mò tă t u ó n g minh va diĩu thù vi n h a t lă so lan xuat biĩn cua căe bang t ù khòng phăn tieh
dugc trong mói bang t ù năy dĩu dugc biĩt dĩn. Khì m = n. chùng tòi mò tă su xuăt biĩn cua mot so bang t ù khòng phăn tich d u g c cùa B{Z/p)^ trong căc bang t ù YuU)- ^ ^ ^ t)iĩt khi j9 = 2 va 77 > 3. chùng tòi chùng minh d u g c răng mói bang t u YnU) Inòn luón chùa it nhăt mot bang t ù Steinberg.
2 , 1 . B i ĩ u d i ĩ n băt khă quy cùa F*r,. trĩn Fp,
Trong doan năỵ chùng tòi xĩt 777 lă mot uóc cua 7/. Khi dò ; / " — 1 lă mot
uóc cua 77" — 1 va
F;.. = < 9f^ > e F;„ C GLn.
Căe tăp Ji(777). 1(777) va so d u a n g -,(777) d u g c dinh nghìa giòng nhu .7,. I
va Cj, chi viĩc thay 77 bó'i 777.
DlNH NGHÌA 2 . 1 . 1 . Vói i e I{m), dat
g^(m) = J2 H ^J-
u=0 j = i p " ( m o d p^-l)
BÓ D E 2.1.2 ([12]). (i) g,{m) G Fp[F*m], va (ii) căc g,{m) lă căc phan tù lùy dang truc giao nguyĩn thùy eó tong bang 1 trong Fp[F*u,]. nghìa lă
{Fp[F*rr.]gi(7n) \ i E /(???)} -/ă mot tăp day dù goni căc biĩu diỉn l)ăt kiiă quy cùa F*m trĩn Fp.
CHÙ*NG MINH: (i) Chùng ta eó
; , f " 0 - l ; j " - 2 g - l i/=0 k=0 1=0 trong dò g =:= ^ ^ ^ 9 = l(niod p). va \r^^-tc{,p-^i(p"^-i)) _ f ^ ^^^ ^ / ^'^ ;z^'^ l q^-'''^ nĩuq \ k. DO dò g,im) = - E , C ~ ^ ^ u - ^ ' ^ ^rong dò x,,„, = E ^ ' I ^ ^ " ' ^ ' ~ ' ' ' ' " - Chùng ta eò x^jn, G Fp (vì ĩ{xjjm) = ^ ^ m ) va 0'^ E F^*r., vì thỉ <?,(r77) E Fp[F^*^]. (ii) Dat Ei{rn) = {cj \ tj xuăt hiỉn trong ^1(777)}. Khi dò Uj^j{nì)Ej(m) =
{cj I 0 < j < p " - 2} va F,(7?7) n E,'{m) = 0 vói 7,7' E 7(777). / ^ 1'. Do dò
căc (7,(777) lă căc phăn t ù lùy dăng truc giao co tòng bang 1. T ù ([iG]. 3.5). eăc
phăn t ù (7,(777) lă nguyĩn thuy trong Fp[F*rn].
C H I ' Y 2.1.3 ([12]): (i) Vì Fp[F*n.] lă n ù a d a n va giao hoăn. nĩn nò phăi bang tóng truc tiĩp cùa eăc t r u ó n g . Fp[F*,n] = 'r>Fp[F*,n]gj{7ìi) the biĩn su phăn
tich năỵ Ngoăi ra căc .9,(777) tao thănh mot tap duy n h ă t góm căe phăn t ù lùy
dang t r u c giao nguyĩn thuy eó tòng bang 1 trong Fp[F*m]. Diĩu năy eó duge
t ù ([29], 1.5), nghla lă hai phăn tieh băt k}' cùa d a n vi thănh căc phăn tu lùy dăng t r u c giao nguyĩn thùy thì liĩn h g p .
