6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN ÁN
2.5.2.Mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều
Đầu tiên, ta nhắc lại khái niệm hạt nhân. Hạt nhân K của quá trình U(t, τ) là tập chứa mọi quỹ đạo đầy đủ bị chặn của quá trình U(t, τ):
K ={u(.)| U(t, τ)u(τ) =u(t),dist(u(t), u(0)) ≤Cu,∀t≥ τ, τ ∈ R}.
Tập K(s) ={u(s) : u(.)∈ K} được gọi là hạt nhân tại thời điểm t= s, s∈R. Giả sử Ω là miền bị chặn và hàm ngoại lực g thỏa mãn:
(H2bis)g ∈ L2
b(R;H) là hàm bị chặn tịnh tiến (có thể xem chi tiết về lớp hàm này trong [13, 51]), với chuẩn
kgk2L2
b = sup
t∈R
Z t+1
t |g(s)|2ds <∞.
Kí hiệu Hw(g) là bao đóng của tập {g(·+h)|h ∈ R} trong L2
loc(R;H) với tô-pô yếu. Ta đã biết Hw(g) là compact yếu trong L2
loc(R;H). Do Định lí 2.1, với mỗi hàm ngoại lực σ ∈ Hw(g), bài toán (2.1) có duy nhất một nghiệm yếu
Uσ(t, τ)uτ với dữ kiện ban đầu uτ. Do đó, ta thu được một họ các quá trình
{Uσ(t, τ)}σ∈Hw(g) liên kết với bài toán (2.1). Kết quả sau đây được chứng minh bởi G. Yue và C.K. Zhong [51] khi Ω là miền bị chặn.
Định lí 2.4. Giả sử điều kiện (H1),(H2bis) được thỏa mãn. Khi đó, họ các quá trình {Uσ(t, τ)}σ∈Hw(g) có một tập hút đều AHw(g) trong V, tức là một tập compact, hút mọi tập bị chặn của V đều đối với σ và có tính chất cực tiểu (là tập đóng nhỏ nhất có tính chất hút này). Hơn nữa,
AHw(g) = [
σ∈Hw(g)
Kσ(s), ∀s ∈R,
trong đó,Kσ(s)là hạt nhân tạit= stương ứng vớiKσ của quá trình{Uσ(t, τ)} với hàm biểu trưng σ ∈ Hw(g).
Hiển nhiên, điều kiện (H2bis) suy ra điều kiện (H2). Như đã chứng minh trong Định lí 2.2, với mỗiσ ∈ Hw(g), quá trình{Uσ(t, τ)}liên kết với Bài toán 2.1 có duy nhất một tập hút lùi Aˆσ = {Aσ(t) : t ∈ R} trong V. Hơn nữa, ta có mối quan hệ giữa tập hút lùi và tập hút đều như sau.
Định lí 2.5. Giả sử các điều kiện (H1),(H2bis) được thỏa mãn. Khi đó, với mỗi σ ∈ Hw(g), quá trình Uσ(t, τ) có duy nhất một tập hút lùi Aˆσ = {Aσ(t) :
t∈ R} trong V, và
Aσ(s) =Kσ(s), [
σ∈Hw(g)
Aσ(s) =AHw(g), ∀s ∈R,
trong đó AHw(g) là tập hút đều của bài toán (2.1), Kσ là hạt nhân của quá trình Uσ(t, τ).
Chứng minh. Do Aˆσ là hấp thụ lùi và Aσ(s) là compact, nên
Kσ(s)⊂Aσ(s), với mọi s ∈R.
Mặt khác, do định nghĩa của Kσ(s) và tính bất biến của Aˆσ, ta có
Aσ(s)⊂ Kσ(s), với mọi s ∈R.
Vì vậy
Aσ(s) =Kσ(s), với mọi s ∈R. (2.39) Kết hợp (2.39) và kết quả của Định lí 2.4, ta được
AHw(g) = [ σ∈Hw(g) Kσ(s) = [ σ∈Hw(g) Aσ(s), ∀s ∈R. Định lí được chứng minh.