Định nghĩa 3.2.1: Quan hệ xấp xỉ (proximity relation)
Ký hiệu X là một tập hữu hạn các đối tượng. R là tập các giá trị thực không âm.
Hàm S ∶ X x X ⟶ R được gọi là một quan hệ xấp xỉ nếu S thỏa mãn điều kiện đối
xứng S(x,y) = S(y,x).
Định nghĩa 3.2.2: Quan hệ không tương tự (dissimilary relation)
D được gọi là một quan hệ không tương tự nếu D là quan hệ xấp xỉ và D(x,x) = 0 mọi x thuộc X.
D(x,y) được xem là giá trị không tương tự hoặc khoảng cách giữa đối tượng x và đối tượng y.
Định nghĩa 3.2.3: Quan hệ tương tự (similary relation)
S được gọi là quan hệ tương tự nếu S là quan hệ xấp xỉ và S thỏa mãn điều kiện phản xạ (reflexivity): S(x,x) = I, trong đó I = maxy,z(S(y,z)) với mọi x,y,z∈ X.
*Tập tất cả các quan hệ tương tự trên X ký hiệu là S(X).
*Từ quan hệ tương tự S có thể có được quan hệ không tương tự D và ngược lại, ví dụ: D(x,y) = I - S(x,y).
Định nghĩa 3.2.4: Quan hệ tương đương định trị (valued equivalence relation)
Quan hệ tương tự S thỏa mãn quan hệ định trị phản xạ và đối xứng, và S thỏa mãn trên X điều kiện bắc cầu (transitivity): S(x,y) ≥ min{S(x,z),S(z,y)}, thì quan hệ S được gọi là quan hệ tương đương định trị.
Tính chất quan hệ tương đương định trị đã được nghiên cứu trong [28,30]. Tính chất bắc cầu là tương đương với bất đẳng thức siêu metric (ultrametric): D(x,y) ≤ max{D(x,z)},D(z,y)}
Nếu S là quan hệ tương đương định trị thì D(x,y) = I - S(x,y) là một ultrametric và ngược lại. Tính chất của ultrametric đã được nghiên cứu trong các tài liệu [1,19,20,22,29].
Định nghĩa 3.2.5: Quan hệ gốc và quan hệ định trị
Với mọi số thực a, quan hệ định trị S định nghĩa một quan hệ gốc S[a] và quan hệ định trị Sa như sau:
S[a] = {(x,y) ∈ X⎪S(x,y) ≥ a};
Sa(x,y) = 1, nếu S(x,y) ≥ a và Sa(x,y) = 0, nếu S(x,y) < a.
Quan hệ định trị Sa được xem như là một hàm đặc trưng của quan hệ gốc S[a]. Từ a < b kéo theo S[b] ⊆ S[a] và Sb ⊆ Sa. Từ tính đối xứng và phản xạ của S dẫn đến: với mọi a ∈ R, quan hệ gốc S[a] cũng đối xứng và phản xạ. Nếu S là bắc cầu thì tất cả S[a]
sẽ là các quan hệ bắc cầu. Kết quả là, quan hệ tương đương định trị định nghĩa một tập con bên trong của quan hệ tương đương gốc và vì vậy một phần bên trong của X trên các lớp tương đương.
Định nghĩa 3.2.6: Lớp tương tự
Tập con A của X được gọi là lớp tương tự của quan hệ tương tự S trên X nếu S(x,y) > S(x,z) với mọi x,y ∈A và z ∉A, z∈ X.
Lớp tương tự A có thể được xem như là một cụm tự nhiên trong tập X.
Giá trị s = minx,y∈A{S(x,y)} được gọi là độ mạnh của lớp tương tự A.
Mệnh đề 1. Tập các lớp tương tự của một quan hệ tương đương định trị S trùng hợp với tập các lớp tương đương của các quan hệ S[a], a∈R.
Định nghĩa 3.2.7: Quan hệ sắp thứ tự ⊆
Quan hệ sắp thứ tự ⊆ được định nghĩa trên S(X) như sau: S ⊆ T nếu S(x,y) ≤ T(x,y), ∀ , ∈ ,
S ⊂ T nếu và chỉ nếu S⊆T và S ≠ T.
Tập S(X) là một tập được sắp thứ tự bộ phận nếu thỏa mãn quan hệ sắp thứ tự ⊆.
Định nghĩa 3.2.8: Phép toán ∩ và ∪
Các phép toán ∩ và ∪ được định nghĩa trên S(X) như sau: (S∩T)(x,y) = min(S(x,y), T(x,y)),
(S∪T)(x,y) = max(S(x,y), T(x,y)).
Chú ý: Giao của các quan hệ tương đương định trị sẽ cho một quan hệ tương đương định trị nhưng với phép toán hợp thì tính chất tương tự nhìn chung không có.
Định nghĩa 3.2.9: Phép hợp thành (composition) S°T
Hợp thành S°T của các quan hệ định trị S và T trên X được định nghĩa như sau: (S°T)(x,y) = ∨z∈X(S(x,z)∧T(z,y)).
(Ở đây, ⋁ là max, ⋀ là min).
Bắc cầu của S có thể được viết dưới dạng S ⊇ S°S.
Định nghĩa 3.2.10: Bao đóng bắc cầu
Bao đóng bắc cầu S của S được định nghĩa như sau: S = ⋃∞ S , với Sk = Sk-1 °
S với k > 1, và S1 = S.
Từ tính phản xạ của S và từ ⎪X⎪= n kéo theo S ⊆ S2 ⊆ S3 ⊆ … ⊆ Sn-1 = Sn =… và vì vậy S = Sn-1. Bao đóng bắc cầu S của S được ký hiệu là TC(S).
Bao đóng bắc cầu của quan hệ tương tự S có các tính chất sau đây:
S là một quan hệ tương đương định trị, nói cách khác S là bắc cầu;
S là bắc cầu nếu và chỉ nếu S = S;
Nếu S ⊆ T thì S⊆T;
S ⊆ S và S là một quan hệ định trị bắc cầu nhỏ nhất chứa S, nói cách khác nếu S ⊆ T và T là bắc cầu thì S⊆ T.