Trong mô hình này, hệ phương trình tích phân được sừ dụng đẻ tính toán các điều kiện đầu dao động mặt thoáng. Giá trị cùa vận tốc trong mô hình hai chiều cũng được tính
toán hiệu chỉnh cho phù hợp với tính toán của mô hình ba chiều. Thêm vào đó. hệ phương trình thuỷ động lực học hai chiều có ý nghĩa quan trọng trong các bài toán thực tiễn. So với các lớp bài toán ba chiều, các lớp bài toán hai chiều có độ chính xác hạn chế và không mô tả được đẩy đù các tính chất cùa hiện tượng, nhưng yêu cầu độ khối lượng tính toán ít hơn rất nhiều.
Đối với mô hình dòng chảy vùng ven bờ, phù hợp nhất là chúng ta sử dụng tích phân theo chiều sâu để đưa mô hình ba chiều về mô hình hai chiều. Đe làm điều đó chúng
ta áp dụng tích phân theo c từ đáy biển lên mặt thoáng cho một hàm bốn biến -'f v y ơ • 1
để thu được hàm ba biến ký hiệu là -( - V, y. *)
ĩ — ị : cíc (1.3 7)
• -1
Độ lệch so với trung bình tích phân - ( v y ơ ' t) được định nghĩa bang hiệu của giá trị tức thời - và giá trị trung bình tích phân - như sau
N h ư vậy phương trình liên tục sau khi trung binh theo độ sâu
â)ỉ d ư D ỞVD
dt ởx dv
(1.38)
Các hàm ba biến không chứa sigma —l-v y 0 , chẳng hạn như độ sâu H ( x y ) , chuyểr của mặt thoáng v(-x' Ỵ' 0 , hay chiều cao cột nước -2 ( v'.v - *) không phụ thuộc vào ơ , d
thể ra ngoài trong các biểu thức tích phân theo toạ độ sigma. nghĩa là — — Các thàn
độ lệch so với trung bình tích phân đôi với hàm -- là băng không, nghĩa là -- = 0.
= 0 (1.39)
Đối với phương trình chuyển động, ta cũng nhận thấy rằng phép lấy trung bình theo sigma có thể hoán vị cho đạo hàm riêng theo thời gian hoặc theo các phương ngang.
ỞU' : D Ờ V V D d
w LS ' D d / ÔU’ \ ở ị dư' \ . A
G, = — ^ --- — ---7 - - f - (1.40a)
d X d y d x \ d \ I d v • â y I
d U ' V ' D d \ " z D d / . d v :\ Ỏ i d V \
0,- = - ^ - ^ - U D D » * h U D D Ị t * ĩ ) f ]
Các giá trị Gx , Gx hoặc có được từ các bước trước, hoặc có thể bò qua trong một số điều
kiện nhất định. Tích phân theo sigma hai vế của phương trình (1.13) và (1.14) ta có
â ũ D d ữ : D d Ũ Ỹ D --- --- — ( Ợ w ( 0 )> - < ơ w f - l ) > = d y ' ị ỞD dữ dp ■ ■ d u D. ỊỞU ■— : 0 ) ) — — í - 1 ỏ a D d c dx , ở>? g D f c d x p . L ( DD- ở ơ \ ' ■ 7 7 1 ~ !D d Ũ Ỹ D r ởx à'} g D i'c à y P. L . Ị d~5- Ỉ L ) - . ‘! ở x ì U W 0 )> - = dp dữ _ ~ ~ — D ~ ) d ỡ d ơ — f í ! D - G. (1-42) D , , ỏ v D.ị ởV ( 0 ) ) - < - r - - r - ( - l D d a D dơ
Các đại lượng nằm trong ngoặc < ) được thay bằng các điều kiện biên. Trên mặt thoáng
ứng với tại biên <0 -. khi đó khỏng có dòne theo phươne trực giao với mặt thoáng, đồng
thời vận tốc trên mặt thoáng tỷ lệ với vận tốc của gió. Tại đáy biển ứng với biên < vận tốc chịu ảnh hường suy giảm do ma sát.
Các phương trình (1.40), (1.41), ( ỉ . 42) cho ta 2Ĩá trị cùa dao độ n s mật thoáng và các vận tốc trung bình theo sigma. Hệ phương trình này có thê trực tiếp được dùng để mô tà hoàn lưu hai chiều. Trong phần mềm được xây dựng dành cho mò hình, chúng ta cũng có chế độ thuần tuý tính toán các kết quà vận tốc hai chiều. Đối với mô hình ba chiều . hệ phương trình này cung cấp giá trị đầu vào cùa dao dộng mặt thoáng.
