I f/ iscontinuous and belongs to Li(R ), then lim íT f) [x) =( Ff) ( ).
f(x)=f( c)+fg(t )dt c
/" (* ) £ 0 , V x € I(a,b).
Tư đó, ta có nhận xét, khi hàm f ( x ) lồi trên l(a, b) thì đạo hàm bảc nhất cùa nó Là một hàđơn điệu tăng. đơn điệu tăng.
Do vậy, ta có thể phát biểu tính chất biểu diễn hàm lồi như saụ
Đ ịn h lí 7. Hàm f ( x ) lồi trên I(a,b) khi và chi khi tồn tại hàm g(;c) đơn điêu tăng trong I(a,b)số c e (a, b), sao cho số c e (a, b), sao cho
X
f ( x ) = f ( c ) + f g ( t ) d t .c c
f ( x ) = f ( c ) + f g ( t ) d t .c c
thưc tiễn.
Trong m u c này, ch ú n g ta đăc biệt quan tám đến m ột d an g biểu d iễn hàm lồi và hàm lõ th ô n g qua các hàm số bâc nhất, vì lớp hàm nàv đơn giản và dễ tính toán trên tâp giá tn C1 ch ú ng.
Đê’ V r à n g , n ế u / ( : r) là h à m lồi liê n t ụ c trên [ a, b\ và VỚI m ô t c á p s ố d ư ơ n g ( i x , /3) V
a + Ịỉ = 1 xày ra đẳng thức
a f íã) — Ịìf ',b' = f { oca + ị3b)
thi fix) là hàm sỏ (đa thức) bậc nhcĩt
VI vâv, k h i h à m s ố f ( x ) lồi và k h ả VI tr ê n I ( a , b ) th i đ ồ th i c ủ a n o l u ô n l u ô n t h u ô c rr m ậ t p h ă n í Ị t r ẽ n t a o n ê n b ở i tiề p t u v ẽ n tại m ỏ i đ i ê m tu v V c h o t r u c e c ù a đ r ;h: \ ' t ' i cá' k h á c , n ế u f ( x ) l ồ i t r ẽ n I ( a , b) t h i v ó i m o i c ă p .To, X C U a . b ) , t a đ ê u c o f \ x ) 2 f ( X ù ) - / " ( - t o ) i . r - ,T0 )- ' T h ậ t vậv, ta c ó ( 5 ) t ư o n g đư ơ nọ; VỚI <: -ĩ [x] — 1 —^ 1 , khi -t > .To; xủ, x £ b . X - Xo r'(.r0) > khi T < x0; ,x0, X € ỳ.ì.r X - A-0
Các bất đẳn g thức ị6) và (7) là hièn nhiên (theo Định lí Lagrangé.
D ễ n h â n t h ấ v rằrnỊ I 5) x ả v ra đ ả n g t h ứ c k h j XQ = X. Vây ta cc t h e :et r C -c i d a n c
f { x ) — m i n [ / 0 0 - r / ' ( u ) ( . T - u)].
Tuoivt tụ ta cũniỉ có biẽư diẻn đỏi vói ham lom.
Khi hàm số f ( x ) lõm và khả VI trên I(a, ỉ?) thi đ è thi của nó ửm òc nủa n à i phảng
t a o b ờ i t i ế p t u v ẽ n tai m õ i đ i ê m t u ỳ V t h u ộ c đ o thi, tu c 1*3 \01 m o i c a p X. , X - . 1
có