(ii) gi{n) chinh lă /{ a trong C h u a n g 1, nghla lă gi{n) = ^j^j ^j- Dat
Zn,mí) = g^{m)B{Z/p)l.
Khi dò
(2.1.4) Z„,„(^) = Yn{i) = f^B{Z/p)l - \/YnU) - \/ z,á,,X[,^ , jeJi A€Á
trong dò á^^ d u g e xăe dinh nhu trong (1.3.8). D I N H LY 2.1.5 ([12]). B{Z/p)l - V Zn, Zn,m{^) :^ V( E -'^AJẤ i 6 / ( m ) (A) A6Á vel v(mod p ' " - l ) 6 7 , ( m ;
CHÙ-NG MINH: Phăn dău d u g c suy r a t ù Bo de 2.1.2. Chùng ta eó duge t ù Dinh nghla 2.1.1
gi{m) = ^ f„. vei
w(mod p " ^ - l ) € J , ( m }
Khi dò phăn t h ù hai d u g c kĩo theo t ù (2.1.4).
2.2. Trucrng horp m = l.
Trong doan năy, chùng tòi xĩt t r u ó n g hgj^ rr? = 1. Khi dò Ji(l) = {?'} va gdì)= E e,- .
j = i ( n i o d /J —1 )
BÓ D E 2.2.1 ([13]). Căc giă tri riĩng doi vói tăc dóng cùa 9 lĩn mòdun Weyl
W^ lă uj^'' K trong dò T lă mot a-băng nùa tiĩu cliuăn eó nói dung (l3ị.. . . ^n)
va /3(r) = ( E L : P'-'Pkìimod P" - 1).
C H Ù ' N G MINH: Vi căc giă tri riĩng cùa 9 lă 0 ; , ^ ^ , . . . ,UJ^ nĩn eăc giă tri
riĩng dói vói căc tăc dóng cùa 9 va m a tran chĩo diag(Lj, c j ^ , . . . , u;^ ) lă nhu
nhaụ Bó' de d u g e kĩo theo t ù Mĩnh de 0.3.3.
BÓ D E 2.2.2 ([13]). Căc giă tri riĩng doi vói tăc dóng cùa 9 lĩn 5(A) CO dang
uj^ vói j = mx{niod p — 1).
C H Ù ' N G MINH: Giă su a lă phăn hoach cùa rrix- T ù Bo de 2.2.1, chùng ta ^^ v ^ ^ ^ . ^ . X . - • • - " ò ^ " • ' ' - • ' — - v " & - — " - — " ' ' = * . 0 ' d a y
"^A = E L i ^^- = ( E L i P^ ^Pk){mod p - 1). Chùng minh duge hoăn thănh tù viĩc S(x) lă mot nhăn tù hgp thănh cùa W^. tù viĩc S(x) lă mot nhăn tù hgp thănh cùa W^.
DINH LY 2.2.3 ([13]). ZnÂ) ^ V {ăìmS[,^)X'^^^ , ZnÂ) ^ V {ăìmS[,^)X'^^^ , AGÁ Tn\ = i ( m o d p~l ) ZnAi) c, V (dim5(,))X(,) . AGA mx = i { m o d p — 1)
CHÙ'NG MINH: TÙ Dinh ly 2.1.5, chùng ta eó X'^^^ lă mot bang tù cùa Zn,\{i) nĩu va chi nĩu tón tai ^ E / sao cho j = i (mod p — 1) va á^j 7^ 0. Tù (2.1.4) nĩu va chi nĩu tón tai ^ E / sao cho j = i (mod p — 1) va á^j 7^ 0. Tù (2.1.4)
va căe Bo de 1.2.3 va 2.2.2, diĩu năy dăn dĩn {LU^,... ,UJJP^'~' } C {uj^ \ k = mĂmod p — 1)} va j = i (mod p—1) vói 7 E 7 năo dò. Tù dò suy ra TTIA = i mĂmod p — 1)} va j = i (mod p—1) vói 7 E 7 năo dò. Tù dò suy ra TTIA = i