1.8 Các điều kiện biên cho các hệ phưong trình ba chiều
Điều kiện biên bao gồm các điều kiện cho vận tổc - 1 phương trình mặt
thoáng nhiệt độ 0 , độ mặn chất tan độne năng rối * và tốc độ hao tán năng lượnsỉ
rối f .
Gió trên mặt thoáng và m a sát tác động làm thay đồi vận tốc dòne chày. Gọi là vận tốc gió trên mặt biển với hai thành phần theo hai phương ngang tương ứng là U ? , Uy ,
còn Tĩ là ú ng suất do gió bề mặt
= (1.4 3)
(1.4 4)
Khi đó, ứng suất của dòng chảy tại bề mặt tỷ lệ thuận với ứng suất do gió thông qua hệ số
tỷ ]ệ còn thành phần vận tốc theo phương thẳng đứng tại bề mặt được tính qua
1 du " D d ơ 1d v D dơ = P - y A V / i r _ = p. V. Ily IV, (1.45a) (1.4 5b) (1.45c)
Nếu không có gió trên mặt thoáng, thì gradient cùa vận tốc trực giao với mặt thoáng bằng
không. Trong các biểu thức trên là hệ số kéo theo của gió, là khối ìượng riêng cùa không khí trên mặt thoáng
f 1 . 2 X 1 0” 3 r.ẻu 0 < u ; < 1 1
( ( 0 .4 9 - 0.0651V".) X 1 0 " 3 r.eu 11 < li;. 25
P , = 1.25 X 10 “ 33;
(1.4 6)
(1.4 7) Động năng rối * và tốc độ hao tán năng lượng rối f phụ thuộc vào gió trên bề mặt. Nếu tồn
tại ứng suất do gió r i
(1,48a)
(1.4 8b)
ô - i là khoảng cách từ mặt thoáng đến nút lưới tính gần nhất. Nếu không tồn tại ứng suất gió thì không có dòng động năng rối trên bề mặt
1 dk
D d a = 0 (1.4 9a)
u *-'ljr- rf z; ỉ )
0 .0 7 K D (1.49b)
Trên mặt thoáng diễn ra quá trình trao đổi nhiệt độ cúa nước với lớp không khí trẽn biên, và xem không có sự thay đổi nồng độ chất tan do bốc hơi tại bề mặt nước biển
1 dỡ ữ dơ H- = — ($. - et : r ■ * PoDs1 ỏ s D d ơ = 0 <1.50a) (ỉ.50b)
Với là hệ số truyền nhiệt bề mặt, là nhiệt dung riêng của nước, 9' là nhiệt dộ mặt
nước, là nhiệt độ cân bằng. Chất tan cũng không thay đổi nổng độ trên mặt thoáng do bốc hơi hay biến đoi
1 ỞC P3Dc - - —
D ỗG = 0 <1.51;
b)Tại đáy biển
Tại đáy biển, vận tốc dòng chảy bị suy giảm do ma sát đáy. Gọi là vận tốc tại
lớp sát đáy biển với hai thành phần theo hai phương ngang tương ứng là l ’Y . còn 'ì là ứng suất m a sát đáy, chúng được tính qua
(1.52)
1 1V = ■;( u v v ): - ( u - f V
~ \ - (1.53)
Khi đó, ứng suất cùa dònc chày tại đáv tỷ lệ thuận với ứng suàt ma sát với hệ số ty lệ phi
1 d u P°D'-t ~D~0a = p . Y i W g W s (1.54a) 1 <31' O.D.,---— D dơ = í>-?ìUỹ'u; 'bid = 0
Hệ số tỷ lệ >’t ờ trên được gọi là hệ số ma sát đáy
Yb = ir.ax {0.0 0 : 5 c , ) (1 ,54b: (1.54cl (1.55) G = - Ir. 1, (1.56) r; = 0,01 (1.57a) V = 0.4: ( 1.57b)
Nếu khôns có đù dữ liệu thì chủng ta sẽ đặt là một h àns số. cụ thể nó nhận siá trị trona khoảno ( 0 .0 0 2 - 0 .0 0 3 ) Ỡ đâv là khoáng cách từ đáy đén điẽm tinh sần nhất. là độ
dài liên quan đến độ nhám đáy. v là hàne số von Karman. Điều kiện biên đáv cho khép kin rối là
'i í:
r í 1,58a)
■c i Z.
K JT; 1 -58b)
trong đó là vận tốc dòns. a là chiều rộna d ò n s chàv đò vào miền tính. Đav bièn coi như cách nhiệt và khôno có quá trình xám nhập mặn vào đảt
1 de ?: Dỉ - ~ rD d c 1 ỞS °:DsD Ĩ Ĩ - n ( 1.59a; (1.59b;
Chất tan khònư thắm vào đất
1 d c
(1.60)
c) Trên biên lỏng
Điều kiện biên lỏng cho bất kỳ mô hình nào đều tương đối phức tạp. Trên các chúng ta phải đặt các trạm quan trắc để có được các số liệu thực đo cần thiết, số liệu này cũng cần đủ “dầy” về không gian, nghĩa ]à các trạm hài dương phải đặt rất gần nhau, đồng thời cũng liên tục trong khoảng thời gian tính toán. Sau khi có được dữ liệu (thường là rời rạc), chúng ta cùng áp dụng các kỹ thuật đồng bộ hoá dữ liệu (data assimilation technique) đế xây dựng bộ dữ liệu liên tục cho mô hình. Đối với dòng chày vào , chúng ta cũng cần cho trước các giá trị của vận tốc trên biên lỏng
Đối với dòng chảy ra chúng ta cần cho trước các giá trị trên biên nếu biết. Hoặc nếu không có đủ dữ kiện, ta có thể sử dụng điều kiện phát xạ (radatỉon) cùa sóng dài ra khỏi miền tính. Chẳng hạn như đối với biên chữ nhật theo hai trục v và y thì ta có điều kiện
Các điều kiện biên lỏng cho động năng rối phức tạp hơn về mặt vật lý. Có nhiều cách thiết lập các điều kiện biên này trong tính toán mò hình. Đối với dòng chay vào động
năng rối 'K và hao tán năng lưọne rối ĩ chủng được cho trước trên biên
(1.6 la) (1.61c) (I.62a) n = 0 (1.6 2b) 0 (1.62c) (1.63a) 0 (1.63b) , - 0 (1.63c)
H „ = K ,
f l:r. = £:k
Trên biên lỏng ta cũng sừ dụng điều kiện phát xạ của sóng
= 0 = 0 (I.64a) (I.64b) ở k d k ĩ t ~ c d q dc d ĩ d q (1.65a) (1.65b)
Đối với nhiệt độ £ và độ mặn s , nếu có số liệu quan trắc tại biên lòng, hoặc nếu có dòng chảy vào miền tính thì ta áp dụng các công thức
ỚU = e.„ s ụ = 5...
( 1,66a)
( 1,66b)
Trong trường hợp không có số liệu về dòng chảy ra khỏi miền tính thì ta sừ dune điều kiện phát xạ d e dớ d t dq .1 d s ỞS ở t c õq = 0 = 0 (1.67a) (1.67b)
Nếu có số liệu quan trắc tại biên lỏng về chất tan. hoặc biết giá trị của dòng chày vào tại các vị tri của biên
cụ. = C.,
Trong trường hợp dòng chảy ra khỏi miền tính
d c d c
d : dq
( 1.6 8 )
= 0 1.69)
Nói tóm lại, điều kiện biên cho biên lỏng áp dụng các giả thiết thường gặp nên đơn giàn hơn, trong khi điều kiện trên biên lỏng hoặc là đã đan giản hoá tối đa. hoặc là các giá trị quan trắc.
d) Trên đường bờ
Hệ toạ độ sigma có chứa đại lượng mô tả liên quan đến đường bờ. Đường bờ được xác định tại những điểm có chiều cao cột nước bàng không. Những điềm D có độ lớn âm
không mang ý nghĩa vật lý. Điều này liên quan đến kỷ thuật xử lý khô - ướt tương đối phức tạp. Chính vỉ thế ta coi đường bờ là cao hơn hẳn so với mực nước biển sát biên trong suốt thời gian tính toán, nghĩa là nước có dâng lên bao nhiêu cũng không làm thay đổi hình dáng của đường bờ. Trong miền biên thì chiều cao cột nước bàng không, còn ngoài miền tính thì
(1.70)
Đồng thời chúng ta cũng không xét đến ma sát cùa đường bờ tác dụng lên dòng chảy, tức là sử dụng điều kiện không thấm
du
I h ĩ = 0
ở r
ỞK = 0
(1.71c)
Hoặc áp dụng vận tốc theo phương vuông góc với bờ bàng không.
u CCS a — r sir. = 0 (1.72a)
= 0 (1.72b)
trong đó 'ĩ - [ C C S a s i n ct) là v e c t ơ p h á p t u y ế n c ủ a đưÒTi2 b ờ . c ò n a là g ó c lệ c h củ a vector
pháp so với trục 0.\\ Điều kiện biên cho khép kín rối là không có dòng động năng rối và
hao tán năng lượng trên đường bờ
dk
d s
d n = 0 (1.73b)
Nếu có dòng chảy đổ vào miền tính trên đường bờ, thì có thể xem điều kiện biên cho * và f liên quan đến điều kiện đầu ra cùa bài toán dòng chảy trong kênh
trong đó Ui là vận tốc dòng, a’ là chiều rộng dòng chày đổ vào miền tính. Đường bờ coi
như cách nhiệt và không có quá trinh xâm nhập mặn
Ờ đây các đạo hàm theo phương pháp tuyến n của đường bờ gồm hai thành phần theo hai
toạ độ của “phương ngang" (trong hệ toạ độ sigma). N hư vậy có bốn loại điệu kiện biên khác nhau cho hệ phương trình ba chiều đầy đủ, bao gồm điều kiện biên mặt thoáng, điều kiện đáy, điều kiện đường bờ. và điều kiện biên lòng.
1.9 Các điều kiện biên cho hệ phương trình tích phân
a) Biên rấn (đường bờ)
Điều kiện biên cho hệ phương trình tích phản eồm có điều kiện biên lons và điều kiện biên ran. Biên rắn ờ đâv chính là đường bờ. Đối với vận tốc trung bình theo phươntỉ ngang, thì vectơ vận tốc trực eiao với bờ là băng không
uCOS C( — r sir. a I = 0 (1. 7 7 ] k .. = 0 .0 0 4 u (1.74a) (1.74b) (1.75a) ds d n = 0 (l.75b)
Chất tan không thấm vào đường bờ
dn = 0 (1.76)
trong đó n - ( c o s c r , sin a ) là vectơ pháp tuyến của đường bờ, còn a là góc lệch cùa vectơ
pháp so với trục 0 x . Dao động mặt thoáng trên biên có thể thay trực tiếp từ phương trình
(3.57) bằng cách áp dụng điều kiện biên giả, nghĩa là ngoại suy các giá trị vận tốc bên trong ngoài bởi các giá trị bên trong.
b) Biên lòng
Biên lỏng cho hệ phương trình tích phân cũng tiến hành tương tự như biên lòns cúa hệ phương trình đẩy đủ. Trên biên lỏng, nếu dòng chày vào miền tính thì các giá trị vận tốc là cho trước. Đối với dòng chày ra khỏi miền tính, thì ta sử dụng điều kiện phát xạ.
Phương trình dao động cùa mặt thoáng mặt thoáng hoặc cho trước bời các giá trị quan trắc, hoặc tinh toán thông qua tổng hợp cùa các dao động thuỷ động lực thành phần. Ta cũng có thể coi không có thay đổi gradient phương trình mặt thoáng, hay sừ dụng điều kiện phát xạ. Như vậy các điều kiện biên cho phương trình mặt thoáng đối với dòng chày vào hoặc dòng chảy ra bao gồm u\ = ư :r (1.78a) r. (1.78b) (1.79a) dv dv ởr dqdq (].79b) (1.80a) (1.80b) d>ì — = 0 dn .... ( 1.8 la) ( 1.8 ] h)
với / : là hệ số suy giảm, là hệ số điều hoà biên độ, <?. là tần số góc, (*c ~ u ); là hệ số
điều hoà pha, 9; là góc lệch pha của dao động, c = - ^ g H là vận tốc truyền sóng trong vùng nước nông. Ở đây <7 đóng vai trò x hoặc y đối với biên vuông góc với trục y hoặc trục
x tưorng ứng, còn nếu không nó là vectơ pháp tuyến.
Chương 2
Thuât toán và mô hình số tri• *
2.1 Mô hình sổ trị
N hư vậy trong các chương trước, chúng ta đã trình bày mô hình lan truyền chất tan vùng ven biển ba chiều trong và hệ toạ độ sigma. Tính toán số là một trong những công cụ hiệu quả nhất để thu được xấp xỉ nghiệm của hệ phương trình trên. Neu phương pháp tính và mô hình đủ tốt, nghiệm này ít nhiêu phản ánh các tính chất vật lý của dòng chảy cũng các đặc trưng thuỷ nhiệt động lực học. Mô hình số trị được sử dụng rộng rãi đê nghiên cứu sự thay đổi các quá trình diễn ra trong biển và đại dương, bao gồm cả khả năng phân tích, xây dựng kịch bản, và dự báo.
Mô hỉnh của chúng ta có đầu vào là các điều kiện biên, điều kiện đầu tuỳ theo từng
bài toán ta xét; đầu ra là các trường vận tốc y dao động mặt thoáng áp suất p, khối
lượng riêng p, động năng rối 'h\ hao tán năng lượng rối nhiệt độ độ mặn 5. nhớt rối f'r,
các hệ số khuếch tán và nồng độ chất tan Đầu tiên từ các giá trị cùa
vận tốc dòng chảy k M \ cus thay vào phương trình (1.16), (1.17) chúng ta sẽ tìm được các
giá trị động năng rối X và hao tán năng lượng rối s . Giá trị r1:, được tính qua định nghĩa
(1.24), dùng để cung cấp các giá trị hệ số khuếch tán D ; Đ ị P : D , : Với vận tốc